Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Попробуем найти решение этого уравнения, например, при и = О, в виде степенного ряда у = ~, с~сх . Последовательно используя формул В=о лу (15), после элементарных преобразований приходим к соотношению с1 -~-~ (Й'с~-~-св ~)х ' = О, В=О с1=0, Й с~с+с~с 2=0, 1=2,3, '~Ф. В. Бессель (1784 — 184б) — немецкий астроном. из которого,в силу указанной единственности степенного ряда с дан- ной суммой, находим ~ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 4бЗ Отсюда легко вывести, что сев г = О, Й с И, и све = ( — Ц вЂ” +~т.
(~С1)2~2 Если считать,7о(0) = 1, то мы приходим к соотношению Написанный ряд сходится на всей прямой К (и во всей плоскости С), поэтому проведенные выше до конкретизации его вида операции над этим рядом являются законными. Пример 6. В примере 5 мы искали решение уравнения в виде степенного ряда. Если же ряд задан, то, используя формулу (15), можно непосредственно проверить, является ли сумма ряда решением данного уравнения.
Так, прямым вычислением можно убедиться в том, что введенная Гауссом функция ~-~ а(а+ 1)... (а+ и — 1) Я~3+ 1)... (,В+ и — 1) Е(а,р,7,х) =1+ ~ х" ( Р ) ~ 17(7+ 1) ° (7+ 1) (гинергеометрический ряд) корректно определена при ~х~ ( 1 и удовлетворяет так называемому гииергеометрическому дифференциальному уравнению х(х — 1)у" — [7 — (а+, — 1)х] у'+ а,В у = О.
Отметим в заключение, что, в отличие от теорем 2, 3, в теореме 4 требуется, чтобы не исходное семейство, а семейство производных сходилось равномерно. Мы уже видели (см. пример 2 ~1), что последовательность функций Д„(х) = — „в1п и2х может сходиться к дифференцируемой функции Дх) = 0 равномерно, в то время как последовательность производных Д(х) не сходится к ~'(х). Дело в том, что производная зто характеристика скорости изменения функции, а не величины значений функции. Даже при очень малых по абсолютной величине изменениях значений функции производная формально может меняться очень сильно, как это имеет место в рассмотренном случае малых колебаний большой частоты.
Именно это обстоятельство легло в основу построенного Вейерштрассом примера непрерывной нигде не дифференцируемой функции, которую он задал в виде ряда Дх) =,'~, а" сов(Ь"тх), п=О 464 очевидно, равномерно сходящегося на всей прямой К, если О < а < 1. Вейерштрасс показал, что если параметр 6 выбрать удовлетворяющим условию а . 6 ) 1+ 27т, то, с одной стороны, 1 будет непрерывна как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, а с другой стороны, она не будет иметь производную ни в одной точке х б 2. Формальная проверка последнего утверждения довольно утомительна, поэтому желающие получить более простой пример непрерывной функции без производной могут посмотреть задачу 5 из ~ 1 гл.
Ч. Задачи и упражнения 1. Используя степенные ряды, найдите решение уравнения у" (х) — у(х) = О, удовлетворяющее условиям а) у(О) = О, у(1) = 1; Ь) у(0) = 1, р(1) = О. 2. Найдите сумму ряда ~ ,' п=1 3. а) Проверьте, что задаваемая в виде ряда функция ( 1)" х 21+и И (Й ~- и)! ( 2 ) является решением уравнения Бесселя с индексом и > 0 из примера 5. Ь) Проверьте, что гипергеометрический ряд из примера б доставляет решение гипергеометрического уравнения.
4. Получите и обоснуйте следующие пригодные для вычислений разложения полных эллиптических интегралов первого и второго рода при 0 < й < 1 зг/2 ((~п ц") ~г ) (2п 1) и ~ ~ЛП 1 — 'Г (2п)!! 2п — 1 к(й) = о ~г/2 е(й) = о 5. Найдите а) 2,' т"е'ь~; а=о Ь) 2, т" соя й~р; а=о с) ~, т вша.
а=о ГЛ. ХУ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ ~ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 465 Покажите, что при ~т~ ~ 1 Ю тйе'й~— 1 — тсов~р — гтип~р' й=о ОО 1 1 — 72 е) ~~+ ~ т" сояй~р — ~ й=1 1 — 2т сов ~р + т Г) ~ т" япй~р = й=1 1 — 2т сов ~р+ т Проверьте, что в смысле суммирования ряда методом Абеля ~) ~ + 2,' соя Ьр = О, если ~р ~ 2тп, п Е Ж; й=1 Ь) ~; яп Ьр = ~ с~~ ~~~, если ~р ~ 2тп, п Е У. й=1 6. Рассмотрев произведение рядов (ао + а1 + .. ) (Ьо + Ь1 +... ) = (со + с1 +...
), где с„= аоЬ„+ а1Ь„1 +... + а„1Ь1 + а„Ьо, и используя утверждение 1, покажите, что если ряды ~; а„, ~ Ь„, ~ с„сходятся соответственно к А, В п=о и=о п=о иС,тоА В=С. 7. Пусть 8„= ~ ай и о„= „— ~; 8й. Ряд ~ ай называется суммируемым 1 й=1 й=1 й=1 по Чезароц, точнее (с,1)-суммируемым к А, если 1пп о„= А.
В этом случае пишут 2, ай = А(с,1). й=1 а) Проверьте, что 1 — 1+ 1 — 1+... = ~~(с,1). Ь) Покажите, что о„= ~ ~1 — „) ай. / й — 11 й=1 с) Проверьте, что если 2,' ай = А в обычном смысле, то и 2, ай — — А(с, 1). й=1 й=1 й) (с, 2)-суммой ряда ~ , 'ай называют величину 1пп — „(~т1 +... + о„), если й=1 О~ОО" этот предел существует. Так можно определить сумму (с, т) любого порядка т. Покажите, что если 2 ай — — А(с,т), то ~ ай —— А(с,т+ 1). й=1 й=1 е) Докажите, что если 2,' ай = А(с, 1), то и методом Абеля этот ряд сум- й=1 мируется к той же величине А. 8. а) «Теорема тауберова тип໠— это собирательное название для теорем, дающих возможность при тех или иных дополнительных условиях ре- ЦЭ.
Чезаро (1859 — 1906) — итальянский математик, занимался анализом и геометрией. Гл. ХУ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 466 ~дГ. Х. Харди (1877 — 1947) — английский математик; основные труды посвящены теории чисел и теории функций. ~дА. Таубер (род. 1866; год смерти неизвестен) — австрийский математик; основные исследования относятся к теории чисел и теории функции.
гулярности судить о поведении самих величин по поведению некоторых их средних. Примером такой теоремы, относящейся к методу Чезаро суммирования рядов, является следующее утверждение, которое вы можете попробовать доказать вслед за Харди' ). Если д. а„= А(с, Ц и если а„= О (1), то рлд д. а„сходитсл о обыип=1 п=1 ном смысле и к той же сумме. Ь) Сама теорема Таубера~) относится к методу Абеля суммирования рядов и состоит в следующем. Пусть ряд ~; апх" сходится при О < х < 1 и 1пп ~ апх" = А.
Есп=1 ~ — +1 — О ли 1пп +~~ +' '+ "~п — О, то ряд ~ ап сходится в обычном смысле и П вЂ” +ОО п=1 причем к А. 9. Полезно иметь в виду, что в отношении предельного перехода под знаком интеграла существуют теоремы, дающие гораздо более свободные достаточные условия для возможности такого перехода, чем те, которые предоставляет теорема 3. Эти теоремы составляют одно из основных достижений так называемой теории интеграла Лебега. В случае, когда функция интегрируема по Риману на отрезке [а, Ь], т.е. ~ е Я[а, Ь], эта функция принадлежит также пространству .С[а, Ь] функций, интегрируемых по Лебегу, причем значения ь ь интегралов (В) / Дх) Их, (1.) / Дх) Их Римана и Лебега от ~ совпадают. а а Вообще пространство.С[а, Ь] есть пополнение пространства %[а, Ь] (точнее, ь Я[а, Ь]) по интегральной метрике, а интеграл (Ь) / есть продолжение линейной а ь функции (В) / с Я[а, Ь] на.С[а, Ь].
а Итоговая теорема Лебега «об ограниченной сходимости» утверждает, что если последовательность 1.1„; п Е Ы) функций ~„Е С[а,Ь] такова, что суи~ествует неотрицательная функция Г Е С[а, Ь], мажорирующая функции последовательности, т. е. ~~п(х)~ < Р(х) почти всюду на [а, Ь], то из сходи- мости 1„-+ ~ почти во всех точках отрезка [а, Ь] вытекает, что ~ Е С[а, Ь] ь ь и 1пп (1.) / ~„(х) дх = (Л) /' Дх) дх. а) Покажите на примере, что даже если все функции последовательности (~„; п Е И) ограничены одной и той же константой М на отрезке [а, Ь], из ~ 3.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 467 условий ~„е Я[а,Ь], и е И и ~„-+ ~ поточечно на [а,Ь] не следует, что ~ е И[а, Ь] (см. пример 5 из ~ 1). ь ь Ь) Основываясь на сказанном о взаимоотношении интегралов ~В) ], (Ь) ] а а и теореме Лебега, покажите, что если в условиях предыдущего пункта задачи ь ь известно, что все же ~ Е Я[а,Ь], то (В) ] Дх) дх = 1пп (В) ] ~„(х) дх. Это и — + ОО существенное усиление теоремы 3.
с) Применительно к интегралу Римана можно сформулировать еще следующий вариант теоремы Лебега о монотонной сходимости. Если последовательность 11„; и Е г4) функций ~„Е Я[а,Ь] сходится к нулю монотонно, т. е. О < ~'„+1 < 1„и ~„~ О при и -+ оо для любого х Е [а, Ь], тио (В) ] ~„(х) дх — т О. а Докажите это утверждение, используя при необходимости следующее полезное наблюдение. 1 й) Пусть ~ Е Я[а,Ь], ~Д < М и ] Дх) дх > а > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
