Главная » Просмотр файлов » Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А.

Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 90

Файл №1238793 Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А.) 90 страницаУчебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793) страница 902020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 90)

~ Пусть для определенности существует второй из двух указанных в с) повторных интегралов. Ввиду условия а) и первого из условий Ь) на основании утверждения 7 можно сказать, что при любом а' Е [с, Ы[ для функции ~ справедливо равенство (14). Если мы покажем, что при И -+ Ы, И Е [с, Ы[ правая часть равенства (14) стремится к правой части соотношения (16), то равенство (16) будет доказано, поскольку тогда его левая часть тоже будет существовать и являться пределом левой части равенства (14) по самому определению несобственного интеграла. Положим 508 ГЛ. ХУП.

ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Таким образом, выполнены условия утверждения 4 и можно заключить, что 1пп Ф~(х) Ых = Ф(х) дх; йЕ[с,ю[ а именно это нам и оставалось проверить. В Следующий пример показывает, что появление в утверждении 8 дополнительного по сравнению с утверждением 7 условия с) не является случайным. Пример 15. Вычисление при А > О интеграла +ОО А Г х2 — у2 х + А 1 с~х =— <— (х2+у2)2 х2+у2 А2+у2 А А показывает заодно, что при любом фиксированном значении А > О он сходится равномерна относительно параметра на всем множестве К действительных чисел.

То же самое можно было бы сказать об интеграле, отличающемся от написанного заменой Их на ду. Значения этих интегралов, кстати, отличаются только знаком. Прямое вычисление показывает, что +ОО +ОО +со +со 4 (х2+ ~)2 У ' У (х2+ 2)2 4 А А А А Пример 16. При а > О и Д > О повторный интеграл е — у г~у (ху)ае (ху)упх о о о о от неотрицательной непрерывной функции, как показывает написанное +со тождество, существует: он равен нулю при у = О и равен / у~1е Уду. о +со / и~е "Ии при у > О. Таким образом, в этом случае выполнены услоо вия а) и с) утверждения 8.

То, что для рассматриваемого интеграла ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 509 выполнены оба условия Ь), было проверено в примере 3. Значит, в силу утверждения 8, имеет место равенство а а+~3+1 — (1+х)У д д а а+,9+1 — (1+к)У д о о о о Подобно тому, как из утверждения 7 вытекало следствие 3, из утверждения 8 можно вывести Следствие 4. Если а) функция Дх,у) непрерывна на множестве Р = ((х, у) Е К ~ а < х < ы Л с < у < ы), Ь) неотрицательна на Р, с) оба интеграла г'(у) = ~(х,у) дх, Ф(х) = Дх,у) Иу а с являются непрерывными функциями на промежутках [а,ы[, [с,~о[ соответственно и й) существует хотя бы один из повторных интегралов Иу Дх, у) Их, Их ~(х, у) Иу, с а а с то существует и другой повторный интеграл, причем их значения совпадают.

~ Рассуждая, как и при доказательстве следствия 3, из условий а), Ь), с) на основе теоремы Дини заключаем, что в рассматриваемом случае выполнено условие Ь) утверждения 8. Поскольку ~ > О, наше условие й) совпадает с условием с) утверждения 8. Таким образом, все условия утверждения 8 выполнены и, значит, имеет место равенство (15). 1ь Замечание 3. Как указывалось в замечании 2, интеграл, имеющий особенности на обоих концах промежутка интегрирования, сводится к сумме двух интегралов, каждый из которых имеет по одной ГЛ.

ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 510 особенности. Это позволяет применять доказанные здесь утверждения и их следствия также к интегралам по интервалам ]ы1,ы2[С 1И. При этом, естественно, те условия, которые раньше выполнялись на отрезках [а,б] С [а,ы[, теперь должны быть выполнены на отрезках [а, о] С]~1,~2[.

.2 1 е * дх = —;/т. 2 (17) Это известный интеграл Эйлера — Пуассона. ~ Заметим сначала, что при у > Π— и2 — х е "~и=у е (*И Их и что значение интеграла в равенстве (17) не изменится от того, понимать ли интеграл взятым по полуинтервалу [О, +ос[ или по интервалу ]О, +ос[. Таким образом, уе У йу е (*"~ Их = е " Йу е " Йи =,7, о о при этом считаем, что интегрирование по у ведется в пределах интервала ]О, +ос[.

Как мы проверим, в указанном повторном интеграле допустимо изменение порядка интегрирований по переменным х и у, поэтому о о откуда и следует равенство (17). Обоснуем теперь законность изменения порядка интегрирований. Пример 17. Используя изменения порядка двух несобственных интегрирований, покажем, что ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 511 Функция уе ~+*)" и'у=— Г .2 2 1 1 21+х2 непрерывна при х > О, а функция непрерывна при у > О. Учитывая сделанное выше общее замечание 3, на основе следствия 4 заключаем теперь, что проведенное изменение порядка интегрирований действительно законно. 1ь Задачи и упражнения 1.

Пусть а = ао < а1 « ... а„« ... !1. Представим интеграл (1) в виде ОО ать суммы ряда ~ у„(у), где у„(у) = / Дх, у) Их. Докажите, что интеграл (1) п=1 1 сходится равномерно на множестве Е с У тогда и только тогда, когда любой последовательности (а„) указанного вида отвечает ряд ~ ~о„(у), сходящийся п=1 равномерно на множестве Е. 2. а) В соответствии с замечанием 1 проведите все построения п. 1 в случае комплекснозначной подынтегральной функции ~. Ь) Проверьте высказанные в замечании 2 утверждения.

1 3. Проверьте, что функция,4(х) = 1 / '~'*~ й удовлетворяет уравне- /1 е2 О 1~— нию Бесселя у" + — у'+ у = О. 1 +со +со 4. а! Исходя ив равенства !' — и — =,с —, покажите, что !1 ~г 1 2 + ! 2 (~2 + у2)п 2п — 3!! 1 7 ~2!1 — 2 !! 2п:Х' +со Ь! проверьте, что 1 — и — ~ = ~ ~ — + ~--;ксп. О (1+ (у2(!1)) — и 2 с) Покажите, что (1+ (у /и)) '~ е " на К при и ~+со и что и ~+м ( (1 + (у2/п))п ( ГЛ.

ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 512 с1) Получите следующую формулу Валлиса: (2п — 3)11 1 и-+ о (2п — 2)11 1пп 5. Учитывая равенство (17), покажите, что — х 2 а) / е х соя2худх = 2фге " . о 2 2 Р во 2 Ь) / е х я1п2худх = е " / е (Й. о о 6. При условии 8 ) О докажите тождество +оо +оо Г е 'х Г я1п(х — ~) Их= / Их, 1+х2 / х о Ь используя то обстоятельство, что оба эти интеграла как функции параметра 1 удовлетворяют уравнению у+ у = 1/8 и стремятся к нулю при 8 — ~ +оо.

7. Покажите, что 1 л!2 1 )й". ~ агсСдх К(й)с%= . И~ =~ И~ я1п у ,/ х о о о л/2 где гд Ксй) = 1 — л — — — полный аллиптический интеграл первого рода. 0 1 — ~р28)п2 у 8. а) Считая, что а ) О и б ) О и используя равенство +оо Ь Их е худу = Их, О а о вычислите последний интеграл. Ь) При а ) О, Ь ) О вычислите интеграл +со à — ах — Ьх е — е соя х Их. х с) Используя интеграл Дирихле (13) и равенство +оо Ь +оо Г Их соя ах — соя бх — я1пху пу— х х О а о СЯ ИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 513 ~2. НЕСОБС ТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩ вычислите последнии интеграл.

9. а) Докажите, что при Й > ж>О +со +со Ии = Ии е ~~+" ~'яп8й. о о ся в силе и при значении ее авенство остает Ь) Покажите, что предыдущ р й = О. йле а — П ассона ~17), проверьте, что с) Используя интеграл Эйлера — уассон +со ~Д фг й) Используя последнее раве венство и соотношения +со +со Г 1 1 яп~ в1пх Их = — ~ й, 2 2,/ ~Д о о ~~~ интегралов Френеля получите значение +00 +со Г я1п х ах, сов х ах. о о 10. а) Используя равенство +со +00 +00 Г И = в1пхйх е *"йу х о о о ег и ований в повторном жность изменения порядка интегр р и обосновав возможность и п име е 13 значение интеграла Дирихинтеграле, получи учите вновь найденное в примере зн ч ле (13).

Ь) Покажите, что при а > О и,д > О +со Г сов,Охах = яп ах х о аз ывным множителем Дирихле. Этот интеграл часто называют разр +со +со Г е яппи й е о о + 00 1 сов 8 совх дх = — ~ й, 2 о о — если,д < а, 2' — если ~У = а, 4~ О, если ~У > а. ГЛ. ХЧ11. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 514 с) Считая а ) О, ф ) О, проверьте равенство +ОО яшах яп,дх —,В, если,3 ( а, дх = х х 2а, если а ~ С~В.

п с1) Докажите, что если числа а, а1,..., а„положительны и а ) ~~, а;, то г=1 вша„х т дх = — а|а2... а„. х 2 Г япах япа|х х х 11. Рассмотрим интеграл У'(у) = 1(х, у)д(х) дх, а где д — локально интегрируемая на промежутке ~а, ~~ функция (значит, при любом Ь Е ~а, ~~ д/~, ц Е Я,~а, Ь]). Пусть функция 1 удовлетворяет порознь условиям а) утверждений 5 — 8. Если в остальных условиях этих утверждений под знаком интеграла 1(х, у) заменить на ~(х, у) - д(х), то получатся условия, при которых можно, используя задачу 6 из ~ 1 и дословно повторяя доказательства утверждений 5 — 8, заключить соответственно, что а) .Т Е С~с, с~.

Ь) У Е С~Ц[с, с~, причем У'(у) = / — (х,у)д(х) дх. гду дд а с) У'Е И~с,с~, причем а с с1) У' несобственно интегрируема на ~с, Ы~, причем У'(у) сну = ~(х, у)д(х) сну дх. с а с Проверьте зто. ~ 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ ~ 3. Эйлеровы интегралы В(а„В):= х~ (1 — х)~1 дх, о Г(а):= х'" е *Их. (2) Первую из них называют бета-функцией, а вторую, особенно часто используемую, гамма-функцией Эйлера. 1.

Бета-функция а. Область определения. Для сходимости интеграла (1) на нижнем пределе интегрирования необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие а ) О. Аналогично, сходимости интеграла (1) в единице отвечает условие,В ) О. Таким образом, функция В(а,,В) определена при одновременном выполнении двух условий: а)О и,В)О. Замечание. Мы здесь всюду считаем а и,В действитсльными числами. Следует, однако, иметь в виду, что наиболее полная картина о свойств функций В и Г и наиболее глубокие приложения этих функции связаны с выходом в область комплексных значении параметров.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,07 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6556
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее