Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 96
Текст из файла (страница 96)
СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 555 и — 1 с) Проверьте, что функция Р = Н(х) ~~ — — ~ ел* является и-и сверточной степенью функции ~ = Н(х) ел', т. е. Р = ~ э ~ э... э ~. 2 2. Функция С (х) = е г ~, и ) О, задает плотность распределения 0'~/2зг вероятностей в гауссовском нормальном законе распределения вероятностей.
а) Нарисуйте график функции С (х) при различных значениях параметра ~. Ь) Проверьте, что математическое ожидание (среднее значение) случайной величины с распределением вероятностей С равно нулю (т. е. / хС (х) дх = н = О). с) Проверьте, что среднее квадратическое уклонение величины х от своего 1/г среднего значения (дисперсия х) равно и (т. е.
~хгС (х) ах = и). а) В теории вероятностей доказывается,что плотность вероятности суммы двух независимых случайных величин является сверткой плотностей распределения вероятностей самих этих величин. Проверьте, что С э Ср =С вЂ” Г' г ~г. е) Покажите, что сумма и однотипных случайных величин (например, и независимых измерений одного и того же объекта), распределенных по нормальному закону Сд, распределена по закону С,~-„-.
Отсюда, в частности, следует, что ожидаемый порядок погрешности среднего арифметического и таких измерений, взятого в качестве значения измеряемой величины, равен о~ ~й, где и — вероятная погрешность отдельного измерения. 3. Напомним, что функция А(х) = ~ а„х" называется производтцей фун- а=О кцией последовательности ао, а1,... Пусть даны две последовательности (а~), (6~). Если считать, что а~ = = 6~ — — О при й ( О, то свертку последовательностей (а~~, (6~~ естественно определить как последовательность с~ = ~ а,„б~,„.
Покажите, что производящая функция свертки двух последовательностей равна произведению производящих функций этих последовательностей. 4. а) Проверьте, что если свертка и* и определена и одна из функций и, и, периодична с периодом Т, то и ~ и — тоже Т-периодическая функция. Ь) Докажите теорему Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной периодической функции тригонометрическими полиномами (см.
замечание 5). с) Докажите усиленные варианты аппроксимационной теоремы Вейерштрасса, указанные в замечании 4. 5. а) Пусть компакт К С К содержит строго внутри себя замыкание Е множества Е из утверждения 5. Покажите, что в этом случае /'Ду)Ь~(х— Х 556 ГЛ. ХУП. ИЕ1ТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА — У) ЫУ:4,1(х) на Е. Ь) Из разложения (1 — г) " = 1+ г+ гг + ... выведите, что д(р,0):= + '. = + ре'р+ рге™+... при О < р < 1.
2(1 — ре' ) с) Проверьте, что при О < р < 1 Рр(0):= йед(р,0) = — + рсоя0+ р соя20+...; 1 г функция Рр(0) имеет вид ,г Рр (0) 2 1 — 2рсояВ+ рг и называется ядром Пуассона для круга. й) Покажите, что семейство зависящих от параметра р Е ~0,1~ функций г~г Рр(В) обладает следующим набором свойств: Рр(В) > О, — / Рр(В) сЖ = 1, 1 о / Рр(0) сИ вЂ” э О при р — э 1 — О. е>о е) Докажите,что если 1 Е С~О,2л],то функция и(р,0) = — / Рр(0 — $)Д$) й 1 о — гармоническая в круге р < 1 и ц(р, 0)::~ 1(0) при р — ~ 1 — О. Таким образом, ядро Пуассона позволяет строить гармоническую в круге функцию, имеющую заданные граничные значения на границе круга.
1) Для локально интегрируемых функций и и о в случае, когда они периодические, причем с одинаковым периодом Т, можно корректно определить операцию свертки (свертки по периоду) следующим образом: а+Т (и ~ о)(х):= и(у)о(х — у) сйу. т а Периодические функции на К можно интерпретировать как функции, заданные на окружности, поэтому введенную операцию естественно считать определением свертки двух функций, заданных на окружности. Покажите, что если 1(В) †локаль интегрируемая 2л.-периодическая функция на К (или, что то же самое, 1 — функция на окружности), а семейство Рр(0) зависящих от параметра р функций обладает свойствами ядра Пуассона, перечисленными в Й), то (~ е Ре) (р) -е ~(р) при р -е 1 — 0 в любой точке непрерывности функции 1. ~ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 557 6.
а) Пусть ~р(х):= а ехр — ~ — при ~х~ < 1 и ~р(х):= О при ~х~ > 1; а— Ф вЂ” 1 постоянная, выбираемая из условия / ~р(х) дх = 1. Проверьте, что при а — » +О семейство функций ~р (х) = — ~р ( — *) является о-образным семейством функций класса СОД ~ на К. Ь) Для любого промежутка 1 С К и любого е ) О постройте функцию е(х) класса Со такую, что О < е(х) < 1 на К, е(х) = 1 ~ х Е 1 и, наконец, вирр е С С 1„где 1, — е-окрестность (или е-раздутие) множества 1 в К. (Проверьте, что при соответствующем значении а ) О в качестве е(х) можно взять ~1э~р .) с) Докажите, что для любого е ) О существует такой счетный набор (е~) функций е~ е Со (е-разбиение единицы на К), который обладает следующими свойствами: Жс е И, Чх е К (О < е~(х) < 1); диаметр носителя япрре~ любой функции семейства не превосходит е ) О; любая точка х е К принадлежит лишь конечному числу множеств вирр е1,, ~ е~(х) = 1 на К.
с1) Покажите, что, каково бы ни было открытое покрытие (Г„, у е Г) открытого множества С с К и какова бы ни была функция ~р е С~' ~ (С), существует такая последовательность (~ра, Й Е 1Ч) функции ~р~ е Со, которая (со) обладает следующими свойствами: Жс Е И, 3'у Е Г (яирр ~р~ С Г ); любая точка х е С принадлежит лишь конечному числу множеств яирр <р~,.
~ ~р~(х) = у(х) на С. е) Докажите, что множество функции Со, интерпретируемых как обоб(оо) щенные функции, всюду плотно в соответствующем С~' ~ (С) множестве регулярных обобщенных функций. 1) Две обобщенные функции Р~, Р2 из Р'(С) считаются совпадающими на открытом множестве У С С, если для любой функции ~р Е Р(С), носитель которой лежит в У, выполняется равенство ~р Е Р(С). Обобщенные функции Е1, Е2 считаются локально совпадающими в точке х Е С, если они совпадают в некоторой окрестности У(х) с С этой точки. Докажите, что (Е1 — — Е2) «» Ф» (Е~ —— Е2 локально в любой точке х Е С). Т. а) Пусть ~р(х):= ехр — ~ — при ~х~ < 1 и у(х):= О при ~х~ > 1. По)х) — 1 кажите, что для любой локально интегрируемой на К функции 1 выполняется соотношение / 1(х)~р,(х) ах — » О при е — » +О, где ~р,(х) = ~р (~~).
Ь) Учитывая предыдущий результат и то обстоятельство, что (д,~р,) = = ~р(О) ~ О, докажите, что обобщенная функция о не является регулярной. с) Покажите, что существует последовательность регулярных обобщенных функции (даже отвечающих функциям класса Со ), которая сходится ( ) в Р' к обобщенной функции о. (На самом-то деле любая обобщенная функция является пределом регулярных обобщенных функций, отвечающих функциям 558 ГЛ. ХУ11. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА из Р = С~~ .
В этом смысле регулярные обобщенные функции образуют всю- ду плотное в 7У множество, подобно тому как рациональные числа Я всюду плотны в множестве К всех действительных чисел.) 8. а) Вычислите значение (Е, ~р) обобщенной функции Е Е Р' на функции ~р е Р, если Р = яп хв; Г = 2 сов хв"; Г = (1+ х )в. Ь) Проверьте, что операция Е ~ фГ умножения на функцию ф е С~ является непрерывной операцией в Р'. с) Проверьте, что линейные операции над обобщенными функциями непрерывны в 7У. 9. а) Покажите, что если à — регулярное распределение, порожденное 0 при х(0, функцией Д(х) = то Г' = Н, где Н вЂ” распределение, х при х>0, отвечающее функции Хевисайда. Ь) Вычислите производную от распределения, отвечающего функции ~х~.
10. а) Проверьте справедливость следующих предельных переходов в Ю'. а . ах . х 1пп = яв"; 1пп = я.хв"; 1пп = 1п ~х~. ~++вх2+д2 ' ~ )+в(~2+х2 ' » ~+вх2+ „2 Ь) Покажите, что если ~ = Дх) — локально интегрируемая на К функция, а ~, = Дх + е), то ~, -+ ~ в 7У при е — ~ О. с) Докажите, что если (Ь 1 — в"-образное семейство гладких функций при х о — ~ О, то Г = / Ь (1) й — ~ Н при с« — ~ О, где Н вЂ” обобщенная функция, отвечающая функции Хевисайда. 11.
а) Через б(х — а) обычно обозначают «сдвинутую в точку а б-функцию», т. е. обобщенную функцию, действующую на функции ~р Е Р по правилу (в(х— — а), ~р) = ~р(а). Покажите, что ряд ~', в'(х — й) сходится в 7У. Йех Ь) Найдите производную функции 1х] (1х] — целая часть числа х). с) 2я-периодическая функция на К в пределах промежутка ]0,2я.] задана формулой Д~в 2 ~(х) = ~~ — ~~-. Покажите, что ~' = — ~~-+ ~ в'(х — 2яй). Йее с1) Проверьте, что б(х — е) — ~ в"(х) при е -+ О.
е) Обозначая, как и прежде, сдвинутую в точку е в'-функцию через в'(х — е), покажите прямым вычислением, что -(д(х — в) — в'(х)) — ~ — д'(х) = — У. 1) Исходя из предыдущего предельного перехода, интерпретируйте — У как распределение зарядов, соответствующее диполю с электрическим моментом +1, расположенному в точке х = О. Проверьте, что ( — б', 1) = 0 (полный заряд диполя равен нулю) и что ( — б',х) = 1 (его момент действительно равен 1). я) Важным свойством в'-функции является ее однородность: б(Лх) = Л 'б(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
