Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 65
Текст из файла (страница 65)
(12) В таком локальном виде уравнение движения среды вполне соответствует уравнению Ньютона движения материальной частицы. И~ Ускорение а частицы среды есть производная ~~ от скорости ц этои частицы. Если х = х(~), у = у(8), я = я(~) закон движения частицы в пространстве, а о = о(х, у, я, 1) — поле скоростей среды, то для любой индивидуальной частицы получаем до до до дх до ду до д~ а— й д~ дх сЫ ду сЫ д~ сН + + + или до а = — + (ц ~7)о. д~ Таким образом, уравнение движения (12) приобретает следующую форму: д~ 1 — = Р— — ягор Ю р или до 1 — + (о .
~7) о = Р— — ~7р. д~ р (14) Уравнение (14) обычно называется гидродинамическим уравнением Эйлера. Первый член этой суммы есть равнодействующая массовых сил и сил инерции, а второй дает равнодействующую давления на поверхность Я, ограничивающую рассматриваемый объем. Мы для простоты считаем, что имеем дело с идеальной (не вязкой) жидкостью или газом, в которых давление на площадку Йт имеет вид рйт, где число р не зависит от ориентации площадки в пространстве. Применяя формулу (10) из ~ 2, на основании равенства (11) получаем 362 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Векторное уравнение (14) равносильно системе трех скалярных уравнений на три компоненты вектора о и еще на пару функций р, р. Таким образом, уравнение Эйлера еще не вполне определяет движение идеальной сплошной среды.
К нему, правда, естественно добавить уравнение неразрывности (8), но и тогда система еще будет недоопределена. Чтобы движение среды стало определенным, к уравнениям (8) и (14) следует добавить еще информацию о термодинамическом состоянии среды (например, уравнение состояния ~(р, р, Т) = 0 и уравнение на теплообмен). Представление о том, что могут дать эти соотношения, читатель получит из следующего заключительного пункта этого параграфа. 4. Волновое уравнение.
Рассмотрим теперь движение среды, соответствующее распространению в ней звуковой волны. Ясно, что такое движение тоже подчиняется уравнению (14), но благодаря специфике явления это уравнение в данном случае можно упростить. Звук есть чередующиеся состояния разрежения и уплотнения среды, причем отклонения давления от его среднего значения в звуковой волне очень малы порядка 1% Поэтому звуковое движение состоит в малых отклонениях элементов объема среды от положения равновесия, совершаемых с малыми скоростями.
Однако скорость распространения возбуждения (волны) по среде соизмерима со средней скоростью движения молекул среды и обычно значительно превышает скорость теплообмена между различными частями рассматриваемой среды. Таким образом, звуковое движение объема газа можно рассматривать как малые колебания около положения равновесия, совершаемые без тепло- обмена (адиабатический процесс). Ввиду малости самих макроскопических скоростей о, пренебрегая в уравнении движения (14) членом (ц ~)ц, получаем равенство до а — = аР— СЪ д1 Дп Если по тои же причине пренебречь членом вида Що, то последнее равенство приводится к уравнению д 6' )=аР ~Ъ д1 34.
ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ 363 Применив к нему оператор ~ (по координатам х, у, я), получим д д~ (~7 ро) = ~7 рР— Ьр. Используя уравнение неразрывности (8') и введя обозначение рР = — Ф, приходим к уравнению д р 2 — — Ф+ ЬР дР (15) Если влиянием внешних полей можно пренебречь, то уравнение (15) сводится к соотношению д р — = Ьр Щ2 (16) др д2 — — а ЬР, (17) где а = ф'(ро)) у . Это уравнение описывает изменение давления в среде, находящейся в состоянии звукового движения. Уравнение (17) описывает простейший волновой процесс в сплошной среде. Оно называется однородным волновым уравнением.
Величина а имеет простой физический смысл: это скорость распространения звукового возбуждения в данной среде, т. е. скорость звука в ней (см. задачу 4). В случае вынужденных колебаний, когда на каждый элемент объема среды действуют некоторые силы, объемная плотность распределения которых задана, уравнение (17) заменяется соответствующим уравнению (15) соотношением др 2 — — а АР+Л д~2 (18) которое при ~ ~~ О называют неоднородным волновым уравнением. между плотностью и давлением в звучащей среде.
Поскольку процесс адиабатический, уравнение состояния ~(р, р, Т) = О сводится к некотод у д рому соотношению р = ф(р), из которого следует, что ~ = ф'(р) ~+ да да д ~2 -с ей"(р) (ф . Ввиду малости колебания давления в звуковой волне можно считать, что ф'~р) = ф'(ро), где ро равновесное давление. Тод2 д2 гда ф" = О и — "- = ф'(р)~. Учитывая это, из (16) получаем окончад$ да тельно Зб4 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Задачи и упражнения 1.
Пусть поле скоростей и движущейся сплошной среды потенциально. Покажите, что если среда несжимаема, то потенциал д поля и является гармонической функцией, т. е. Ьу = 0 (см. (9)). 2. а) Покажите, что уравнение Эйлера (14) можно переписать в виде ди 2 1 — +ягай — и2 — и х гоФи = Š— — уас1р д1 2 р (см. задачу 1 к ~ 1). Ъ) Проверьте, исходя из полученного в а) уравнения, что безвихревое течение (го1 и = 0) однородной несжимаемой жидкости возможно только в потенциальном поле Е. с) Оказывается (теорема Лагранжа), если в какой-то момент течение в потенциальном поле Р = ягЫУ было безвихревым, то оно было и будет безвихревым всегда.
Такое течение, следовательно, по крайней мере локально потенциально, т.е. и = угаду. Проверьте, что для потенциального течения однородной несжимаемой жидкости, происходящего в потенциальном поле Е, в каждый момент времени выполняется соотношение /д и2 р огай ~ — + — + — — У = О. ~д1 2 р Й) Выведите из полученного равенства так называемый интеграл Коши — + — + — — У = Ф(~) дф и р д~ 2 р — соотношение, утверждающее независимость левой его части от пространственных координат.
е) Покажите, что если течение к тому же и установившееся, т. е. поле и не зависит от времени,то имеет место соотношение Ю р — + — — У = сопаФ, 2,о называемое интегралом Бернулли. 3. Течение, поле скоростей которого имеет вид и = (и„ид, 0), естественно назвать плоскопараллельным или просто плоским течением. а) Покажите, что условия йч и = О, гоФ и = 0 несжимаемости и потенциальности для плоского течения имеют соответственно следующий вид: дух диу дию дор — *+ "=О, — — — "=О. дх ду ' ду дх ~ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ 365 Ъ) Покажите, что эти уравнения по крайней мере локально гарантируют существование функций ф(х, у) и ~р(х, у) таких, что ( — и„, о,) = дгайф и (и,,ир) = дгай~р. с) Проверьте, что линии уровня ~р = с1, ф = с2 этих функций ортогональны и покажите, что в установившемся потоке линии ф = с совпадают с траекториями движущихся частиц среды.
Именно поэтому функцию ф называют функцией тока, в отличие от функции ~р — потенциала скоростей. й) Покажите, в предположении достаточной гладкости функций ~р, ф, что обе они являются гармоническими функциями и удовлетворяют системе уравнений Коши — Римана: д~~ йф д дй дх ду' ду дх Гармонические функции, удовлетворяющие системе Коши — Римана, называют сопряженными гармоническими функциями. е) Проверьте, что функция ~(~) = (~р+ зф)(х, у), где ~ = х+ зу, является дифференцируемой функцией комплексного переменного ю.
Это и определяет связь плоских задач гидромеханики с теорией функций комплексного переменного. Д2 2Д2 4. Рассмотрим простейший вариант " = а — "- волнового уравнения д~2 д~2 (17). Это случай плоской волны, в которой давление зависит только от координаты х точки (х,у,я) пространства. а) Сделав замену переменных и = х — а~, и = х+ а~, приведите это уравне- Д2Р ние к виду ~„— ~-- — — 0 и покажите, что общии вид решения исходного уравнения таков: р = Дх + а1) + д(х — а1), где ~, д — произвольные функции класса С®.
Ъ) Истолкуйте полученное решение как две волны Дх) и д(х), распространяющиеся соответственно влево и вправо вдоль оси Ох со скоростью а. с) Считая, что и в общем случае (17) величина а есть скорость распространения возбуждения, и учитывая соотношение а = (ф'(ро)) 112, найдите, вслед за Ньютоном, скорость с~ч звука в воздухе, полагая, что температура в звуковой волне постоянна, т. е. полагая, что процесс звуковых колебаний является изотермическим.
(Уравнение состояния р = Я,; В = 8,31 „ универсальная газовая постоянная; р = 28,8 „", †молекулярн вес воздуха. Расчет проведите для воздуха, находящегося при температуре 0'С, т.е. Т = 273 К. Ньютон нашел, что сю — — 280 м/с.) й) Считая процесс звуковых колебаний адиабатическим, найдите, вслед за Лапласом, скорость с~, звука в воздухе и уточните тем самым результат с,~ Ньютона. (При адиабатическом процессе р = ср~. Это формула Пуассона из аадачи о к а1 гл.ХП1.
Покажите, что если си = ф, то сс = с /л. дли воздуха 7 - 1,4. Лаплас нашел с~ = 330 м/с, что превосходно согласуется с опытом.) 5. Используя скалярный и векторный потенциалы, систему уравнений Збб ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ вЂ” с ~7 А+с ~7(~7. А) + — ~7~р+ — =— д дА з Я д~2 между потенциалами ~р и А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
