Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 76
Текст из файла (страница 76)
422 ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ Легко проверить, что это формальное определение границы куба в точности совпадает с операцией взятия края стандартно ориентированного куба .Р (см. гл. Х11 ~ 3). Определение 8. Граница дс сингулярного р-мерного куба есть (р — 1)-мерная цепь 1 Р дс:= ~ ~ ( — 1)'~ ~с о сц.
г=О у=1 Определение 9. Граница р-мерной цепи ~ о1,с1, на многообра- й зии М есть (р — 1)-мерная цепь а 2' ...:=~',.а., Таким образом, на любом пространстве цепей Ср(М) определен линейный оператор д = др . Ср(м) — ~ Ср 1(М) . Исходя из соотношения (5), можно проверить, что для куба имеет место соотношение д(д1) = О. Следовательно, вообще д о д = д2 = О. Определение 10. Циклом я размерности р или р-циклом на многообразии называется такая цепь, для которой дя = О.
Определение 11. Граничным циклом о размерности р на многообразии называется цепь, являющаяся границей некоторой (р+ 1)-мерной цепи. Пусть Я~,(М) и Вр(М) — совокупности р-мерных циклов и р-мерных граничных циклов на многообразии М. Ясно, что Я1,(М) и В„(М) являются линейными пространствами над полем К и что Яр(м) Э Вр(М). Определение 12. Фактор-пространство Н„(М):= г„(МУВ„(М) называется р-мерной группой гомологий (с вещественными коэффициентами) многообразия М. Таким образом, два цикла я1, я2 Е Яр(м) лежат в одном классе гомологий или гомологичнь| если я1 — я2 Е В„(М), т.
е. если они отличаются ~4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 423 на границу некоторой цепи. Класс гомологий цикла я Е Яр(М) будем обозначать через ~я]. Как и в случае когомологий, соотношение (6) можно переписать в виде Нр(М) = Кегдр/1шдр+~. Определение 13. Если с: 1 — + М сингулярный р-мерный куб, а со — р-форма на многообразии М, то интегралом от формы со по зтому сингулярному кубу называется величина с 1 (7) ствующим сингулярным кубам. Из определений 5 — 8 и 13, 14 следует, что для интеграла по сингулярному кубу справедлива формула Стокса с ас (8) где с и со имеют размерность р и степень р — 1 соответственно. Если учесть еще определение 9, то можно заключить, что вообще формула Стокса (8) остается в силе для интегралов по цепям.
Теорема 2. а) Интеграл от точной формы по циклу равен нулю. Ь) Интеграл от замкнутой формы по границе цепи равен нулю. с) Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от класса гомологий цикла. с1) Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от класса когомологий формы. е) Если замкнутые р-формы со~, со2 и циклы я~, я2 размерности р таковы, что ~со~] = (со2] и ~я~] = [я2], то ~о1 — со2 2~ ~2 Определение 14.
Если ~ о~с1, — цепь размерности р, а й р-форма на многообразии М, то интеграл от формы по такой цепи понимается как линейная комбинация ~ о~ 1 со интегралов по соответ/с с~ 424 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ ~ а) По формуле Стокса / алло = / ы = О, так как дх = О. я дя Ь) По формуле Стокса / ы = / асо = О, так как йы = О. дс с с) Вытекает из Ь). сЦ Вытекает из а). е) Вытекает из с) и сЦ.
~ Следствие. Билинейное отображение й"(М) х Ср(М) -+ К, задаваемое формулой (ы,с) н ~ы, индуцирует билинейное отображение с ХУ(М) х Хр(М) -+ К и билинейное отображение НУ(М) х Нр(М) -+ К. Последнее задается формулой ИИ) ~ (9) где ы Е Я" (М) и г Е Яу(М). Теорема 3 (де Рам1)). Задаваемое формулой (9) билинейное отображение НУ(М) х Нр(М) -+ К невырождено2). Мы не останавливаемся здесь на доказательстве этой теоремы де Рама, но дадим несколько ее переформулировок, позволяющих в явном виде представить используемые в анализе ее следствия.
Прежде всего заметим, что каждый класс когомологий [ы~ Е Н" (М) в силу (9) можно интерпретировать как линейную функцию ЦЯ) = = / ы Таким образом, возникает естественное отображение НУ(М) — ~ -+ Нр(М), где Нр*(М) сопряженное к Нр(М) пространство. Теорема де Рама утверждает, что это отображение является изоморфизмом, и в этом смысле Н" (М) = Нр*(М). Определение 15. Если ы — замкнутая р-форма, а х цикл размерности р на многообразии М, то величина рег(х):= / ы называется периодом (или циклической постоянной) формы ы на цикле х.
ЦЖ. де Рам (1903 в 1969) †бельгийск математик; основные работы относятся к алгебраической топологии. ~~Напомним, что билинейная форма Ь(х, у) называется невырожденной, если при любом фиксированном отличном от нуля значении одной из переменных получается не равная нулю тождественно линейная форма по другой переменной. ~4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 425 В частности, если цикл я гомологичен нулю, то, как следует из утверждения Ь) теоремы 2, рег(я) = О. По этой причине между периодами имеется следующая связь: (10) Теорема 4 (первая теорема де Рама). Замкнутая форма точна тогда и только тогда, когда все ее периоды равны нулю.
Теорема 5 (вторая теорема де Рама). Если каждому р-циклу х е е Хр(М) на многообразии М сопоставить число рег(я) с соблюдением условия (10), то на М найдется такая замкнутая р-форма»о, что ~»о = рег(я) для любого цикла я Е Хр(М). Задачи и упражнения 1. Проверьте прямым вычислением, что полученная в примере 2 форма а действительно удовлетворяет уравнению да = »~. 2. а) Докажите, что любая односвязная область в 1~~ стягиваема по себе в точку. Ь) Покажите, что в 1~~ предыдущее утверждение, вообще говоря, не имеет места. 3. Проанализируйте доказательство теоремы Пуанкаре и покажите, что если гладкое отображение 6: М х 1 — + М рассматривать как семейство зависящих от параметра 1 Е 1 отображений 6».
М вЂ” + М, то для любой замкнутой на М формы»о, все формы 6»*»о, 1 Е 1 будут лежать в одном классе когомологий. 4. а) Пусть ~ ~ 6» Е С~~~(М,Х) — гладко зависящее от параметра ~ Е Е 1 С К семейство отображений многообразия М в многообразие Х. Проверьте, что для любой формы»о Е Й(Х) справедлива следующая формула гомот опии: д» вЂ” (6»*»о)(х) = »У»»*(»х»о)(х) + 6»*(»хА~)(х).
Здесь х е М; Х вЂ” векторное поле на Х, причем Х(х, 1) Е ТХь,~,~ и Х(х, 1) есть вектор скорости для пути»' ~ 6» (х) при»' = 1; оператор»х внутреннего т.е. если линейная комбинация циклов является граничным циклом, или, что то же самое, гомологична нулю, то соответствующая линейная комбинация периодов равна нулю. Имеют место следующие две теоремы де Рама, которые в совокупности равносильны теореме 3. 426 ГЛ. ХУ.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ произведения формы и векторного поля определен в задаче 7 предыдущего параграфа. Ь) Из формулы (11) получите утверждение, высказанное в задаче 3. с) Опираясь на формулу (11), докажите вновь теорему 1 Пуанкаре. с1) Покажите, что если К вЂ” стягиваемое в точку многообразие, то для любого многообразия М и при любом целом значении р имеет место равенство НЦК х М) = Н (М). е) Получите из формулы (11) соотношение (22) предыдущего параграфа.
5. а) Используя теорему 4, а также непосредственно покажите, что если замкнутая 2-форма на сфере 5~ такова, что / ы = О, то форма ы — точная. ~2 Ь) Покажите, что группа Н~(5~) изоморфна К с) Покажите, что Н'(5~) = О. 6. а) Пусть ~р: Я~ — + Я~ — отображение, которое каждой точке х Е Я~ ставит в соответствие диаметрально противоположную ей точку -х Е 5~ (антипод). Покажите, что между формами на проективной плоскости ЯР~ и формами на сфере 5~, инвариантными относительно отображения р (т. е.
р*~~ = ы), имеется взаимно однозначное соответствие. Ь) Представим ЯР~ как фактор-многообразие 5~/Г, где à — группа преобразований сферы 5~, состоящая из тождественного отображения и антиподального отображения р. Пусть т: 5~ — + ЯР~ = 5~/à — естественная проекция, т. е. зг(х) = (х, — х). Покажите, что зг о р = зг, и проверьте, что Чцбй~(Я ) (р ц=г1) ~ Зи)ЕЙ~(ЯР ) (7г и)=ц). с) Используя задачу 5а), покажите теперь, что Н~(ЯР~) = О. с1) Докажите, что если функция ~ Е С(5~, К) такова, что Дх) — 1"( — х) = = соп8$, то ~ = О. Учитывая задачу 5 с), выведите отсюда, что Н' (ЯР~) = О.
7. а) Представив ЯР~ в виде стандартного прямоугольника П с отождествлением противоположных сторон, указанным на рис. 98 ориентирующими стороны стрелками, покажите, что дП = 2с' — 2с; дс = Р— ф дс' = Р— Я. Ь) Выведите из сделанного в предыдущем задании наблюдения, что на ЯР~ нет нетривиальных двумерных циклов и, используя теорему де Рама, покажите, что Н~(ЯР~) = О. с) Покажите, что единственным (с точностью до множителя) нетривиальным одномерным циклом на МР~ является цикл с' — с и, поскольку с — с = 2дП, выведите 1 / с П из теоремы де Рама, что Н~(ЯР~) = О.
8. Найдите группы Но(М), Н~(М), Н~(М), если: а) М = 5' — окружность; р с д Ь) М = Т~ — двумерный тор; с) М =.К~ — бутылка Клейна. Рис. 98. 9. а) Докажите, что диффеоморфные многообразия имеют изоморфные группы (ко) гомологий соответствующей размерности. ~4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 427 Ь) На примере К~ и ЯР~ покажите, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно. 10. Пусть Х и У вЂ” линейные пространства над полем 2, а Цх, у) — невы- рожденная билинейная форма Л: Х х У вЂ” ~ 2. Рассмотрим отображение Х -~ — + У*, осуществляемое соответствием Х э х ~ Цх,.) Е У*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
