Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 102
Текст из файла (страница 102)
х Опираясь на свойства интеграла, легко проверить, что все указанные в ~ 1 гл. Х аксиомы скалярного произведения в этом случае выполнены, если отождествлять функции, отличающиеся лишь на множествах и-мерной меры нуль. Всюду дальше в основном тексте параграфа скалярные произведения функций будут пониматься в смысле равенств (2) и (3). Пример 1. Вспомним, что при целых т и п егтх . гпх Дх— О, если т фи, 2~т, если т = и; (4) т ~~ п, т=п~О, т=п=О; О, если ~т, если 2т если совтхсовпхс~х = (5) сов тх йп пх и'х = О; (6) О, если т ф- и, ~т, если т = п ф. О. Эти соотношения показывают, что (е'"*; п Е,'Ц является ортогональной системой векторов пространства Е2 ([ — ~т, т], С) относительно скалярного произведения (2), а тригонометрическая система (1, сов пх, япих;и Е И~ ортогональна в Е2([ — ~т, т], К).
Если рассматривать тригонометрическую систему как набор векторов в Е2 ([ — ~т, т], С), т. е. допустить линейные комбинации с комплексными коэффициентами, то в силу формул Эйлера е'"* = сових + гяппх, сових = -(е'"*+ е '"*), яппх = —.(е'"* — е '"*) окажется, что рассмотренные системы линейно выражаются друг через друга, т. е. алгебраически эквивалентны. По этой причине систему экспонент 1е'"~;и б И~ также называют тригонометрической системой или точнее тригонометпрической системой в комплексной записи.
~ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 591 ( — е'Т"*;п Е Ж ~/21 1 1 ~т 1 . ~т =, = сов — пх, — 81п — пх;и Е И ~/2~ Л ~ ~Д Пример 2. Пусть 1~ — промежуток в КУУ', а 1ц — промежуток в Ж, и пусть 11"й(х)~ — ортогональная система функций в Е2(1., К), а ~д (у)~ — ортогональная система функций в Е2(1ц, К).
Тогда, как следует из теоремы Фубини, система функций (и, (х, о):= Ях)д (у)~ ортогональна в Е2(1~ х 1ц, К). Пример 3. Заметим, что при а ф-,В 1 в1п(а — ~3) 1 81п(а —,о) ~ 81ПаХ81П,ОХОХ =— 2 а — ~3 а+~3 О ~ЗФда1 — аФдф = соза1 созф с„2 Р2 Значит, если величины а и д таковы, что Л~ — = -ей'--, то исходный интеграл равен нулю. Следовательно, если ~1 < ~2 < ... < ~„< ... последовательность корней уравнения $д ~1 = с~, где с — произвольная постоянная, то система функций (81п(~„х); п Е И~ ортогональна на отрезке [О, 1].
В частности, при с = О получаем знакомую систему (есп (~~ох); в~Я). Пример 4. Рассмотрим уравнение Соотношения (4) — (7) показывают, что рассмотренные системы ортогональны, но не нормированы, а системы — е'"*;п Е Ж~, ~Г2~г > ' ~ ~Г2~г' 1 1 ° — сових, — иппх;п Е И уже ортонормированы. Если вместо отрезка [ — ~т, ~т] взять произвольный отрезок [ — 1, 1] С С К, то заменой переменной можно получить аналогичные системы < е'т"*;п б Ж и 1,сов-~-пх,81п-~-пх;п Е И, ортогональные в пространствах Я.2([ — й, й], С) и Е2([ — й, й], К), а также соответствующие ортонормированные системы ГЛ. ХЧП1.
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 592 где О Е С~ос)([а, Ь], К), а Л вЂ” числовой коэффициент. Предположим, что функции и1, и2,... класса С<~)([а, Ь], К) обращаются в нуль на концах отрезка [а, Ь] и каждая из них удовлетворяет данному уравнению со своим значением Л1, Л2,... коэффициента Л. Покажем, что если Л, ф Л, то функции и„и ортогональны на [а, Ь]. Действительно, интегрируя по частям, находим, что †, + а(х) (х) — + ~(х) и (х) с~х. и (х) с~х = и,(х) В соответствии с уравнением отсюда получаем, что Л,(и,„и,) = Л (и,„и,) и, поскольку Л, ~ Л, теперь заключаем, что (и,„и ) = О.
В частности, если д(х): — О на [а, Ь], а [а, Ь] = [О, ~т], мы вновь получаем ортогональную на [О, ~т] систему (81п их; п б И). Дальнейшие примеры, в том числе и примеры важных для математической физики ортогональных систем, читатель найдет в задачах к этому параграфу. с. Ортогонализация. Хорошо известно, что в конечномерном евклидовом пространстве на основе любой линейно независимой системы векторов каноническим образом (с помощью процесса ортогонализации Грама1) — Шмидта2)) можно построить ортогональную и даже ортонормированную систему векторов, эквивалентную данной. Этим же способом, очевидно, и в любом линейном пространстве со скалярным произведением можно ортонормировать любую линейно независимую систему его векторов ф1, ф2,...
ЦИ. П. Грам (1850 — 1916) — датский математик, продолживший исследования П Л. Чебышева и выявивший связь между разложениями в ряды по ортогональным системам и проблемой наилучшего квадратичного приближения (см. далее ряды Фурье). Именно в этих исследованиях возникли процесс ортогонализации и известная матрица Грама (см. стр. 222 и систему (18) на стр. 601.) ~~Э. Шмидт (1876 — 1959) — немецкий математик, изучавший в связи с интегральными уравнениями геометрию гильбертова пространства и описывавший ее языком евклидовой геометрии.
~ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 593 Напомним, что процесс ортогонализации, приводящий к ортонормированной системе р1, р2,..., описывается следующими соотношениями: Ф1 Ф2 — (Ф2) ~Р1) ~Р1 11Ф111 11Ф2 — (Ф2) ~Р1) ~Р111 и — 1 Ф вЂ” Е (Ф, Р~)р~ Пример 5. Процесс ортогонализации линейно независимой системы 11, х, х,... 1 в Е2 ([ — 1, 1], К) приводит к так называемой системе ортогональных мноеочленов Лежандра. Отметим, что многочленами Лежандра часто называют не сами многочлены этой ортонормированной системы, а им пропорциональные.
Множитель пропорциональности выбирается из разных соображений: например, чтобы коэффициент при старшей степени многочлена был равен 1 или чтобы значение много- члена при х = 1 было равно 1. Ортогональность системы при этом, очевидно, не нарушается, а ортонормированность, вообще говоря, теряется. Стандартные многочлены Лежандра, определяемые формулой Род- рига 2 1 3 Р2(х) = х — —, Рз(х) = х — — х. 3' 5 Р1(х) = х, Р~(х) = 1, Ортонормированные многочлены Лежандра имеют вид Р„(х) = Р„(х), где п = 0,1,2,... Прямым вычислением можно убедиться в их ортогональности на отрезке [ — 1, 11. Принимая указанную выше формулу за определение многочлена Р„(х), проверим ортогональность системы 1Р„(х)1 многочленов Лежандра на отрезке [ — 1, 11.
Для этого достаточно проверить, что 1 с~"(х2 — 1)" и! 2 с~х нам уже встречались. Для них Р„(1) = 1. Выпишем несколько первых многочленов Лежандра, нормированных условием равенства единице коэффициента при старшей степени переменной: ГЛ. ХЪ'П1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 594 многочлен Р„(х) ортогонален многочленам 1,х,...,х" 1, линейными комбинациями которых получаются многочлены Руг(х) степени й < и. Интегрируя по частям при к < п, действительно получаем, что 1 1 ( ) дую+1 Й ~п — Й вЂ” 1( 2 1)гг х'гР ( 1ах = ах=О. Некоторые представления об источнике ортогональных систем функций в анализе будут даны в последнем пункте этого параграфа и в задачах к нему, а сейчас мы вернемся к основным общим вопросам, связанным с разложением вектора по векторам заданной системы в линейном пространстве со скалярным произведением. й.
Непрерывность скалярного произведения и теорема Пифагора. Нам предстоит работать не только с конечными, но и с бесконечными суммами (рядами) векторов. Отметим в этой связи свойство непрерывности скалярного произведения, которое позволяет распространить привычные алгебраические свойства скалярного произведения и на случай рядов. Пусть Х вЂ” векторное пространство со скалярным произведением (, ) и с индуцированной им в Х нормой ((и((:= 1/(и, и) (см. а 1 гл. Х). Сходимость ряда ~ х, = х из векторов х, г= Х к вектору х г= Х будет г=1 пониматься именно в смысле указанной нормы. ~ Утверждение а) вытекает из неравенства Коши — Буняковского (см.
~1 гл. Х): !(х хо у уо)! < ~1~ хо!~ ' Ь уо!1 . Лемма 1 (о непрерывности скалярного произведения). Пустпь (, ): Х2 -+ С скалярное произведение в С-линейном пространстве Х. Тоеда а) функция (х, у) ~+ (х, у) непрерывна по совокупности переменных; Ь) если х = ~ х„то (х, у) = ~ (х„у); г=1 г=1 с) если е1,е2,... — ортпонормированная систпема вектпоров в Х и х ~ хгег а у — ~ угег то (х у) — ~ хгу г=1 г=1 г=1 21.
ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 595 Из а) вытекает Ь), поскольку (х, р) = ~(ж„у) + 2 х„р г=1 г=гг+1 а ~ х, — ~ О при и — ~ оо. г=гг+1 Утверждение с) получается повторным применением Ь) с учетом соотношения (х, у) = (у, х). ~ Из доказанной леммы непосредственно вытекает Теорема (Пифагор' ) ). а) Если (хг) — система взаимно ортоеональных векторов и х = х„то ))х)) = ~ ))хг)) . г г Ь) Если ~ег) — система ортонормированных векторов и х = ~~;х'е„ г тО ))Х(~2 ~ ~Хг)2 г 2. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье а. Определение коэффициентов и ряда Фурье.
Пусть ~ег) оРтоноРмиРованнаЯ, а (гг) оРтогональнаЯ системы вектоРов в пРостранстве Х со скалярным произведением (, ). Допустим, х = ~ хЧг. Коэффициенты х' в таком разложении вектог ра х находятся непосредственно: Если 1, = е„то выражение еще упрощается: х' = (х, е,). 20 — 4574 ~~Пифагор Самосский (ориентировочно 580 — 500 до н.э.) — знаменитый древнегреческий математик и философ-идеалист, основатель Пифагорейской школы, в которой, в частности, было сделано потрясшее древних математическое открытие о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата Сама же классическая теорема Пифагора была известна в ряде стран задолго до Пифагора (правда, возможно без доказательства). ГЛ.
ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 59б Заметим, что формулы для х' имеют смысл и вполне определены, если дан сам вектор х и ортогональная система (Р,) (или 1е,)). Равенства х = ~ хЧг (или х = ~ х'е,) для вычисления х' по этим формулам г г уже не требуется. Определение 5. Числа ~ — '' ~ называются козффициентпами 1(„.)) ФУРье вектпоРа х Е Х в оРтпогональной системе 1гг). Если система (е,) ортонормирована, то коэффициенты Фурье имеют вид ((х, ег)). С геометрической точки зрения г-й коэффициент Фурье (х, е,) вектора х е Х есть проекция этого вектора на направление единичного вектора е,. В знакомом случае трехмерного евклидова пространства Ез с заданным в нем ортонормированным репером е1, е2, ез коэффициенты Фурье х' = (х, е,), г = 1, 2, 3, суть координаты вектора х в базисе е1, е2, ез, возникающие в разложении х = х е1 + х е2 + х ез.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
