Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Р« — ~ М другой состоящий из одной карты атлас М, задающий на М ту же ориентацию, что и атлас «р~: Р -~ М, то якобиан с1е$ «р'(1) функции х = «р(«,) преобразования координат всюду положителен в области Р«. Форме со в Р«отвечает форма «р*(а(х) Их' Л... Л йх") = а(х(8)) с1е$ «р'(1) й~ Л... Л й". По теореме о замене переменных в кратном интеграле имеет место равенство ленный в локальной системе координат соотношением (14) оператор удовлетворяет условиям 1', 2', 3' определения 6. Из сказанного, в частности, следует, что если со = «р*.со и сор = = «р*со координатные представления одной и той же формы со, т.е. «о«, = «р*~сор,то йо и Жор также будут координатными представлениями одной и той же формы (А~), т.
е. сЫ«, = «р*~сЫр. Таким образом, справедливо соотношение И(«р*~со«~) = «р*~(А~р), что в абстрактной записи означает коммутативность ГЛ ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 40б показывающее независимость левой части соотношения (16) от выбора системы координат на М. Итак, определение 7 корректно. Определение 8.
Носителем определенной на многообразии М формы ы называется замыкание множества тех точек х е М, где ы(х) ~ О. Определение 9. Заданная на многообразии М форма ы называется финитной формой, если впрры компакт в М. Определение 10. Пусть ы — финитная форма степени п на пмерном гладком многообразии М, ориентированном атласом А. Пусть грг: Р, — ~ К ~(Угггрг), г = 1,...,т) конечный набор карт атласа А, РайОНЫ У>,..., Упг ДЕйСтВИЯ КОТОРЫХ ПОКРЫВаЮт ВПРРЫ, а Е1,..., Егг— подчиненное этому покрытию разбиение единицы на впрры Повторяя некоторые карты по нескольку раз, можно считать, что т = Й и что впрр е, С К, г = 1,..., т. Интегралом от финитной формы ы по ориентированному многообразию М называется величина гр, (е,ы), М г=11 (17) где гр,*(его) координатное представление формы егы~у, в области Р, изменения координат соответствующей локальной карты.
Докажем корректность этого определения. ~ Пусть А = Я: Р -+ У,) — другой атлас, задающий на М ту же гладкую структуру и ориентацию, что и атлас А, и пусть У1,..., У-, е1,..., е- — соответствующее покрытие впрры и подчиненное ему разбиение единицы на впрры Введем функции ~, = е,е, ~ = 1,...,т, 1 = 1,..., т, и положим ~ог1 —— ~, ы Заметим, что впррыг С И~г = Уг П У . Отсюда и из корректности определения 7 интеграла го задаваемому одной картой ориентирован- Носитель формы ы обозначается символом вирр ы В случае О-форм, т.
е. функций, мы уже с этим понятием встречались. Вне носителя координатное представление формы в любой локальной системе координат является нулевой формой данной степени. ~ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 407 ному многообразию вытекает, что ю, Ж) во. $ 5. Формула Стокса Теорема. Пусть М вЂ” ориентированное гладкое и-мерное многообразие и ы — гладкая финитная дифференциальная форма степени и— — 1 на нем. Тогда (18) дМ М где ориентация края дМ многообразия М берется согласованной с ориентацией многообразия М. Если же дМ = И, то / йо = О.
М ~ Без ограничения общности можно считать, что областями изменения координат (параметров) всех локальных карт многообразия М являются либо открытый куб 1 = (х Е ~~ ~ О ( х' ( 1, г = 1,..., п), либо куб 1 = (х Е ~" ) О ( х ( 1 Л О ( х' < 1, г = 2,...,п) с одной (определенной!) присоединяемой к кубу 1 гранью.
С помощью разбиения единицы утверждение теоремы сводится к случаю, когда впрр~о лежит в районе У действия одной карты вида ~Р: 1 — ~ У или гр: 1 — ~ У. В координатах этой карты форма ы имеет вид и = ~ а,(х) Йх А... Ь Йх' Л... А Йх", г=1 где символ, как обычно, означает пропуск соответствующего множителя. В силу линейности интеграла утверждение достаточно доказать для одного члена ыг = а,(х) ах Л... Л ах' Л... Л ах (19) Суммируя эти равенства по г от 1 до т и по 7 от 1 до т с учетом того, что ~~. Д„= е, ~~. Ц = е„получим интересующее нас тождестг=1 1=1 408 ГЛ. ХЧ.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ суммы. Дифференциалом такой формы является и-форма йы, = ( — 1)' ' — '(х) дх' Л... Л Их". дхг (20) Для карты вида ~р: 1 -+ У оба интеграла в (18) от соответствующих форм (19), (20) равны нулю: первый потому, что вирра, С 1, а второй по той же причине, если учесть теорему Фубини и соотноше- 1 ние / ~', Их' = а,(1) — а,(0) = О. Этим заодно исчерпывается случай, о ~* когда дМ = И. Таким образом, остается проверить равенство (18) для карты ~р: 1-+ У. Если г > 1, то и для такой карты оба интеграла равны нулю, что следует из приведенных выше соображений.
Еслижег=1, то Г да1 (х) дх1 дхп— дх М 0 у 1 1 1 да1 ( о о о 1 1 — хп) Дх снап — ~, — (д1 дб дм о о Итак, при и > 1 формула (18) доказана. Случай и = 1 совпадает с формулой Ньютона — Лейбница, если принять, что концы а,,О ориентированного отрезка [а, Д] отмечаются знаками а и,О+, а интеграл от 0-формы д(х) по такой ориентированной точке полагается равным — д(а) и +дф) соответственно. ~ По поводу доказанной теоремы сделаем некоторые замечания. Замечание 1.
В формулировке теоремы ничего не говорится о гладкости многообразия М и формы ы В таких случаях обычно подразумевают, что каждый из этих объектов имеет гладкость С~~~. Из доказательства теоремы видно, однако, что формула (18) верна и для форм класса С~~~ на многообразии М, допускающем формы такой гладкости. ~ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 409 Замечание 2.
Из доказательства теоремы, как, впрочем, и из самой формулы (18), видно также, что если вирр~ — компакт, лежащий строго внутри М, т. е. вирры П дМ = И, то / Иы = О. М Замечание 3. Если М компактное многообразие, то для любой формы ~ на М ее носитель вирры, как замкнутое подмножество компакта М, является компактом.
Следовательно, в этом случае любая форма ы на М является финитной и имеет место равенство (18). В частности, если М компактное многообразие без края, то для любой гладкой формы на М имеет место равенство / йы = О. М Замечание 4. Для произвольных (не финитных) форм ~ на многообразии, не являющемся само по себе компактом, формула (18), вообще говоря, не имеет места. Рассмотрим, например, знакомую нам форму и = -+-аа" — "-' а крук +и говом кольце М = ((х,у) Е ~~ ~ 1 ( х2 + у ( 2), наделенном стандартными декартовыми координатами.
В этом случае М компактное двумерное ориентированное многообразие, край дМ которого состоит из двух окружностей С; = ((х, у) б ~~ ~ х + у = г), г = 1, 2. Поскольку д~ ~ = О, то по формуле (18) находим, что О= йо= М Ср С1 где обе окружности С1 и С2 пробегаются против часовой стрелки. Мы знаем, что ~=2т~О. С1 С2 Значит, если вместо М рассмотреть многообразие М = М ~ С1, то дМ=С2и И~=О~2т= ы дМ Задачи и упражнения 1. а) Два гладких пути у;: К вЂ” ~ М, г = 1, 2, на гладком многообразии М назовем касаюи4имися в точке р Е М, если у1(0) = 'у~(0) = р и в каждой 410 ГЛ.
ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ локальной системе координат гр: К" (Н") — ~ У, район У действия которой содержит точку р, выполняется соотношение ~(~7 О 'у1 (г) — (~7 О 'у2 (г) ~ = о® при г — ~ О. (21) Покажите, что если равенство (21) выполнено в одной из указанных систем координат, то оно будет выполнено и в другой такой же локальной системе координат гладкого многообразия М. Ь) Свойство путей касаться в некоторой точке р Е М является отношением эквивалентности на множестве гладких путей, проходящих на М через точку р. Класс эквивалентности по этому отношению назовем пучком касающихся путей в точке р Е М. Установите намеченное в ~3, п.1 взаимно однозначное соответствие между векторами пространства ТМр и пучками касающихся в точке р е М путей. с) Покажите, что если пути у1, у2 касаются в точке р е М, а ~ е С~~~ (М, К), то (О) = (О) Ю й с1) Покажите, как каждому вектору ~ Е ТМр сопоставляется функционал 1 = 1~(= Р~): С~~~(М, К) — ~ К, обладающий свойствами (8), (9), где хе — — р.
Обладающий этими свойствами функционал назовем дифференцированием в точке р Е М. Проверьте, что дифференцирование г в точке р есть локальная операция, т. е. если ~1, ~2 Е С~о'~ и ~1(х) = ~2(х) в некоторой окрестности точки р, то 1У1 = 1У2. е) Покажите, что если х',..., х" — локальные координаты в окрестности точки р, то 1 = ~~, (1хг) —, где — — операция вычисления частной производд д дх' дх' г=1 ной по х' в точке х, отвечающей точке р. (У к аз ан и е.
Запишите функцию Д~11~р~. М -+ К в локальных кооРдинатах; вспомните, что длЯ фУнкгг ции 1 Е С~~~(К",К) имеет место разложение ~(х) = ~(0) + ~~ х'д,(х), где г=1 д, Е С1~ ~ (К", К) и д,(0) = — Х- (О), г = 1,..., и ) 1) Проверьте, что если М вЂ” многообразие класса С1 ~, то линейное пространство дифференцирований в точке р е М изоморфно построенному в п. 1 настоящего параграфа пространству ТМр, касательному к М в точке р. 2. а) Если в каждой точке р Е М гладкого многообразия М фиксирован вектор ~(р) Е ТМр, то говорят, что на многообразии М задано векторное поле.
Пусть Х вЂ” векторное поле на М. Поскольку в силу предыдущей задачи любой вектор Х(р) = ~ Е ТМр можно интерпретировать как дифференцирование в соответствующей точке р, то по любой функции ~ Е С~"~(М, К) можно построить функцию Х~(р), значение которой в любой точке р Е М вычисляется применением Х(р) к ~, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
