Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 99
Текст из файла (страница 99)
(10) стью и. Дифференцирование обобщенных функций в многомерном случае определяется по тому же принципу, что и в одномерном, но имеет некоторую специфику. Если Р Е Ю'(С) и С С 1Г', то обобщенная функция — определяется дх' соотношением Отсюда следует, что (Р(т) ) ( 1) $т$ (Р (т) ) Если бы функция и(х) была определена только на поверхности Я, то равенство (10) можно было бы рассматривать как определение обобщенной функции рд~. Так вводимая обобщенная функция по естественной аналогии называется простым слоем на поверхности Я с плотно- ~ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 573 ГДЕ т = (т1,..., т„„) — МУЛЬтИИНДЕКС И ~т~ = ~„тг. г=1 д2р . Но это следует из радх~дх' д2р Естественно проверить, что дхгдхг венства правых членов соотношений Д~гД~~ ' ' Д~1Д г Д~~Д~г ' ' Д~гД д д вытекающего из классического равенства — ~~— = — ~~— , справедлидх'дх~ дх~дх' вого для любой функции ~р Е Ю.
которое должно быть выполнено при любых у Е Ю и Р Е Ю'. Исходя из равенства (11), можно теперь написать явную формулу для оператора, сопряженного к указанному дифференциальному опе- ратору Х). В частности, если все значения ~т~ четны, оператор Х~ оказывается самосопряженным, т. е.
для него Х~ = Х). Ясно, что операция дифференцирования в Ю'(2Р) сохраняет все свойства дифференцирования в Ю'(К). Рассмотрим, однако, следующий специфически многомерный и важный Пример 11. Пусть Я гладкое (и — 1)-мерное подмногообразие 1Р, т.е. Я вЂ” гладкая гиперповерхность. Предположим, что определенная на 1Р ~ Я функция ~ бесконечно дифференцируема и все ее Пример 10. Рассмотрим теперь оператор Х~ = ~„а„„.о'гг, где т = т = (т1,...,т„) МуЛЬтИИНдЕКС, Р™ = ~,) ... ~ „), а,гг дх дх" числовые коэффициенты, а сумма распространяется на некоторый конечный набор мультииндексов.
Это дифференциальный оператор. Транспонированным по отношению к оператору Х~ или сопряженным к Р называется оператор, обозначаемый обычно символом гХ~ или Х~* и определяемый соотношением ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 574 , ~р = — ~р (х) Их. ((В Покажем теперь, что если ~ рассматривать как обобщенную функцию, то в смысле дифференцирования обобщенных функций имеет место следующая важная формула: дх' дх' (12) + (( ~)ясов(2фдя, где последний член понимается в смысле равенства (10); (~~)5 — ска- чок функции ~ в точке х е Я, соответствующий любому (из двух воз- можных) направлению единичной нормали и к Я в точке х, а соя а,— проекция и на ось х' (т.е. и = (сояа1,...,сова)).
< Формула (12) обобщает равенство (17) из ~4, которое мы и используем при ее выводе. частные производные имеют предел в каждой точке х Е Я при одностороннем подходе к х с любой стороны (локально) поверхности Я. Разность между этими пределами будет скачком / — рассматрива- ДР дх' емой частной производной в точке х, соответствующим определенному направлению прохода сквозь поверхность Я в точке х.
При изменении этого направления меняется знак скачка. Скачок, таким образом, можно считать функцией на ориентированной поверхности, если, например, условиться, что направление прохода задается ориентирующей поверхность нормалью. Функция — определена, непрерывна и локально ограничена вне Я, дГ дх' причем в силу сделанных допущений ~ локально является финально ограниченной при подходе к самой поверхности Я. Поскольку Я подмногообразие К", как бы мы ни доопределили — на Я, мы получим ДК дх' функцию с разрывами разве что на Я, и потому локально интегрируемую в ~". Но интегрируемые функции, отличающиеся на множестве меры нуль, имеют равные интегралы, поэтому, не заботясь о значениях на Я, можно считать, что — порождает некоторую регулярную дГ дх обобщенную функцию ~~1, действующую по закону ~дх' ! ~5.
КР . КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩ ИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 575 Рассмотрим для определенности случай, д ког а г = 1. Тогда д~ д~р ду с~ 2... с~х" ~ с~х д~р х ... дх1 х ...х" 2 и — 00 д~ йх2... 6х" Ц ~)~р+ ~рйх х2 ...х" уИх+ д~ дх1 Ц~)удх ...Их". х2 хи х = (х х,..., х") Е Я Здесь скачок ~" ~ ~" ~~ функции У берется в точке х = " оси х .
В этой при прохожд ении через нее в направлении координатной оси х1. вычислении произведения же точке берется з вычи значение функции ~р при вычи ожно записать в вид е поверхност- Ц ~)~р. Значит, последнии интеграл можно з ного интеграла первого рода Ц ~) у сов а1 сЬ, ж нап авлением оси х1 и нормал алью к Я в точке х, где а1 угол между н пр х Е Я в направлечто п и прохождении через точку х направленнои так, что пр л ченный нами скачок нии этои нормали ф н то сов а ) О. Остается заметить, что ать гое направление нормали, то для нег д р если выбрать другое направл ежду направлением чок ф нкции и косинус угла межд изменят знак и скачок фу ц (~ ~) ри оси х и направл 1 авлением нормали, значит, р д П ОИЗВЕ ЕНИЕ СОВа1 П этом не изменится. 1» ие 1.
Как видно из пр проведенного доказательства, форнк ии,~ определен скала (12) имеет место уже тогда, когда для функции Я е Яс ествует частнаяпроизводная чок 5 в любой точке х Е ~, а вне сущ т чок Ц ~)5 вл в 6Р хотя бы в несобственном смысле, по- -~-, локально интегрируемая в хотя ы в н дх' енн ю нк ию ~-'~~- рождающая регулярную обобщенную функцию 576 ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Замечание 2. В точках х г= Я, в которых направление оси х1 не трансверсально Я, т. е.
касательно к Я, могут возникнуть затруднения в определении скачка ~ ~ по такому направлению. Но из доказательства формулы (12) видно, что последний ее член получен в связи с интегралом Ц~)уИх ...с~х". х~ ...х" Проекция на плоскость х2,...,х" множества Е указанных точек имеет (и — 1)-мерную меру нуль и потому не влияет на значение интеграла.
Значит, форму (12) можно считать имеющей смысл и справедливой всегда, если при сов аг = 0 символу (~ ~)~ соя аг приписывать значение нуль. Замечание 3. Аналогичные соображения позволяют пренебрегать и множествами, имеющими площадь нуль, поэтому формулу (12) можно считать доказанной и для кусочно гладких поверхностей. В качестве следующего примера покажем, как из дифференциального соотношения (12) непосредственно получается классическая интегральная формула Гаусса †Остроградско, причем в том наиболее свободном от излишних аналитических требований виде, о котором мы в свое время поставили читателя в известность. Пример 12.
Пусть С вЂ” конечная область в ~", ограниченная кусочно гладкой поверхностью Я; А = (А ,..., Агг) †векторн поле,не° дА' прерывное в С и такое, что функция Ж~ А = ,'), определена в С и г=1 г * интегрируема в С хотя бы в несобственном смысле. Если считать, что вне С поле А равно нулю, то скачок такого поля в любой точке х границы Я области С при выходе из области С равен — А(х).
Полагая, что и — единичный вектор внешней нормали к Я, применяя формулу (12) к каждой компоненте А' поля А и, суммируя эти равенства, приходим к соотношению (13) в котором А . и — скалярное произведение векторов А и и в соответствующей точке х Е Я. Соотношение (13) — это равенство обобщенных функций. Применим его к функции ф г= С0, равнои единице на С (существование и (оо) ~ 5.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 577 построение такой функции уже неоднократно обсуждалось). Поскольку для любой функции ~р Е З (йи~А, ~р) = — (А ~у) Их (14) (что вытекает непосредственно из определения дифференцирования об- общенной функции), то для нашего поля А и функции ф, очевидно, (йч А, ф) = О. Но с учетом равенства (13) это дает соотношение О = (~й~ А), ф) — ((А . и) бц, ф), которое в классической записи О = й~ А Их — (А . и) сЬ (15) совпадает с формулой Гаусса — Остроградского.
Разберем еще несколько важных примеров, связанных с дифференцированием обобщенных функций. х й~ — = 4т0. цз Заметим сначала, что при х ф О в классическом смысле йч — * = О. )х) Теперь, используя последовательно определение йи~А в виде соотношения (14), определение несобственного интеграла, равенство с1и~ *, = О при х ф О, формулу (15) Гаусса — Остроградского и фи~х) нитность функции у, получаем щз Пример 13. Рассмотрим векторное поле А = — *,, определенное ~х) в ~~ ~ О, и покажем, что в пространстве З'(~~) обобщенных функций имеет место равенство ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 578 х 1пп— з ~~( ) я-э+О цз я</х/<1/я 1пп— з ху(х) я-++О ~ .~з ~<~х(<1/с 1пп — ср(х) сЬ = 4тср(0) = (4т0, ср).
(х п) а-++О цз Для оператора А: Ю'(С) -+ 7У(С), как и прежде, фундаментальным решением назовем обобщенную функцию Е С 7У(С), для которой А(Е) = О'. х йЧ вЂ” = О„О, )х~" (16') ч В где О„= р 2 — площадь единичнои сферь1 В К Отсюда с учетом соотношения Ь = Жчдгас1 можно заключить, что Ь 1п ~Х~ = 2тд в К~ = — (и — 2)о„д в ~", п ) 2. ~х)" 2 Пример 15. Проверим, что функция Х(~) ыЕ Е(х, 1) = 4д2 С (2а~/хгй)" Пример 14.
Проверим, что в Р'(Кз) регулярная обобщенная функция Е(х) = — является фундаментальным решением оператора 1 4т х Лапласа Ь = — 1 + ~ + з Действительно, Ь = й~дгас1, а ягас1Е(х) = * при х ф О, поэтому 4т~х~ равенство Й1л ягай Е = О вытекает из доказанного соотношения (16). Можно, как и в примере 13, проверить, что при любом п е И, п ) 2, в К" 579 ~ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩ ИЕ ОТ ПАРАМЕТРА где х Е К'", 1 е К, аХ вЂ” функция Хевисайд а (т. е.
мы полагаем Е(х, 1) = 0 при 1 ( 0), удовлетворяет уравнению в К" а 0 = 0(х, 1) есть 0-функция Здесь Ь вЂ” оператор Лапласа по х в Ко+1 в$~, хК~ — — К ванием беждаПри~) ОЕе р С(с~~ (К" +1) и прямым дифференцировани у д емся в том, что < — — а~Ь Е = 0 при 8 ) О. д8 д д 1 д~р 2 ./ ' ~ д~ — й Е(х 8) — +а Ь~р Их = О К~ д'р 2 = — 1пп ~й Е(х,1) — + а Ьу Их = а-++О цп /' дŠ— 11п1 Е(х, я)~р(х, 0) ах + Ж я-++О Ща ~и Е(х, я) у(х, 0) Их + Е(х, я) (~р(х, я) — ~р(х, 0)) Их ~и Яи 1пп Е(х,я)~р(х,О) сКх = у(0,0) = (д,ср). ~-~+О 1пп ~-++О П имер 16. Покажем, что функция ри Е(х, й) = — Н(а1 — /х/), 1 2а Учитывая это обстоятельство, а так р у же ез льтат примера 7, для любой функции у Е З(6Р+ ) получаем ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
