Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 90
Текст из файла (страница 90)
~ Пусть для определенности существует второй из двух указанных в с) повторных интегралов. Ввиду условия а) и первого из условий Ь) на основании утверждения 7 можно сказать, что при любом а' Е [с, Ы[ для функции ~ справедливо равенство (14). Если мы покажем, что при И -+ Ы, И Е [с, Ы[ правая часть равенства (14) стремится к правой части соотношения (16), то равенство (16) будет доказано, поскольку тогда его левая часть тоже будет существовать и являться пределом левой части равенства (14) по самому определению несобственного интеграла. Положим 508 ГЛ. ХУП.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Таким образом, выполнены условия утверждения 4 и можно заключить, что 1пп Ф~(х) Ых = Ф(х) дх; йЕ[с,ю[ а именно это нам и оставалось проверить. В Следующий пример показывает, что появление в утверждении 8 дополнительного по сравнению с утверждением 7 условия с) не является случайным. Пример 15. Вычисление при А > О интеграла +ОО А Г х2 — у2 х + А 1 с~х =— <— (х2+у2)2 х2+у2 А2+у2 А А показывает заодно, что при любом фиксированном значении А > О он сходится равномерна относительно параметра на всем множестве К действительных чисел.
То же самое можно было бы сказать об интеграле, отличающемся от написанного заменой Их на ду. Значения этих интегралов, кстати, отличаются только знаком. Прямое вычисление показывает, что +ОО +ОО +со +со 4 (х2+ ~)2 У ' У (х2+ 2)2 4 А А А А Пример 16. При а > О и Д > О повторный интеграл е — у г~у (ху)ае (ху)упх о о о о от неотрицательной непрерывной функции, как показывает написанное +со тождество, существует: он равен нулю при у = О и равен / у~1е Уду. о +со / и~е "Ии при у > О. Таким образом, в этом случае выполнены услоо вия а) и с) утверждения 8.
То, что для рассматриваемого интеграла ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 509 выполнены оба условия Ь), было проверено в примере 3. Значит, в силу утверждения 8, имеет место равенство а а+~3+1 — (1+х)У д д а а+,9+1 — (1+к)У д о о о о Подобно тому, как из утверждения 7 вытекало следствие 3, из утверждения 8 можно вывести Следствие 4. Если а) функция Дх,у) непрерывна на множестве Р = ((х, у) Е К ~ а < х < ы Л с < у < ы), Ь) неотрицательна на Р, с) оба интеграла г'(у) = ~(х,у) дх, Ф(х) = Дх,у) Иу а с являются непрерывными функциями на промежутках [а,ы[, [с,~о[ соответственно и й) существует хотя бы один из повторных интегралов Иу Дх, у) Их, Их ~(х, у) Иу, с а а с то существует и другой повторный интеграл, причем их значения совпадают.
~ Рассуждая, как и при доказательстве следствия 3, из условий а), Ь), с) на основе теоремы Дини заключаем, что в рассматриваемом случае выполнено условие Ь) утверждения 8. Поскольку ~ > О, наше условие й) совпадает с условием с) утверждения 8. Таким образом, все условия утверждения 8 выполнены и, значит, имеет место равенство (15). 1ь Замечание 3. Как указывалось в замечании 2, интеграл, имеющий особенности на обоих концах промежутка интегрирования, сводится к сумме двух интегралов, каждый из которых имеет по одной ГЛ.
ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 510 особенности. Это позволяет применять доказанные здесь утверждения и их следствия также к интегралам по интервалам ]ы1,ы2[С 1И. При этом, естественно, те условия, которые раньше выполнялись на отрезках [а,б] С [а,ы[, теперь должны быть выполнены на отрезках [а, о] С]~1,~2[.
.2 1 е * дх = —;/т. 2 (17) Это известный интеграл Эйлера — Пуассона. ~ Заметим сначала, что при у > Π— и2 — х е "~и=у е (*И Их и что значение интеграла в равенстве (17) не изменится от того, понимать ли интеграл взятым по полуинтервалу [О, +ос[ или по интервалу ]О, +ос[. Таким образом, уе У йу е (*"~ Их = е " Йу е " Йи =,7, о о при этом считаем, что интегрирование по у ведется в пределах интервала ]О, +ос[.
Как мы проверим, в указанном повторном интеграле допустимо изменение порядка интегрирований по переменным х и у, поэтому о о откуда и следует равенство (17). Обоснуем теперь законность изменения порядка интегрирований. Пример 17. Используя изменения порядка двух несобственных интегрирований, покажем, что ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 511 Функция уе ~+*)" и'у=— Г .2 2 1 1 21+х2 непрерывна при х > О, а функция непрерывна при у > О. Учитывая сделанное выше общее замечание 3, на основе следствия 4 заключаем теперь, что проведенное изменение порядка интегрирований действительно законно. 1ь Задачи и упражнения 1.
Пусть а = ао < а1 « ... а„« ... !1. Представим интеграл (1) в виде ОО ать суммы ряда ~ у„(у), где у„(у) = / Дх, у) Их. Докажите, что интеграл (1) п=1 1 сходится равномерно на множестве Е с У тогда и только тогда, когда любой последовательности (а„) указанного вида отвечает ряд ~ ~о„(у), сходящийся п=1 равномерно на множестве Е. 2. а) В соответствии с замечанием 1 проведите все построения п. 1 в случае комплекснозначной подынтегральной функции ~. Ь) Проверьте высказанные в замечании 2 утверждения.
1 3. Проверьте, что функция,4(х) = 1 / '~'*~ й удовлетворяет уравне- /1 е2 О 1~— нию Бесселя у" + — у'+ у = О. 1 +со +со 4. а! Исходя ив равенства !' — и — =,с —, покажите, что !1 ~г 1 2 + ! 2 (~2 + у2)п 2п — 3!! 1 7 ~2!1 — 2 !! 2п:Х' +со Ь! проверьте, что 1 — и — ~ = ~ ~ — + ~--;ксп. О (1+ (у2(!1)) — и 2 с) Покажите, что (1+ (у /и)) '~ е " на К при и ~+со и что и ~+м ( (1 + (у2/п))п ( ГЛ.
ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 512 с1) Получите следующую формулу Валлиса: (2п — 3)11 1 и-+ о (2п — 2)11 1пп 5. Учитывая равенство (17), покажите, что — х 2 а) / е х соя2худх = 2фге " . о 2 2 Р во 2 Ь) / е х я1п2худх = е " / е (Й. о о 6. При условии 8 ) О докажите тождество +оо +оо Г е 'х Г я1п(х — ~) Их= / Их, 1+х2 / х о Ь используя то обстоятельство, что оба эти интеграла как функции параметра 1 удовлетворяют уравнению у+ у = 1/8 и стремятся к нулю при 8 — ~ +оо.
7. Покажите, что 1 л!2 1 )й". ~ агсСдх К(й)с%= . И~ =~ И~ я1п у ,/ х о о о л/2 где гд Ксй) = 1 — л — — — полный аллиптический интеграл первого рода. 0 1 — ~р28)п2 у 8. а) Считая, что а ) О и б ) О и используя равенство +оо Ь Их е худу = Их, О а о вычислите последний интеграл. Ь) При а ) О, Ь ) О вычислите интеграл +со à — ах — Ьх е — е соя х Их. х с) Используя интеграл Дирихле (13) и равенство +оо Ь +оо Г Их соя ах — соя бх — я1пху пу— х х О а о СЯ ИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 513 ~2. НЕСОБС ТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩ вычислите последнии интеграл.
9. а) Докажите, что при Й > ж>О +со +со Ии = Ии е ~~+" ~'яп8й. о о ся в силе и при значении ее авенство остает Ь) Покажите, что предыдущ р й = О. йле а — П ассона ~17), проверьте, что с) Используя интеграл Эйлера — уассон +со ~Д фг й) Используя последнее раве венство и соотношения +со +со Г 1 1 яп~ в1пх Их = — ~ й, 2 2,/ ~Д о о ~~~ интегралов Френеля получите значение +00 +со Г я1п х ах, сов х ах. о о 10. а) Используя равенство +со +00 +00 Г И = в1пхйх е *"йу х о о о ег и ований в повторном жность изменения порядка интегр р и обосновав возможность и п име е 13 значение интеграла Дирихинтеграле, получи учите вновь найденное в примере зн ч ле (13).
Ь) Покажите, что при а > О и,д > О +со Г сов,Охах = яп ах х о аз ывным множителем Дирихле. Этот интеграл часто называют разр +со +со Г е яппи й е о о + 00 1 сов 8 совх дх = — ~ й, 2 о о — если,д < а, 2' — если ~У = а, 4~ О, если ~У > а. ГЛ. ХЧ11. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 514 с) Считая а ) О, ф ) О, проверьте равенство +ОО яшах яп,дх —,В, если,3 ( а, дх = х х 2а, если а ~ С~В.
п с1) Докажите, что если числа а, а1,..., а„положительны и а ) ~~, а;, то г=1 вша„х т дх = — а|а2... а„. х 2 Г япах япа|х х х 11. Рассмотрим интеграл У'(у) = 1(х, у)д(х) дх, а где д — локально интегрируемая на промежутке ~а, ~~ функция (значит, при любом Ь Е ~а, ~~ д/~, ц Е Я,~а, Ь]). Пусть функция 1 удовлетворяет порознь условиям а) утверждений 5 — 8. Если в остальных условиях этих утверждений под знаком интеграла 1(х, у) заменить на ~(х, у) - д(х), то получатся условия, при которых можно, используя задачу 6 из ~ 1 и дословно повторяя доказательства утверждений 5 — 8, заключить соответственно, что а) .Т Е С~с, с~.
Ь) У Е С~Ц[с, с~, причем У'(у) = / — (х,у)д(х) дх. гду дд а с) У'Е И~с,с~, причем а с с1) У' несобственно интегрируема на ~с, Ы~, причем У'(у) сну = ~(х, у)д(х) сну дх. с а с Проверьте зто. ~ 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ ~ 3. Эйлеровы интегралы В(а„В):= х~ (1 — х)~1 дх, о Г(а):= х'" е *Их. (2) Первую из них называют бета-функцией, а вторую, особенно часто используемую, гамма-функцией Эйлера. 1.
Бета-функция а. Область определения. Для сходимости интеграла (1) на нижнем пределе интегрирования необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие а ) О. Аналогично, сходимости интеграла (1) в единице отвечает условие,В ) О. Таким образом, функция В(а,,В) определена при одновременном выполнении двух условий: а)О и,В)О. Замечание. Мы здесь всюду считаем а и,В действитсльными числами. Следует, однако, иметь в виду, что наиболее полная картина о свойств функций В и Г и наиболее глубокие приложения этих функции связаны с выходом в область комплексных значении параметров.