Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Но число я ) О было выбрано произвольно, поэтому доказано, что любую функцию 1 Е С(Х,К) можно сколь угодно точно равномерно приблизить на Х функциями из алгебры А. 1» Задачи и упражнения 1. Семейство У функций ~: Х вЂ” ~ У, определенных на метрическом пространстве Х и принимающих значения в метрическом пространстве У, называется равностепенно непрерывным в точке хо Е Х, если для любого а > О найдется Б > О такое, что для любой функции ~ Е У соотношение д~-(х, х,) < о влечет ЙуЦ(х), ~(хо)) < е. а) Покажите, что если семейство 7- функций ~: Х вЂ” ~ У равностепенно непрерывно в точке хо Е Х, то любая функция ~ Е У непрерывна в точке хв, но утверждение, обратное к этому, неверно.
~ 4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 477 Ча>0 ЭБ>0 Ч~ЕУ ыЦ;В(х,д)) <е, Уа>0 ЭБ>0 Ч~ЕУ ЧхЕХ ыЦ;В(х,в)) <е? е) Покажите на примере, что теорема Арцела — Асколи, вообще говоря, не имеет места, если К не является компактом: постройте на К равномерно ограниченную и равностепенно непрерывную последовательность ~~„; и Е И) функций ~„= ~р(х + и), из которой нельзя извлечь равномерно сходящуюся на К подпоследовательность. Г) Опираясь на теорему Арцела — Асколи, решите задачу 10 с) из ~3.
2. а) Объясните подробно, почему любую непрерывную кусочно линейную функцию на отрезке [а,Ь] можно представить в виде линейной комбинации функций вида Г~, ~„указанных в доказательстве теоремы Вейерштрасса. Ь) Докажите теорему Вейерштрасса для комплекснозначных непрерывных функций ~:[а,Ь] -+ С. ь с) Величину М„= / ~(х)х" сЬ часто называют и-м моментом функции а ~: [а, Ь] -+ С на отрезке [а, Ь]. Покажите, что если ~ Е С([а, Ь], С) и М„= 0 при любом и Е 1Ч, то Я(х) = 0 на ~а, Ь]. 3.
а) Покажите, что алгебра, порожденная парой функций 11, х~) плотна в множестве всех четных, непрерывных на отрезке [ — 1, 1] функций. Ь) Решите предыдущий вопрос для алгебры, порожденной одной функцией 1х), и множества нечетных функций, непрерывных на отрезке [ — 1, 1]. с) Любую ли функцию ~ Е С([0, ~т], С) можно сколь угодно точно равномерно аппроксимировать функциями алгебры, порожденной парой функций (1, е'*)? й) Ответьте на предыдущий вопрос в случае ~ е С([ — ~, ~], С). Ь) Докажите, что если семейство У функций ~: К вЂ” ~ У равностепенно непрерывно в любой точке компакта К, то оно равностепенно непрерывно на К в смысле определения 2. с) Покажите, что если метрическое пространство Х не является компактом, то из равностепенной непрерывности семейства У функций ~: Х -+ У в каждой точке х е Х еще не вытекает равностепенная непрерывность У на Х. По этой причине, если семейство У равностепенно непрерывно на множестве Х в смысле определения 2, его часто называют равномерно равностепенно непрерывным на множестве.
Таким образом, между равностепенной непрерывностью в точке и равномерной равностепенной непрерывностью семейства функций на множестве Х соотношение такое же, как между непрерывностью и равномерной непрерывностью отдельной функции ~: Х вЂ” ~ У на множестве Х.
с1) Пусть ы® Е) колебание функции ~: Х вЂ” ~ У на множестве Е с Х, а В(х,в) шар радиуса в с центром в точке х е Х. Определением каких понятий являются следующие записи: 478 ГЛ. ХУ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ е) Покажите, что ответ на предыдущий вопрос будет положительным тогда и только тогда, когда 1 ( — к) = ~(т). 1) Любую ли функцию ~ Е С([а, Ь], С) можно равномерно аппроксимировать линейными комбинациями функций системы (1, сов х, нп х,..., сов пх, яп пх,... ), если [а, Ь] С ] — зг, зг[? а) Любую ли четную функцию ~ Е С([ — ~г,зг],С) можно равномерно аппроксимировать функциями системы (1, сов х,..., сов пх,...
)? Ь) Пусть [а, Ь] — произвольный отрезок прямой К. Покажите, что алгебра, порожденная на [а, Ь] любой не обращающейся в нуль строго монотонной функцией ~р(х) (например, е*), плотна в С([а, Ь], К). 1) При каком расположении отрезка [а, Ь] С К порожденная функцией у(х) = х алгебра плотна в С([а, Ь], К)? 4. а) Комплексная алгебра функций А называется самосопряженной, если из ~ е А следует, что ~ Е А, где ~(х) — значение, сопряженное к ~(х). Покажите, что если комплексная алгебра А не вырождается на Х и разделяет точки Х, то при условии самосопряженности алгебры А можно утверждать, что подалгебра Ан вещественнозначных функций алгебры А тоже не вырождается на Х и тоже разделяет точки множества Х. Ь) Докажите следующий комплексный вариант теоремы Стоуна.
Если комплексная алгебра А функций ~: Х вЂ” ~ С не вырождается на Х и разделяет точки Х, то при условии самосопряженности алгебры А можно утверждать, что она плотна в С(Х, С). с) Пусть Х = (я Е С ~ ~я~ = Ц вЂ” единичная окружность, А — алгебра на Х, порожденная функцией е'~, где ~р полярный угол точки я Е С. Эта алгебра не вырождается на Х и разделяет точки Х, но не является самосопряженной. Докажите, что для любой функции ~: Х + С, допускающей равномерную аппроксимацию злементами алгебры А, должно выполняться равенство 2зг / Де'~)е'"~ Жр = О при любом и Е И.
Используя это обстоятельство, проверьо те, что ограничение на окружность Х функции Дя) = Т есть непрерывная на Х функция, которая не входит в замыкание указанной алгебры А. ГЛАВА ХЧ11 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА В этой главе общие теоремы о семействах функций, зависящих от параметра, будут применены к одному из наиболее часто встречающихся в анализе виду таких семейств — к интегралу, зависящему от параметра. ~ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 1.
Понятие интеграла, зависящего от параметра. Интеерал, зависящий от параметра, это функция вида где 8 играет роль параметра, пробегающего некоторое множество Т, а каждому значению 8 Е Т отвечает множество Е~ и интегрируемая на нем в собственном или несобственном смысле функция ~р~(х) = ~(х, 8). Природа множества Т может быть самой разнообразной, но важнейшими, разумеется, являются случаи, когда Т подмножество пространств К, С, К" или С". Если при каждом значении параметра 8 Е Т интеграл (1) является собственным, то принято говорить, что функция Р в (1) есть собственный интеграл, зависящий от параметра. Если же при всех или при некоторых значениях 8 Е Т интеграл в (1) существует только в несобственном смысле, то функцию Р обычно называют несобственным интеералом, зависящим от параметра.
Но это, конечно, всего лишь терминологические условности. ГЛ. ХЧ11. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 480 В том случае, когда х Е К™, Е~ С К™ и т ) 1, говорят, что имеют дело с кратным (двойным, тройным и т. д.) интегралом (1), зависящим от параметра. Главное внимание мы сосредоточим, однако, на одномерном случае, составляющем основу любых обобщений. Более того, для простоты мы сначала в качестве Е~ будем брать только не зависящие от параметра промежутки числовой прямой К, и к тому же будем считать, что на них интеграл (1) существует в собственном смысле.
2. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра. Утверждение 1. Пусть Р = ~(х,у) Е К2 ~ а < х < Ь Л с < у < ( еЦ прямоугольник в плоскости К2. Если функция 1: Р— ~ К непрерывна, т. е. если 1 е С(Р,К), то функция 6 Р(у) = У( у) ~ а (2) непрерывна в любой точке у Е [с,д]. ~ Из равномерной непрерывности функции 1 на компакте Р вытекает, что ~рд(х):= Дх,у) ~ ~(х,уо) =: ~рц,(х) на [а,Ь] при у — ~ уо, у,уо Е [с,с~. При каждом у е [с,а] функция ~р~(х) = ~(х,у) непрерывна по х на отрезке [а, Ь], а значит, и интегрируема на нем.
По теореме о предельном переходе под знаком интеграла теперь можно утверждать, что Р(уо) = 1(х,уо) Ь= Ь 1(х,у) Ь= Ь Х'(у).Ю У вЂ” +Уо У вЂ” +УО Замечание 1. Как видно из приведенного доказательства, утверждение 1 о непрерывности функции (2) остается в силе, если в качестве множества значений параметра у взять любой компакт Х, конечно, при условии, что 1" Е С(1 х Х, К), где 1 = (х Е К ~ а < х < Ь'1. Отсюда, в частности, можно сделать вывод, что если 1 Е С~1 х х В, К), где .0 — открытое множество в К", то Р е С(0, К), поскольку любая точка уо е .0 имеет компактную окрестность Х с .О, а ограничение функции 1 на 1 х Х является непрерывной функцией на компакте 1хХ. ~1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 481 Мы сформулировали утверждение 1 для вещественнозначных функций, но, конечно, оно вместе с доказательством сохраняет силу и для векторнозначных функций, например, для функций, принимающих значения в С, в ~™ или С™.
У(х) = У1хо) + т(хйх — х0), (3) где ~р непрерь1вная функция, причем ~р(х0) = ~'(х0). Равенство (3) легко следует из формулы У(хо+6) — У(хо) = У'(хо+а)а 6 (4) Ньютона — Лейбница и утверждения 1, применяемого к функции Р(6) = 1 = / ~ (х0+ 86) сЫ: остается сделать замену 6 = х — х0 и положить ~р(х) = 0 = Е(х — хо). Полезно заметить, что равенство (4) имеет место для х0, 6 Е К", где и не обязано быть только единицей. Раскрывая символ ~' подробнее и полагая для простоты записи х0 — — О, можно вместо (4) написать и тогда в равенстве ~3) следует положить П <р(х)х = ~<р,(х)х', г=1 где р,(х) = Х ~~-,~1х)сИ. 0 д Пример 1.
ПридоказательствелеммыМорса (см. часть1, гл. УП1, 8 6) мы упоминали о следующем утверждении, называемом л е м м о й А д амара. Если функция ~ в окрестности У точки х0 принадлежит классу С®(У, К), то в некоторой окрестности точки х0 ее можно представить в виде ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 482 3. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра Утверждение 2. Если на прямоугольнике Р = ((х,у) Е ~~ ~ а < < х < Ь Л с < у < д) функция 1: Р— ~ К непрерывна и имеет непрерывную частную производную по у, то интеграл (2) принадлежит классу С®([с, с~, К), причем г"~(у) = — (х, у) дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
