Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Исследование поточечной сходимости ряда в сущности есть исследование сходимости числового ряда, и с этим мы уже знакомы. Пример 1. Функцию ехр: С -+ С мы в свое время определили соотношением 1 ехр ю:= (1) п=О убедившись предварительно, что стоящий справа ряд сходится при каждом значении ю Е С. На языке определений 1 — 3 можно теперь сказать, что ряд (1) функций а„(ю) = ~~ю" сходится на всей комплексной плоскости и функция ехр ю является его суммой. В силу принятых определений 1, 2 между рядами и последовательностями их частичных сумм устанавливается обратимая связь: зная члены ряда, получаем последовательность частичных сумм, а зная последовательность частичных сумм, восстанавливаем все члены ряда: характер сходимости ряда отождествляется с характером сходимости последовательности его частичных сумм.
Пример 2. В примере 5 из ~ 1 была построена последовательность (~,„; т Е И) функций, сходящаяся на К к функции Дирихле Ю(х). Если Определение 2. Функция 8 (х) = ~, а„(х), как и в случае чип=1 словых рядов, называется частичной суммой или, точнее, т-й частичкой суммой ряда ~ а„(х). п=1 ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 440 положить а1(х) = ~1(х) и а„(х) = Ях) — ~„1(х) при и > 1, то мы получим ряд ~ а„(х), который будет сходиться на всей числовой оси, и=1 и ~, а„(х) = Ю(х). Прямая связь между рядами и последовательностями функций позволяет каждое утверждение о последовательностях функций переформулировать в виде соответствующего утверждения о рядах функций.
Так, применительно к последовательности (в„: Х -+ С; и Е И) доказанный в ~ 1 критерий Коши равномерной сходимости последовательности на множестве Е С Х означает, что Че > 0 ЛМ Е И Чп1,п2 > М Чх Е Е (~в„,(х) — в„,(х)~ ( е). (2) Отсюда с учетом определения 1 получается Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Ряд ~ а„(х) сходится равномерно на множестве Е тогда и только топ=1 гда, когда для любого е > 0 найдется такое число М е И, что при любых натуральных т, и, удовлетворяющих условию т > п > М, в любой точке х Е Е выполнено неравенство /а„(х) +...
+ а (х)/ ( е. (3) ~ Действительно, полагая в (2) п1 — — т, п2 = и — 1 и считая в„(х) частичной суммой нашего ряда, получаем неравенство (3), из которого, в свою очередь, при тех же обозначениях и условиях теоремы вытекает соотношение (2). ~ Замечание 1. Мы не указали в формулировке теоремы 1 область значений функций а„(х), подразумевая, что зто К или С. На самом деле областью значений, очевидно, может быть любое векторное нормированное пространство, например К" или С", если только оно является полным. Пример 3. В примере 9 из ~ 1 было показано, что последовательность функций ~„(х) = х" — х " сходится, но неравномерно, к нулю на отрезке [0,1].
Значит, полагая а1(х) = ~1(х), а„(х) = Ях) — ~„1(х) при и > 1, получим ряд ~, а„(х), который сходится к нулю на отрезке и=1 ~0,1], но сходится неравномерно. ~ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 441 Следствие 1 (необходимое условие равномерной сходимости ряда). Для тово, чтобы ряд ~, а„(х) сходился равномерно на некотоп=1 ром множестве Е, необходимо, чтобы а„~ О на Е при и -+ оо. ~ Это вытекает из определения равномерной сходимости последовательности к нулю и неравенства (3), если положить в нем т = и. ~ Пример 4. Ряд (1) сходится на комплексной плоскости С неравномерно, поскольку япр --1ю" = оо для любого и Е И, в то время как по 1 и лЕС необходимому условию равномерной сходимости, при наличии таковой, величина япр ~а„(х) ~ должна стремиться к нулю.
хЕЕ о Пример 5. Ряд ~, ~„, как мы знаем, сходится в единичном круге =1 " Х = (ю Е С ~ ф < 1). Поскольку ~„< — „, при ю Е Х, то ~ ~ О на Х при и -+ оо. Необходимое условие равномерной сходимости выполнено, однако этот ряд сходится неравномерно на Х. В самом деле, при любом фиксированном и Е И, считая ю достаточно близким к единице, можно в силу непрерывности членов ряда добиться выполнения неравенства Еп 2п 1 — +. + > — — +...+— и 2п 2 и 2п 1 > —. 4 По критерию Коши отсюда заключаем, что рассматриваемый ряд не сходится равномерно на множестве Х. 2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда Определение 4.
Будем говорить, что ряд ~ а„(х) сходится абп=1 солютно на множестве Е, если в любой точке х е Е соответствующий числовой ряд сходится абсолютно. утверждение 1. Если ряды ~, а„(х) и ~, Ь„(х) таковы, что п=1 п=1 ~а„(х)~ < Ь„(х) при любом х Е Е и при всех достаточно больших но- Замечание 2. Если в условиях теоремы 1 все функции а„(х) постоянны, мы получаем уже знакомый нам критерий Коши сходимости числового ряда ~ а„.
п=1 ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 442 ~ В силу принятых условий при всех достаточно больших номерах и и т (пусть и < т) в любой точке х е Е выполнены неравенства /ап(х) +... + а„„(х)/ /ап(х)/ +... + /а„„(х)/- < Ьп(х) +... + Ь (х) = /Ь„(х) +... + Ь (х)/. По критерию Коши для любого е > О можно в силу равномерной сходимости ряда ~, Ьп(х) указать номер М Е И так, что при любых п=1 т ) и ) М и любом х Е Е ~Ьп(х) + ... + Ь„п(х)~ < е. Но тогда из написанных неравенств следует, что в силу того же критерия Коши должны равномерно сходиться и ряд,~, ап(х), и ряд ,'> ~ап(х)~.
~ п=1 п=1 Следствие 2 (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда). Если для ряда ,'>, 'ап(х) можно указать такой схоп=1 дяшийся числовой ряд ~, Мп, что впр ~ап(х)~ < М„при всех достап=1 хЕЕ точно больших номерах и Е И, то ряд ,'>, 'ап(х) сходится на множесп=1 тве Е абсолютно и равномерно. ~ Сходящийся числовой ряд можно рассматривать как ряд из постоянных на множестве Е функций, который в силу критерия Коши сходится равномерно на Е. Значит, признак Вейерштрасса вытекает из утверждения 1, если положить в последнем Ьп(х) = Мп. ~ Признак Вейерштрасса является наиболее простым и вместе с тем наиболее часто используемым достаточным условием равномерной схо- димости ряда. В качестве примера его применения докажем следующее полезное утверждение 2.
Если степенной ряд ,'>, 'с„(х — хо)" сходится в п=О точке 1, ф хв, то он сходится абсолютно и равномерно в любом круге Хд — — (х Е С ) ~х — хо) < д)~ — хо(), где О < о < 1. мерах и Е И, то из равномерной сходимости ряда '>, 'Ьп(х) на Е вып=1 текает абсолютная и равномерная сходимость ряда ~, ап(х) на том п=1 же множестве Е. ~ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 443 ~ Из сходимости ряда ~ с„(1, — хо)" в силу необходимого признака п=О сходимости числового ряда следует, что с„(1, — хо)" -+ О при п -+ оо.
Значит, в рассматриваемом круге Хд при всех достаточно больших значениях п Е И справедливы оценки ~с„(х — хв)" ~ = ~с„(~ — хо)" ~ — о < ~ — во < ~с (1, — хо)" ~ . д" < д". Поскольку ряд ~ д" при ~д~ < 1 сходится, из п=О оценок )с„(х — хо)") < д" на основе мажорантного признака равномерной сходимости получаем высказанное утверждение 2. 1в Сопоставляя это утверждение с формулой Коши — Адамара для радиуса сходимости степенного ряда (см. гл.
У, ~ 5, (17)), приходим к заключению, что имеет место Замечание 3. Как показывают примеры 1 и 5, на всем круге К степенной ряд не обязан при этом сходиться равномерно. Вместе с тем может случиться, что степенной ряд равномерно сходится даже на замкнутом круге К. о Пример 6. Радиус сходимости ряда,~, ~ равен единице. Но если п=1 и и ~х~ < 1, то ~ < —, и по признаку Вейерштрасса рассматриваемый и' и' ряд сходится абсолютно и равномерно в замкнутом круге К = (х Е С ~ 1!<1) 3. Признак Абеля — Дирихле.
Следующие пары родственных достаточных условий равномерной сходимости ряда несколько более специальны и существенно связаны с вещественнозначностью определен- 1) В исключительном случае, когда 1пп ~с~~„~ = со, считается, что Л = О, а круг К л — ~со вырождается в единственную точку го.
Теорема 2 (о характере сходимости степенного ряда). Степенной ряд ,'>, 'с„(х — хо)" сходится в круге Х = (х Е С ~ ~х — хо~ < В), п=О ~,— 1 радиус которого определяется по формуле1~) .й, = ~ 1пп ~Д~~~ Коши — Адамара. Вне этого круга ряд расходится. На любом эамкнутом круге, лежащем строго внутри круга Х сходимости ряда, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно. ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 444 Определение 5. Говорят, что семейство У функций ~: Х вЂ” ~ С равномерно ограничено на некотором множестве Е С Х, если существует такое число М Е К, что для любой функции ~ Е У справедливо соотношение впр ~~(х)~ < М. хЕЕ Определение 6. Последовательность функций (Ь„: Х -+ Щ и е Е И) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве Е С С Х, если для любого х Е Е таковой является числовая последовательность (6„(х); и Е И). Неубывающие и невозрастающие на множестве последовательности функций называются монотионными носледовательностями на этом множестве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
