Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 103
Текст из файла (страница 103)
1 2 3 Если бы вместо трех векторов е1, е2, ез нам было дано только два е1, е2, то разложение х = х е1+ х2е2 по ним имело бы место уже далеко не для каждого вектора х е Ез. Тем не менее, коэффициенты Фурье х' = (х,е,), г = 1,2, определены и в этом случае, а вектор х, = х е1+х е2 1 2 в этом случае является ортогональной проекцией вектора х на плоскость Ь векторов е1, е2.
Среди всех векторов этой плоскости вектор х, выделяется тем, что он наиболее близок к вектору х в том смысле, что для любого вектора у е Ь будет ~~х — у~~ ) ~~х — хД. В этом и состоит замечательное экстремальное свойство коэффициентов Фурье, к которому мы вернемся ниже в общей ситуации. (х, 11г) ~(г„г,) ' (8) Этот ряд называется рядом Фурье вектора х по ортогональной системе (4). Если система (4) конечна, то ряд Фурье сводится к конечной сумме. В слУчае оРтоноРмиРованной системы (е1г) РЯД ФУРье вектоРа х Е Определение 6. Если Х линейное пространство со скалярным произведением (, ), а г1, г2,..., г„,...
ортогональная система ненулевых векторов в Х, то любому вектору х г= Х можно сопоставить ряд ~ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 597 (= Х запишется особенно просто х ~(х, ее(ее. 1=1 (8') -!- ~ ае(Е (соевых -е Ье(е( еехйх аоУ) 2 1=1 по этой системе. Множитель ~ при ао(~) поставлен, чтобы придать единообразие следующим, вытекающим из определения коэффициентов Фурье, формулам: 1 а~с(~) = — ~(х) соя Йхах, 7Г 1 6~С(~) = — ~(х) япйх ах, Й =0,1,2, (9) (10) 1=1,2, Положим ~(х) = х. Тогда а~ = О, й = 0,1,2,..., а Ь~, = ( — 1)"+1~, й = 1, 2,...
Значит, в этом случае получаем: д(х( = х - ~( — цее' — еех йх. й /с=1 Пример 7. В пространстве Е2(~ — т, т], С) рассмотрим ортогональную систему 1е'~~;й Е Ж) примера 1. Пусть ~ Е Е2([ — т,т],С). В соответствии с определением 5 и соотношениями (4), коэффициенты Фурье (с~с(~)) функции 1" в системе 1е'~~) выражаются формулой: у) 1 у( ) — ъйх у У( ) е"*> Пример 6. Пусть Х = Е2(~ — ~г,т],К). Рассмотрим в этом пространстве ортогональную систему (1, соя Йх, яп Йх; Й Е И) примера 1.
Функции ~ Е Е2(~ — т, т], К) отвечает ряд Фурье ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 598 Сравнивая равенства (9), (10), (11), с учетом формулы Эйлера е'~ = = соя <р+г в1п <р получаем следующие соотношения между коэффициентами Фурье одной и той же функции относительно тригонометрической системы, записанной в действительной и комплексной формах: 1 (а~ — гЬу,), если й>0, (12) -'(а ~+гб ~), если й < О. Для того, чтобы в формулах (9) и (12) случай й = 0 не составлял исключения, принято (считая 60 = О) через а0 обозначать не сам начальный коэффициент Фурье, а вдвое большую величину, что и было сделано выше. Ь. Основные общие свойства коэффициентов и рядов 4?урье.
Следующее геометрическое наблюдение является ключевым в этом разделе. Лемма (о перпендикуляре). Пустпь (1~С) — конечная или счетпная система ненулевых взаимно ортпогональных вектпоров пространства Х и пусть ряд Фурье вектпора х е Х по системе (1~С) сходится к некотпорому вектору х~ е Х. Тогда в представлении х = х~ + 6 вектор 6 ортогонален х~, более того, 6 ортпогонален всему линейному простпранстпву, порожденному системой векторов (1~С), а также его замыканию в Х.
~ Учитывая свойства скалярного произведения, достаточно проверить, что (6, 1,„) = 0 для любого вектора 1,„Е 14). Нам дано, что Значит, ~ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 599 Геометрически лемма о перпендикуляре очень прозрачна, и мы ее по существу уже отметили, рассмотрев в разделе 2а систему из двух ортогональных векторов в трехмерном евклидовом пространстве. На основании этой леммы можно сделать ряд важных общих заключений о свойствах коэффициентов Фурье и рядов Фурье.
Неравенство Бесселя Учитывая ортогональность векторов х~ и 6 в разложении х = х~+6, по теореме Пифагора находим, что ))х))~ = ))х~()~+ ))6))~ > ))х~!)~ (гипотенуза не меньше катета). Это соотношение, записанное в терминах коэффициентов Фурье, называется неравенством Бесселя. Выпишем его. По той же теореме Пифагора (13) Значит, ~(х ~ )~2 (14) Это и есть неравенство Бесселя. Особенно просто оно выглядит для ортонормированной системы векторов (е~): )(х,е~)) ( х)) (15) В терминах самих коэффициентов Фурье сц общее неравенство Бесселя (14) запишется в виде ~ ~а~~~Ц~~~ ( ~~х~~~, что в случае ортонорй мированной системы сводится к ~~, ~сц~~ ( х~~~. й Мы поставили знак модуля у коэффициента Фурье, допуская комплексные пространства Х. В этом случае коэффициент Фурье может принимать комплексные значения.
Отметим, что при выводе неравенства Бесселя мы воспользовались предположением о существовании вектора х~ и равенством (13). Но если система 14) конечна, то нет сомнений в существовании вектора х~ (т. е. в сходимости ряда Фурье в Х). Значит, неравенство (14) справедливо для любой конечной подсистемы (4), а тогда и для всей системы тоже.
~ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 601 векторов у = ~ а1се~ пространства Х, натянутого на (е1с), т.е. для /с=1 любого у Е Х Ц вЂ” гЦ <Ц вЂ” уЦ, причем равенство здесь возможно только при у = х1. Действительно, по лемме о перпендикуляре и теореме Пифагора Цх — уЦ = Ц(х — х1) + (х1 — у)Ц = ЦЙ+ (х1 — у)Ц = ЦЬЦ + Цх, уЦ ) Цй! 2 — Цх х~Ц2 Пример 9. Несколько отвлекаясь от нашей основной цели изучения разложений по ортогональным системам, предположим, что име- ЕТСЯ ПРОИЗВОЛЬНаЯ СИСтЕМа ЛИНЕЙНО НЕЗаВИСИМЫХ ВЕКТОРОВ Х1,...,Хи в Х и ищется наилучшая аппроксимация заданного вектора х Е Х лип нейными комбинациями ~; сцсх1с векторов системы.
Поскольку в прос/с=1 транстве Х, порожденном векторами х1,..., хи, процессом ортогонали- ЗаЦИИ МОЖНО ПОСтРОИтЬ ОРтОНОРМИРОВаННУЮ СИСТЕМУ Е1,...,Еи,ПОРО- ждающую пространство Х, то на основании экстремального свойства коэффициентов Фурье можно заключить, что существует, и притом единственный, вектор х1 Е Х такой, что Цх — х1Ц = 1п1 Цх — уЦ. ПоуЕЬ скольку вектор 6 = х — х1 ортогонален пространству Х, из равенства х1 + 6 = х получаем систему уравнений (х1, х1)а1+...
+ (х~, х1)а = (х, х1) (18) (Х1,Х )а1+... + (Х„,Х„)а = (Х,Хи) Описанная задача аппроксимации и соответствующая ей система уравнений (18), как мы уже отмечали, возникает, например, при обра- и На КОЭффИЦИЕНтЫ СЦ,..., аи РаЗЛОжЕНИЯ Х1 = ~ СЦсХ1с ИСКОМОГО ВЕКтО- /с=1 Ра Х1 ПО ВЕКтОРаМ СИСТЕМЫ Х1,..., Хи. СУЩЕСтВОВаНИЕ И ЕДИНСтВЕННОСтЬ решения этой системы вытекают из существования и единственности вектора х1.
В силу теоремы Крамера отсюда, в частности, можно сделать заключение о необращении в нуль определителя этой системы. Иными словами, попутно показано, что определитель Грама системы линейно независимых векторов не равен нулю. б02 ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ботке экспериментальных данных по методу Гаусса наименьших квадратов (см. также задачу 1). с. Полные ортогоыальыые системы и равенство Парсеваля Определение 7. Система [х~;а Е А) векторов нормированного пространства Х называется полной по отношению к множеству Е С Х (или полной в Е), если любой вектор х е Е можно сколь угодно точно в смысле нормы пространства Х приблизить конечными линейными комбинациями векторов системы. Если через Цх ) обозначить линейную оболочку в Х векторов системы (т.
е. совокупность всех конечных линейных комбинаций векторов системы), то определение 8 можно переформулировать следующим образом: система [х,„) полна по отношению к множестпву Е с Х, если Е содержится в замыкании Цх ) линейной оболочки векторов системы.
Пример 10. Если Х = Е~, а ед, е2, ез базис в Е~, то система [ед, е2, ез) полна в Х, а система [ед, е2) уже не является полной в Х, но является полной по отношению к множеству Цед, е2) или любому его подмножеству Е. Пример 11. Последовательность функций 1, х, х~,... рассмотрим как систему [х~; й Е О, 1, 2,... ) векторов пространства Е2([а, Ь~, К) или Е2([а, Ь~, С).
Если С[а, Ь~ — подпространство непрерывных функций, то эта система полна по отношению к множеству С[а, Ь). ~ Действительно, какова бы ни была функция 1 Е С[а, Ь~ и каково бы ни было число с > О, по теореме Вейерштрасса найдется алгебраический многочлен Р(х) такой, что пдах ~~(х) — Р(х)~ ( с. Но тогда хб[а,б~ и, значит, линейными комбинациями функций системы можно сколь угодно точно приблизить функцию 1" в смысле нормы рассматриваемого пространства Е2[а, Ь~. ~ Отметим, что, в отличие от ситуации примера 9, в нашем случае не каждая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция является конечной ли- ~ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ бОЗ нейной комбинацией функций взятой системы, а всего лишь приближа- ется такими линейными комбинациями. Итак, С[а, Ь] с .Цх") в смысле нормы пространства Е2[а, Ь].
Пример 12. Если из системы функций [1,совках,япйх;й Е И) удалить одну из функций, например 1, то оставшаяся система [соя Йх, в1п Йх; Й Е И) не будет полной в Е2([ — т, т], С) или Е2([ — т, т], К). ~ В самом деле, по лемме 3 наилучшую аппроксимацию функции Дх) = 1 среди всех конечных линейных комбинаций т„(х) = ~ (а~сояlсх-~-6~я!пйх) данной длины и дает тот тригонометрический многочлен Т„(х), в котором а~с и Ь~с — коэффициенты Фурье функции 1 относительно рассматриваемой ортогональной системы [соя кх, япйх; к е И).
Но в силу соотношений (5) такой полином наилучшего приближения должен быть нулевым. Значит, всегда = ~2~т ) О, ))1 — Т )) > ))1)) = и приблизиться к единице ближе, чем на величину ~/2т линейными ком- бинациями функций системы нельзя. ~ Теорема (условия полноты ортогональной системы). Пусть Х вЂ” линейное пространство со скалярным произведением (, ), а 11, 12,..., 1„,... — конечная или счетная система ненулевых взаимно ортогональных векторов в Х.
Тогда следующие условия зквивалентны: а) система [4) полна по отношению к множеству11 Е С Х; Ь) для любого вектора х Е Е С Х имеет место разложение (в ряд Фурье) (19) 1) 'Множество Е может, в частности, состоять из одного, по тем или иным причинам представляющего интерес, вектора. ГЛ. ХЧП1.
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 604 с) для любого вектора х Е Е С Х имеет место равенство (Парсе- валя ~>) ))2 ~ 1(* е)) (20) (~ь~.> Особенно простой вид равенства (19) и (20) имеют для ортонормированной системы векторов (е~). В этом случае х = ~(х, ее)ее (19') ))х)) = ~ )(х,ее)) (20') й Таким образом, важное равенство Парсеваля (20) или (20') — это теорема Пифагора, записанная в терминах коэффициентов Фурье. Докажем сформулированную теорему.
~ а) ~ Ь) в силу экстремального свойства коэффициентов Фурье; Ь) ~ с) по теореме Пифагора; с) ~ а), т. к. ввиду леммы о перпендикуляре (см. раздел Ь) по теореме Пифагора имеем (х,1е) „, (~~,Е~> = ((х~~ ~)2 ~ )(~ е)! (Х~,Х„> ' Замечание. Отметим, что из равенства Парсеваля вытекает следующее простое необходимое условие для полноты ортогональной системы по отношению к множеству Е С Х: в Е нет ненулевого вектора, ортогонального всем векторам системы. Утверждение. Пусть Х вЂ” линейное пространство со скалярным произведением, а х1,х2,... — система линейно независимых векторов в Х. Для того, чтобы система (х~) была полной в Х, ')М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
