Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 71
Текст из файла (страница 71)
с) Покажите, что на окружности 51 (одномерной сфере) любые две С~ структуры иэоморфны. Отметим, что это утверждение остается в силе и для сфер, размерность которых не превосходит 6, а уже на 57, как показал Милнорц, существуют неиэоморфные С~ ~-структуры. 4. Пусть 5 — подмножество и-мерного многообразия М такое, что для любой точки хо Е 5 найдется такая карта х = у(1) многообразия М, район У действия которой содержит хо, а множеству ЯП У в области параметров 8 = ф,..., 8") карты у отвечает Й-мерная поверхность, задаваемая соотношениями Г ~ = О,..., 1" = О.
В этом случае 5 называется И-мерным подмногообразием многообразия М. а) Покажите, что на Я естественным образом возникает структура Й-мерного многообразия, индуцированная структурой многообразия М и име- 1~Дж. Милнор (род. 1931) — один из наиболее крупных современных американских математиков; основные работы относятся к алгебраической топологии и топологии многообразий. ~ 2. МНОГООБРАЗИЕ 395 ющая ту же гладкость, что и гладкость структуры многообразия М. Ь) Убедитесь в том, что й-мерные поверхности 5 в К" в точности и являются Й-мерными подмногообразиями К".
с) Покажите, что при гладком гомеоморфном отображении ~: К1 ~ Т~ прямой К1 в тор Т~ образ ДК1) может быть всюду плотным подмножеством Т~ и в этом случае не будет одномерным подмногообразием тора, хотя и будет абстрактным одномерным многообразием. й) Проверьте, что объем понятия «подмногообразие» не изменится, если считать 5 С М Й-мерным подмногообразием и-мерного многообразия М в том случае, когда для любой точки хв б 5 найдется локальная карта многообразия М, район У действия которой содержит х0, а множеству Я П У в области параметров карты отвечает некоторая Й-мерная поверхность пространства К".
5. Пусть Х вЂ” хаусдорфово топологическое пространство (многообразие), а С вЂ” группа гомеоморфных преобразований пространства Х. Группа С называется дискретной груииой преобразований пространства Х, если для любых (быть может, и совпадающих) точек х1, хг Е Х найдутся такие их окрестности У1, У~ соответственно, что множество (д е С ) д(У1) П У~ ф о)— конечно. а) Отсюда следует, что орбита (д(х) Е Х ~ д Е С) любой точки х Е Х дискретна, а стабилизатор С = (д Е С ~ д(х) = х) любой точки х Е Х конечен.
Ь) Проверьте, что если С вЂ груп изометрий метрического пространства Х, обладающая двумя указанными в а) свойствами, то С вЂ дискретн группа преобразований Х. с) Введите естественную структуру топологического пространства (многообразия) на множестве Х/С орбит дискретной группы С. й) Замкнутое подмножество Е топологического пространства (многообразия) Х с дискретной группой С преобразований называют фундаментальной областью группы С, если оно является замыканием открытого подмножества Х и если множества д®, где д Е С, не имеют попарно общих внутренних точек и образуют локально конечное покрытие пространства Х.
Покажите на приведенных в основном тексте примерах 8 — 10, как фактор-пространство Х/С (орбит) группы С получается из Е «склеиванием» некоторых граничных точек. 6. а) Используя конструкции примеров 12, 13,постройте и-мерное вещественное проективное пространство 2Р". Ь) Покажите,что ЯР" ориентируемо, если и нечетно,и неориентируемо, если и четно.
с) Проверьте, что многообразия ЯО(3, К) и ЯРз гомеоморфны. 7. Проверьте, что построенное в примере 14 многообразие действительно гомеоморфно листу Мебиуса. ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 39б Ь) Топологическая группа (или непрерывная группа) — это группа С, наделенная структурой топологического пространства так, что групповые операции умножения и перехода к обратному элементу непрерывны как отображения С х С ~ С, С -+ С в рассматриваемой топологии С. На примере группы Ц рациональных чисел покажите, что не всякая топологическая группа является группой Ли.
с) Покажите, что каждая группа Ли является топологической группой в смысле данного в Ь) определения. с1) Доказано2), что любая топологическая группа С, являющаяся многообразием, есть группа Ли (т. е. С как многообразие допускает аналитическую структуру, в которой группа становится группой Ли). Покажите, что любое групповое многообразие (т. е.
любая группа Ли) является ориентируемым многообразием. 9. Система подмножеств топологического пространства называется локально конечной, если каждая точка пространства имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом множеств системы. В частности, можно говорить о локально конечном покрытии пространства. Одна система множеств называется вписанной в другую, если любое множество первой системы содержится по крайней мере в одном из множеств второй системы. В частности, можно говорить о том, что одно покрытие некоторого множества вписано в другое такое покрытие.
а) Покажите, что в любое открытое покрытие К" можно вписать открытое локально конечное покрытие К". Ь) Решите задачу а) с заменой К" произвольным многообразием М. с) Покажите, что на К" существует разбиение единицы, подчиненное любому наперед заданному открытому покрытию $Г. с1) Проверьте, что утверждение с) остается в силе для произвольного многообразия. цС. Ли (1842 — 1899) — выдающийся норвежский математик, родоначальник теории непрерывных групп (групп Ли), которая имеет теперь фундаментальное значение в геометрии, топологии и математических методах физики; один из лауреатов Международной премии имени Лобачевского (награжден в 1897 г. за работу по применению теории групп к обоснованию геометрии).
~~Это ответ на так называемую пятую проблему Гильберта. 8. а) Группа Ли') — это группа С, наделенная структурой аналитического многообразия так, что отображения (д|,д2) ~-» д1 . д2, д ~-» д 1 являются аналитическими отображениями С х С и С в С. Покажите, что рассмотренные в примерах 6, 7 многообразия являются группами Ли. ~3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 397 ~ 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях 1.
Касательное пространство к многообразию в точке. Напомним, что каждому гладкому пути К Э 1 ~-+ х(1) Е К" (движению 7 в Кп), проходящему в некоторый момент 1о через точку хо = х(~о) Е 1= К", мы сопоставили вектор ~ = (~,...,~") мгновенной скорости: ~ = х(~) = (х1,..., х") (1о). Совокупность таких векторов ~, связанных с точкой хо Е К", естественно отождествляется с арифметическим пространством К" и обозначается символом ТК.", (или Т.,(К")). В ТК"., вводятся те же линейные операции над элементами ~ Е ТК",, что и над соответствующими элементами линейного пространства К". Так возникает линейное пространство ТК",, называемое касательным пространством к К" в точке хо б Кп.
Забыв мотивировки и наводящие соображения, можно теперь сказать, что формально ТК.", есть пара (хо, К"), состоящая из точки хо Е 1= Кп и связанного с нею экземпляра линейного пространства К". Пусть теперь М гладкое и-мерное многообразие с атласом А класса гладкости не ниже, чем С~~). Мы хотим определить касательный вектор ~ и касательное пространство ТМр, к многообразию М в точке р, ~ М. Воспользуемся для этого указанной выше интерпретацией касательного вектора как мгновенной скорости движения.
Возьмем гладкий путь К Э 1 ~-+ р(1) Е М на многообразии М, проходящий в момент 1о через точку ро = р(1о) Е М. Параметры карт (т.е. локальные координаты) многообразия М будем здесь обозначать буквой х, отмечая их снизу индексом соответствующей карты, а сверху номером координаты. Итак, в области параметров каждой карты (У„<р,), район У, действия которой содержит точку ро, пути ~ отвечает свой путь ~о, 1 о р(1) = х,(1) Е К" (Н"), который является гладким по определению гладкого отображения К Э 8 ~-+ р(Й Е М. 7 Таким образом, в области параметров карты (У„у,), где у, есть отображение р = ~р,(х,), возникает точка х,(1о) = у, (ро) и вектор ~, = х,(~о) Е Т3. "~ ).
В другой такой карте (У„~р ) это будут соответственно точка х,(1о) = у (ро) и вектор ~, = х,(1о) Е ТК ). Естест— 1 венно считать, что это координатные выражения в различных картах того, что мы хотели бы назвать касательным вектором ~ к многообразию М в точке ро Е М. 398 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ хг — ~Р.уг(х~) ~ ~=Р~( ) В РЕЗУЛЬтатЕ ЧЕГО ПаРЫ (Хг(10), ~г), (Х (10), ~,) ОКаЗЫВаЮтСЯ СВЯЗаННЫМИ соотношениями Хг(~0) ~Рдг(Хг (~0))~ Хг (~0) ~Ргд(Хг(~0))~ 1г = ~Р~г(х~ ИО))б~7 ~г = ~Ру(хгИО))6 (2) (3) Равенства (3), очевидно, вытекают иэ формул *.И) = Р,',( Р))* И) * и) =4(*.и))* Р) получающихся из (1) в результате дифференцирования.
Определение 1. Будем говорить, что задан вектор ~, касательный к многообразию М в точке р г= М, если в каждом пространстве Т2"., касательном к К" в точке х„отвечающей точке р в области паРаметРов каРты (У„~рг), где Уг Э Р, фиксиРован вектоР ~„пРичем так, что выполняются соотношения (3). Если элементы матрицы Якоби ~Р', отображения ~р,г записать в явдх ном виде — +, то получаем, таким образом, следующую явную формулу дх связи двух координатных представлений одного и того же вектора ~: и ~й т=1 .г (4) 1=1,2,...,п, где частные производные вычисляются в соответствующей р точке х~ —— = Р, '(Р). Обозначим через ТМр совокупность векторов, касательных к многообразию М в точке р г= М. Определение 2.
Если линейную структуру на множестве ТМр ввести, отождествляя ТМр с соответствующим пространством ТР." (ТН" ), т.е. суммой векторов иэ ТМр считать вектор, координатное представление которого в Т2". (ТН" ) отвечает сумме координатных Между координатами х„х действуют гладкие взаимно обратные функции перехода 33. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 399 представлений слагаемых, и аналогично определить умножение вектора на число, то получаемое при этом линейное пространство обозначает- ся обычно одним из символов ТМр, Тр(М) и называется касательным пространством к многообразию М в точке р Е М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
