Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Формула (5) показывает, что свертка коммутирует с оператором дифференцирования, подобно тому как она коммутирует с оператором сдвига (формула (4)). Но если формула (4) симметрична по и и и, то в правой части формулы (5) и и и, вообще говоря, нельзя поменять местами, поскольку функция и может просто не иметь соответствующей производной.
То, что свертка и * и, как видно из (5), при этом все же может оказаться дифференцируемой функцией, наводит на мысль, что приведенные в утверждении 4 условия являются достаточными, но не необходимыми для дифференцируемости свертки. Пример 1. Пусть ~ — локально интегрируемая функция, а д,„— «ступенька», изображенная на рис. 100. Тогда 1 (~ * о ) (х) = Ду) о (х — у) ду = — Ду) ду, (6) и, следовательно, в любой точке непрерывности функции ~ свертка ~*6 уже оказывается дифференцируемой усредняющее действие интеграла. ЦЗдесь Р— оператор дифференцирования и, как обычно, Р и = о~~~.
Утверждение 4. Если и локально интегрируемая функция, а о — финитная функция класса Со (О < т < +ос), то (и * и) Е С~"'), причем ~ Р~(и * и) = и * (Р~и). (5) ~ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 535 Условия дифференцируемости свертки, сформулированные в утверждении 4, являются, однако, вполне достаточными практически для всех встречающихся случаев применения формулы (5).
По этой причине мы не будем здесь заниматься дальнейшим их уточнением, а предпочтем продемонстрировать некоторые новые красивые возможности, которые открываются благодаря обнаруженному сглаживающему действию свертки. 3. Дельтаобразные семейства функций и аппроксимационная теорема Вейерштрасса. Заметим, что интеграл в соотношении (6) дает среднее значение функции ~ на промежутке ~х — о,х), поэтому, если ~ непрерывна в точке х, то, очевидно, (~ * о ) (х) ~ ~(х) при о ~ О. Последнее соотношение, следуя наводящим соображениям п.1, относящимся к представлению о о-функции, хотелось бы записать в виде предельного равенства (~ * о)(х) = ~(х), если ~ непрерывна в х.
(7) Это равенство показывает, что о-функцию можно трактовать как единичный (нейтральный) элемент по отношению к операции свертки. Равенство (7) можно считать вполне осмысленным, если будет показано, что любое семейство функций, сходящихся к о-функции, обладает тем же свойством, что и рассмотренное в (6) специальное семейство Б,„.
Перейдем к точным формулировкам и введем следующее полезное Определение 4. Семейство (Ь,„; о е А) функций Ь,„: К вЂ” + К, зависящих от параметра о Е А, называют 6-образным или аппроксимативной единицей при базе о в А, если выполнены следующие три условия; а) все функции семейства неотрицательны (Ь„(х) > О); Ь) для любой функции Ь,„семейства ~ Ь,„(х) Их = 1; К с) для любой окрестности У точки 0 Е К 1пп ~ Ь~(х) Их = 1. Б Последнее условие с учетом первых двух, очевидно, равносильно тому, что 1пп / Ь (х) Их = О.
и к~и Рассмотренное в п. 1 и примере 1 исходное семейство «ступенек» Б„, конечно, является о-образным при о — + О. Приведем другие примеры о-образных семейств функций. ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 536 Пример 3. Рассмотрим последовательность функций Ь„(х) = ~.~<, 0 при ~х~ > 1. Для того, чтобы установить 0-образность этой последовательности, надо лишь проверить, что кроме условий а), Ь) для нее при базе и ~ оо выполнено и условие с) определения 4. Но ведь при любом с Е )О, 1) = (1 — с~)" (1 — с) ~ О, когда и ~ оо. Вместе с тем Г 1 (1 — х )" Их ) (1 — х)" сЬ = и+1 Значит, условие с) действительно выполнено.
Пример 4. Пусть т/2 соя~" (х)/ ~ соя~" хсзр при ~х~ < т/2, Ь„(х)— 0 при ~х~ > т/2. Как и в примере 3, здесь остается проверить лишь условие с). Заметим сначала, что Г 1 1 1 1Г(п+ ~ ) Г(я) Г(~) Г(п) и 2п Пример 2. Пусть <р: К ~ К вЂ” произвольная неотрицательная интегрируемая на К финитная функция такая, что ~<р(ж) сЬ = 1.
При К о ) 0 построим функции Ь,„(х):= — <р (~). Семейство этих функций при о ~ +О, очевидно, является аппроксимативной единицей (см. рис. 101). ~ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 537 С другой стороны, при е Е]О, ~г/2~ гг/2 соя ж Иж ~ (соя я Иж ( — (соя Г) Г 2П к Сопоставляя полученные неравенства, заключаем, что, каково бы ни было число е Е]0,7г/2], гг/2 Ь„(х) Их -+ 0 при п ~ оо, откуда и следует, что условие с) определения 4 выполнено.
!Дх) — ~(у)~ ( е. В частности, если Е = С, мы возвращаемся к определению функции, равномерно непрерывной на всей своей области определения. Теперь докажем следующее основное утверждение 5. Пусть ~: 2 ~ С вЂ” ограниченная функция, а (Ь,„; о Е А) — 6-образное семейство функций при о ~ ш. Если при любом о Е А свертка ~ * Ь существует и функция ~ равномерно непрерывна на множестве Е С К, то (~ * Ь„)(х)::4 ~(х) на Е при с~ ~ ы Итак, утверждается, что семейство функций ~ * Ь равномерно сходится к функции ~ на множестве Е ее равномерной непрерывности.
В частности, если Е состоит только из одной точки х, условие равномерной непрерывности ~ на Е сводится к условию непрерывности функции ~ в точке х, и мы получаем, что (~ *Ь,„) (х) ~ ~(х) при о — + ш. Это и послужило нам в свое время поводом для записи соотношения (7). Докажем утверждение 5. ~ Пусть |~(х) ~ ( М на К. По числу е > 0 подберем в соответствии с определением 5 число р > 0 и обозначим через сг'(О) р-окрестность нуля в К. Определение 5. Будем говорить, что функция ~: С ~ С равномерно непрерывна на множестве Е С С, если для любого е > 0 можно указать число р > 0 такое, что при любом х Е Е и любом у е С из р-окрестности У~,(ж) точки х в С выполнено соотношение ГЛ.
ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 538 Учитывая симметричность свертки, получаем следующие оценки, справедливые одновременно для всех точек х Е Е: ~(ж — у)ь (у) иу — ~(х) ~(~ * Ь,„)(х) — ~(х)~ = ®х — у) — ~(х))ь (у) иу < ~~(х — у) — ~(х) ~ь (у) иу+ ~~(х — у) — ~(х) ~ь (у) ду ( и(о) к~и(о) (е Ь (у)ду+2М Ь (у)ду(е+2М Ь (у)ду. к~и(о) к~и(о) у(о) При о ~ «о последний интеграл стремится к нулю, значит, начиная с какого-то момента, при всех х Е Е будет выполнено неравенство ~(~*Ь )(х) — ~(х)~ (2е, что и завершает доказательство утверждения 5. ° Следствие 1. Любую финитную непрерывную на К функцию можно равномерно аппроксимировать финитными бесконечно дифференцируемыми функциями. ~ Проверим, что в указанном смысле Со всюду плотно в Со.
(оо) Пусть, например, й ехр ( — — ~-4 при ~х~ ( 1, «р(х) = О при ~х~ >1, где коэффициент й выбран так, что ~ «р(х) сЬ = 1. М Функция «р финитна и бесконечно дифференцируема. В таком случае семейство бесконечно дифференцируемых функций Ь = — «р ( — *), как отмечалось в примере 2, является о-образным при о ~ +О. Если 1 Е Со, то ясно, что и 1 * Ь Е Со. Кроме того, по утверждению 4 1 * Ь Е Со . Наконец, из УтвеРжДениЯ 5 вытекает, что 1 ~ Ь (оо) на К при а ~ +О.
~ ~ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 539 Замечание 2. Если рассматриваемая функция ~ Е СО принадлежит классу СО, то, каково бы ни было значение п Е (0,1,...,т), (т) можно гарантировать, что ~~ * Ь,„) ®:~ ~® на К при о ~ +О. ~ действительно, в этом случае (~ * Ь,„)~п) = ~® * Ь„(см. утверждение 4 и замечание 1). Остается сослаться на доказанное следствие 1.
1 Следствие 2 (аппроксимационная теорема Вейерштрасса). Каждую непрерывную на отрезке функцию можно равномерно приблизить на зтом отрезке алгебраическим многоч,аеном. Р ~ Ь„(х):= Р(у)Ь„(х — у) Иу = Р(у)Ь„(х — у) Иу = — 00 О 1 1 2п Р(у)р„. (1 — (х — у) )и ау = Р(у) а~(у)х Иу = О О В=О 2п / Р(у)а~(у) ыу х .
Последнее выражение является многочленом Р2„(х) степени 2п, и мы показали, что Р2„.1 ~ на [а, 6] при п ~ оо. ~ Замечание 3. Несколько развив проведенные рассуждения, можно показать, что теорема Вейерштрасса остается в силе, даже если отрезок [а, 6) заменить произвольным, лежащим в К компактом. ~ Поскольку при линейной замене переменной многочлен переходит в многочлен, а непрерывность и равномерность аппроксимации функций сохраняются, следствие 2 достаточно проверить на любом удобном нам отрезке [а,Ь) с К.
Будем поэтому считать, что 0 < а < 6 < 1, и пусть р = ппп(а, 1 — 6). Заданную нам функцию 1 Е С[а, 6) продолжим до непрерывной на К функции Р, полагая Р(х) = 0 при х Е К~]0, 1[ и, например, линейно сопрягая 0 с ~(а), ~(6) с 0 на участках [О, а) и [6, 1) соответственно. Если теперь взять о-образную последовательность функций Ьп,из примера 3, то на основании утверждения 5 уже можно заключить, что Р * Ь„:~ ~ = Р~~ ц на [а, 6) при п ~ оо. Но при х Е [а, 6) С [О, 1] ГЛ.
ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 540 Замечание 4. Нетрудно также проверить, что для любого открытого в К множества С и любой функции ~ Е С('7')(С) существует последовательность (Р~) полиномов такая, что при каждом и Е Е (О, 1,..., т) Р,," -~ ~® на любом компакте К С С, когда й ~ оо. Если, кроме того, множество С ограничено и ~ Е С~~) (С), то можно добиться, чтобы Р~"~:~ ~® на С при й — + оо. Замечание 5. Подобно тому, как для доказательства следствия 2 была использована о-образная последовательность примера 3, можно использовать последовательность из примера 4 и доказать, что любая 27Г-периодическая функция на К равномерно приближается тригонометрическими полиномами вида 7„(х) = 2 а~сонlсх-~-Ь~вшlсх.
/с=О Выше использовались лишь о-образные семейства финитных функций. Следует, однако, иметь в виду, что во многих случаях важную роль играют о-образные семейства не финитных функций. Приведем только два примера. Пример 5. Семейство функций Ьу(х) = 1 — ~-~ — ~ при у — + +О х +у является о-образным на К, так как Ьу > О при у > О, 1 +со ьу(х) Гь = — агс$д 7Г У и при любом р > О справедливо соотношение 2 р Ьу(х) Ох = — агс$ц — ~ 1, 7Г Д (8) когда у ~ +О.
Если ~: И вЂ” ~ К вЂ” непрерывная и ограниченная функция, то функция ~ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 541 ди ди д д дх2 ду2 дя.2 ду2 т. е. и — гармоническая функция. На основании утверждения 5 можно гарантировать также сходимость и(х,у) к ~(х) при у ~ О. Таким образом, интеграл (8) решает задачу построения ограниченной функции, гармонической в полуплоскости К+ и принимающей заданные граничные значения ~ на дК+. г Пример 6. Семейство функций Ь| — — е 4~ является о-образ- 2~/В +со нымна КприФ ~+О.
Действительно, Ь|(х) > О; ~ Ь|(х) = 1, посколь- „г ку ~ е " ди = ~ф (интеграл Эйлера — Пуассона); наконец, при любом р > О выполнено соотношение р/2~5 1 и2 сЬ= е" сЬ~1, когда 8~+О. — р/2~5 Р l 2~/т1 Если ~ — непрерывная и, например, ограниченная функция на К, то функция +00 г и(х,8) = ~(~)е 4~ д~, 2~Я! (9) представляющая собой свертку ~ *Ь|, очевидно, бесконечно дифференцируема при Ф > О. Дифференцируя под знаком интеграла при Ф > О, получаем, что представляющая собой свертку /" * Ь~, определена при любых х Е К и р>О. Интеграл (8), называемый интпеералом Пуассона для полуплоскости, как легко проверить (используя мажорантный признак равномерной сходимости), является ограниченной бесконечно дифференцируемой функцией в полуплоскости К+ — — ((х,у) Е ~~ ~ у > О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
