Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 104
Текст из файла (страница 104)
А. Парсеваль (1755 — 183б) — французский математик, обнаруживший это соотношение для тригонометрической системы в 1799 г. В качестве полезного добавления к теореме и сделанному замечанию докажем следующее общее ~ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ б05 а) необходимо, чтобы в Х не было отличного от нуля вектора, ортогонального всем векторам системы; Ь) в случае, когда Х вЂ” полное (гильбертово) пространство, достаточно, чтобы в Х не было отличного от нуля вектора, ортогонального всем векторам системы. Условие полноты пространства в пункте Ь) утверждения является существенным, о чем свидетельствует следующий Пример 13.
Рассмотрим пространство Ь2 (см. ~1 гл. Х) вещественных последовательностей а = (а, а,... ), для которых ~, (а~) ( оо. Скалярное произведение векторов а = (а,а,... ) и 6 = (6~,6~,... ) из ~2 определим стандартным образом: (а, 6):= '>, 'а~6~. ~=1 Рассмотрим теперь в 12 ортонормированную систему е~ = (О,...,О, й 1, О, О,... ), й = 1, 2,... В нее не входит вектор е0 = (1, О, О,...
). К системе (е~, й е 1Ч) добавим еще вектор е = (1, 1/2, 1/22, 1/2з,... ) и рассмотрим линейную оболочку Ь(е, е~, е2,... ) указанных векторов. Эту линейную оболочку можно рассматривать как линейное пространство Х (подпространство 12) со скалярным произведением, взятым из 12. Отметим, что вектор е0 = (1,0,0,... ), очевидно, не может быть ~ а) Если вектор Ь ортогонален всем векторам системы (х~), то на основании теоремы Пифагора заключаем, что никакая линейная комбинация векторов системы (х~) не может отличаться от Ь меньше, чем на величину ~~6~~. Значит, если система (х~) полная, то ~~6~~ = О. Ь) Процессом ортогонализации получим из системы (х~) ортонормированную систему (е~), линейная оболочка которой Ь(е~) совпадает с линейной оболочкой Ь(х~) исходной системы.
Берем теперь произвольный вектор х б Х. Ввиду полноты пространства Х ряд Фурье вектора х по системе (е~) сходится к некоторому вектору х, е Х. По лемме о перпендикуляре вектор и = х — х, ортогонален пространству Ь(е~) = Ь(х~). По условию Й = О. Значит, х = х, и ряд Фурье сходится к самому вектору х. Таким образом, вектор х сколь угодно хорошо приближается конечными линейными комбинациями векторов системы (е~), а следовательно, и конечными линейными комбинациями векторов системы (х~).
> бОб ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ получен конечной линейной комбинацией векторов системы е, е1, е2,..., поэтому он не лежит в Х. Вместе с тем, он сколь угодно точно может быть приближен в 12 такими линейными комбинациями, поскольку е— /с=1 Значит, мы одновременно установили, что Х не замкнуто в 12 (поэтому Х, в отличие от 12, не полное метрическое пространство), но в то же время замыкание Х в 12 совпадает с 12, т.
к. система ео, е1, е2,... порождает все пространство 12. Теперь заметим, что в Х = Ь(е, е1, е2,... ) нет отличного от нуля вектора, ортогонального всем векторам е1, е2,... п ДЕйСтВИтЕЛЬНО, ПУСТЬ Х Е Х, т. Е. Х = аЕ+ ~, а1сЕ~, И ПУСТЬ (Х, Е1с) = /с=1 = О, Й = 1,2,... Тогда (х,е„+1) = „~+1 — — О, т.е. а = О.
Но тогда асс — — (х,е1с) = О, й = 1,...,и. Значит, мы построили нужный пример: ведь ортогональная система е1, е2,, не является полной в Х, т. к. она неполна в замыкании Х, совпадающем с 12. Рассмотренный пример, разумеется, ти- 1 ~ 6 е, — ~1 ф Х пично бесконечномерный. На рис. 103 сделана ~ Х попытка изобразить случившееся. е у- 1 Отметим, что в бесконечномерном случае ~ Хе (так характерном для анализа) возможность 1 ез сколь угодно точно приблизить вектор линейными комбинациями векторов системы и е1 возможность разложить вектор в ряд по век- торам системы, вообще говоря, разные свойРис. 103. ства системы.
Обсуждение этого вопроса и заключительный пример 14 прояснят особую роль ортогональных систем и рядов Фурье, для которых эти свойства имеют место одновременно (о чем говорит доказанная выше теорема). Определение 8. Система х1, х2,..., х„,... векторов линейного нормированного пространства Х называется базисом пространства Х, если любая конечная ее подсистема состоит из линейно независимых векторов и любой вектор х Е Х может быть представлен в виде Х = ~, а1сХ1с, ГдЕ С~~ КОЭффИцИЕНтЫ ИЗ ПОЛЯ КОНСтаят П11ОСтраНСтВа Х, 1с ~ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ б07 а сходимость (в случае бесконечной суммы) понимается по норме про- странства Х.
Пример 14. Рассмотрим множество С([ — 1, 1], К) непрерывных на отрезке [ — 1, 1] вещественнозначных функций как линейное пространство над полем К со стандартным скалярным произведением, определенным формулой (3). Обозначим это пространство символом С2 ([ — 1, 1], К) и рассмотрим в нем систему линейно независимых векторов 1, х, х2,... Эта система полна в пространстве С2([ — 1, 1], К) (см. пример 11), но не является базисом. ~ Покажем сначала, что если ряд '>, 'а1сх" сходится в С2([ — 1, 1], К), /с=о т. е. в смысле среднего квадратического уклонения на отрезке [ — 1, 1], то он же, рассматриваемый как степенной ряд, сходится поточечно на интервале ] — 1, 1[. Действительно, по необходимому условию сходимости ряда имеем ) аусХ")) — Э 0 ПРИ й — Э ОО. НО 1 ~а1сХ ~ =~ ~а~Х ) ЙХ=а1с 2й+1 Значит, ~оя ~ < ьС2Й -~-1 ири всех достаточно больших значениях Й.
В таком случае степенной ряд ~, а~х заведомо сходится на интервале /с=о ]-1,1[ Обозначим теперь через у сумму этого степенного ряда на интервале ] — 1, 1[. Заметим, что на каждом отрезке [а, 6] С ] — 1, 1[ степенной ряд сходится к у~~„~~ равномерно, а следовательно, и в смысле среднего квадратического уклонения тоже. Отсюда следует, что если непрерывная на отрезке [ — 1, 1] функция ~ является суммой этого ряда в смысле сходимости в пространстве С2 ([ — 1, 1], К), то ~ и у совпадают на ] — 1, 1[. Как соотносятся полнота системы векторов и свойство системы быть базисом? В конечномерном пространстве Х полнота в Х системы векторов, как следует из соображений компактности и непрерывности, очевидно, равносильна тому, что эта система является и базисом в Х.
В бесконечномерном случае это, вообще говоря, не так. ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б08 Но функция ~р бесконечно дифференцируема. Значит, если в пространстве С2([ — 1, 1], К) взять любую не бесконечно дифференцируемую на интервале ] — 1, 1[ функцию, то ее уже нельзя в этом пространстве разложить в ряд по системе (х~; й = О, 1,... ). > Итак, если взять, например, функцию 1 (х) = ~х~ и последовательность чисел е„= — „; и е И, то можно построить последовательность 1. (Р„(х);и е И) конечных линейных комбинаций Р„(х) = а0+а1х+...+ + а„х" элементов системы (х"; Й б И) такую, что ~~~ — Р„~~ < — „, т.е.
Є— ~ 1" при и — ~ оо. Если нужно, то в каждой такой линейной комбинации Р„(х) коэффициенты можно даже считать выбранными единственным наилучшим способом (см. пример 9). Тем не менее, разложения ~, а~х" при этом не возникает по той причине, что при переходе /с=О от Р„(х) к Р„+1(х) меняется не только последний коэффициент а„+1, но, возможно, и все предыдущие а0,..., а„. Если же система ортогональная, то этого не происходит (а0,..., а„ не меняются) в силу экстремального свойства коэффициентов Фурье. Например, можно было бы от системы мономов (х") перейти к системе ортогональных полиномов Лежандра и разложить 1 (х) = ~х~ в ряд Фурье по этой системе.
* 3. Об одном важном источнике ортогональных систем функций в анализе. Теперь дадим представление о том, как в конкретных задачах появляются те или иные ортогональные системы функций и возникают ряды Фурье по этим системам. Пример 15.
Метпод Фурье. Отрезок [0,1] С К будем считать положением равновесия однородной упругой струны, закрепленной в концах этого отрезка, а в остальном свободной и способной совершать малые поперечные колебания около этого положения равновесия. Пусть и(х,1) функция, описывающая эти колебания, т.е. в каждый фиксированный момент времени 8 = 10 график функции и(х, ~0) над отрезком 0 < х < 1 задает форму струны в момент Ц. Это, в частности, означает, что и(0, 1) = и(1, 1) = 0 в любой момент 8, поскольку концы струны закреплены.
Известно (см., например, гл. Х1Ч, 84), что функция и(х, ~) удовле- ~ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ б09 творяет уравнению д2и 2 д2и =а дР дх2' (21) где положительный коэффициент а зависит от плотности и модуля упругости струны. Одного уравнения (21), конечно, недостаточно для определения функции и(х, 1). Из опыта мы знаем, что движение и(х, ~) однозначно определится, если, например, задать положение и(х,О) = ~р(х) струны в какой-то (будем его называть начальным) момент времени 8 = 0 и скорость ~~(х, 0) = ф(х) точек струны в этот момент.
Так, если мы, ди оттянув струну, придаем ей форму ~р(х) и отпускаем, то ф(х) = О. Итак, задача о свободных колебаниях струны~~, закрепленной в концах отрезка ~О, 1], свелась к отысканию такого решения и(х, 1) уравнения (21), которое удовлетворяет граничным условиям и(О,й) = и(1,8) = 0 (22) и начальным условиям ди и(х, 0) = ~р(х), — (х, 0) = ф(х). (23) Т" (~) Х" (х) а2Т(~) Х(х) (24) ц Отметим, что начало математическому исследованию колебании струны положил еще Брук Тейлор. Для решения подобных задач существует довольно естественная процедура, называемая в математике методом разделения переменных или методом Фурье. Она состоит в следующем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
