Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Решение и(х, 1) ищется в виде ряда ~' Х„(х)Т„(~), члены которого Х(х)Т(~) являются специп=1 ального вида (с разделенными переменными) решениями данного уравнения, удовлетворяющими граничным условиям. В нашем случае, как мы увидим, это равносильно разложению колебания и(х, 1) в сумму простейших гармонических колебаний (точнее, в сумму стоячих волн). Действительно, если функция Х(х)Т(~) удовлетворяет уравнению (21), то Х(х)Т" (8) = а Х"(х)Т(~), т. е. ГЛ.
ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б10 В уравнении (24) независимые переменные х и ~ оказались в разных его частях (разделились), поэтому обе части на самом-то деле должны представлять некоторую, одну и ту же, постоянную Л. Если учесть еще граничные условия Х(0)Т(й) = ХЯТ(Г) = О, которым должно удовлетворять рассматриваемое нами решение специального вида, то его отыскание сводится к одновременному решению уравнений Т~~(Х) = Ла Т(Г,), Х"(х) = ЛХ(х) (25) (26) при условии, что Х(0) = Х(Р) = О.
Легко написать общее решение каждого из этих уравнений в отдельности: Т(~) = Асов ~/Ла~+ Вяп ~/Ла~, Х(х) = Ссов ~/Лх+.Ояп~/Лх. (27) (28) Если мы попытаемся удовлетворить условиям Х(0) = Х(1) = О, то получим, что при Л ~ 0 должно быть С = 0 и, отбросив тривиальный случай О = О, получаем, что яп ~/Л1 = О, откуда ~/Л = ~77,7Г/1, и е И. Таким образом, в уравнениях (25), (26) число Л, оказывается, можно выбирать только среди некоторой специальной серии чисел (так называемых собственных чисел задачи), Л„= (777Г/Ц~, где п е М Подставляя эти значения Л в выражения (27), (28), получаем серию специальных его решений 7Г 7' 7Га 7Га ~ иГ,(х,~) = яп77,— х ~А„сов77,— 1+ В„яп77,— 1), (29) удовлетворяющих граничным условиям и„(0, ~) = и„(1, ~) = 0 (и описывающих стоячую волну вида Ф(х) яп(сЛ+ 0), в которой каждая точка х Е ~0, 1] совершает простые гармонические колебания со своей амплитудой Ф(х), но одной и той же для всех точек частотой ю).
Величины ю„= 77,~~~, и Е 1Ч, по естественной причине называют собственными частотами струны, а ее простейшие гармонические колебания (29) собственными колебаниями струны. Колебание и1(х, 8) с наименьшей собственной частотой называют основным тоном струны, а остальные ее собственные колебания и2(х, й), из(х, й), ...
называют обертонами (именно обертоны создают характерную для данного музыкального инструмента окраску звука, называемую тембром). ~ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 611 Мы хотим теперь представить искомое колебание и(х, ~) в виде суммы '~, 'ип(х, 1) собственных колебаний данной струны. Граничные услоп=1 вия (22) при этом автоматически выполнены, и надо только позаботиться о выполнении начальных условий (23), которые означают, что р(х) = ~ А„ясов — х п=1 (30) ла . л й(х) = ~ и — В„ясон — х. (31) п=1 Таким образом, дело свелось к нахождению пока еще свободных коэффициентов Ап, Вп, или, что то же самое, к разложению функций ~р н й в ряд Фурье ио системе <ясп и ух; и Е И), ортогональной на отрезке [О, 1].
< Действительно, если Аи = Ои, Аи = Ди и а ~ Д, то Полезно заметить, что возникшие из уравнения (26) функции < в1пп~~х;п б И можно рассматривать как собственные векторы ли- 12 нейного оператора А = —, отвечающие его собственным значениям с1х Лп = п1~, которые появились из условия, что оператор А действует на пространстве функций класса С121[0, 1], обращающихся в нуль на концах отрезка [0,1]. Значит, равенства (30), (31) можно трактовать как разложения по собственным векторам данного линейного оператора. Линейные операторы, связанные с конкретными задачами, являются одним из основных источников ортогональных систем функций в анализе. Напомним один известный из алгебры факт, вскрывающий причину ортогональности таких систем. Пусть Я линейное пространство со скалярным произведением (, ), а Е некоторое (возможно совпадающее с Я) его подпространство, плотное в Я. Линейный оператор А: Е + Я называется симметрическим, если для любых векторов х,у Е Е выполнено равенство (Ах, у) = (х, Ау).
Так вот: собственные векторы симметрического оператора, отвечаюи1ие различным его собственным значениям, ортоеональны. ГЛ. ХЧ1П. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б12 п(и, о) = (Аи, о) = (и, Ао) =,д(и, о), откуда следует, что (и,и) = О. > Полезно теперь с этой точки зрения посмотреть на пример 3, где, в сущности, рассматривались собственные функции оператора А = ~2 ~ — 4- д(х)), действующего на пространстве функций класса 'а СЬ С® ~а, 6], обращающихся в нуль на концах отрезка ~а, 6]. Интегрированием по частям можно убедиться в том, что этот оператор на указанном пространстве является симметрическим (относительно стандартного скалярного произведения (4)), поэтому результат примера 4 является конкретным проявлением отмеченного алгебраического факта.
В частности, когда О(х) = О, из А получается оператор —, который С~' с1х при [а, 6] = ~0,1] встретился нам в последнем примере 15. Отметим также, что в рассмотренном примере дело свелось к разложению функций ~р и ф (см. соотношения (30) и (31)) в ряд по собствен- ~2 ным функциям оператора А = —. Здесь, конечно, возникает вопрос о с1х~ принципиальной возможности такого разложения, эквивалентный, как мы теперь понимаем, вопросу о полноте системы собственных функций рассматриваемого оператора в выбранном пространстве функций.
Полнота в Е2~ — 7), л] тригонометрической системы (и некоторых других конкретных систем ортогональных функций) в явной форме, по-видимому, впервые доказана Ляпуновым ). В неявном виде полнота 1) конкретно тригонометрической системы присутствовала уже в работах Дирихле, посвященных исследованию сходимости тригонометрических рядов. Эквивалентное полноте равенство Парсеваля для тригонометрической системы, как уже отмечалось, было обнаружено Парсевалем еще на рубеже ХЧ111 — Х1Х веков. В общей постановке вопросы полноты ортогональных систем и их приложения в задачах математической физики были одним из основных объектов исследований Стеклова~),ко- ')А. М.
Ляпунов (1857 — 1918) — русский математик и механик, выдающийся представитель школы П. Л. Чебышева, творец теории устойчивости движения. Успешно занимался различными областями математики и механики. ~)В. А, Стеклов (18б4 — 192б) — русский советский математик, представитель созданной П. Л. Чебышевым петербургской математической школы, основатель школы математической физики в СССР. Его имя носит Математический институт Российской Академии наук. ~ 1, ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ б13 торый и ввел в математику само понятие полноты [замкнутости) ортогональной системы. При исследовании вопросов полноты он, кстати, активно использовал метод интегрального усреднения (сглаживания) функции (см.
8 4, 5 гл. ХЧ11), который поэтому часто называется методом усреднений Стеклова. Задачи и упражнения 1. Метод наименьших квадратов. Зависимость у = ~'(х1,..., х„) величины у от величин х1,..., х„изучается экспериментально. В результате т (> п) экспериментов была получена таблица в строках которой указан набор (а1,а~~,...,а'„) значений параметров х1, х~,..., х„и соответствующее ему значение Ь' величины у, измеренное прибором с определенной точностью.
По этим экспериментальным данным требуется получить удобную для расчетов эмпирическую формулу вида у = ~; а,х,. з=1 Коэффициенты а1, а~,..., а„искомой линейной функции надо подобрать так, чтобы минимизировать величину среднего квадратич- ного уклонения данных, получаемых по эмпирической формуле, от результатов,полученных в экспериментах. Проинтерпретируйте этот вопрос как задачу о наилучшей аппроксимации вектора (Ь',..., 6™) линейными комбинациями векторов (а1,..., а,"'), г = = 1,..., п, и покажите, что дело сводится к решению системы линейных уравнений типа системы (18).
2. а) Пусть С[а, 6) — линейное пространство непрерывных на отрезке [а, 6) функций с метрикой равномерной сходимости функций на этом отрезке, а С~[а, Ь~ — то же линейное пространство, но с метрикой среднего квадратич- ного уклонения функций на этом отрезке (т. е. д(~, д) = Покажите, что сходимость функций в С[а, Ь~ влечет их сходимость в С2[а, 6~), но не обратно, и что пространство С2[а, 6) не является полным, в отличие от пространства С[а, Ь .
Ь) Объясните, почему система функций (1, х, х,... 1 линейно независима и полна в С~[а, Ь~, но не является базисом этого пространства. ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б14 с) Объясните, почему полиномы Лежандра являются полной ортогональной системой и даже базисом в С2[ — 1, 1~. д) Найдите первые четыре члена разложения Фурье функции яптх на отрезке [ — 1, Ц по системе полиномов Лежандра.
е) Покажите, что квадрат нормы ~~Р„~~ в С2[ — 1, 1~ и-го полинома Лежандра равен „(и+1)(и+2)...2п ( 2 )„ и! 22»» 2п+1 1) Докажите, что среди всех полиномов данной степени и, с коэффициентом 1 при старшей степени переменной, полином Лежандра Р„(х) является наименее уклоняющимся от нуля в среднем на отрезке [ — 1, 1~. я) Объясните, почему для любой функции г Е С2([ — 1, 1~, С) должно быть выполнено равенство 1 ~(х)Р„(х) дх где (Р0, Р~,... ) — система полиномов Лежандра. 3. а) Покажите, что если система (х~, х2,...
) векторов полна в пространстве Х, а пространство Х является всюду плотным подмножеством пространства У, то система (х~, х2,... ) полна также и в У. Ь) Докажите, что линейное пространство С[а, 6~ функций, непрерывных на отрезке [а, 6~, всюду плотно в пространстве Я2[а, 6~. (В задаче 5я из ~ 5 гл. ХУП утверждалось, что это верно даже для бесконечно дифференцируемых финитных на отрезке [а, 6~ функций.) с) Используя аппроксимационную теорему Вейерштрасса, докажите, что тригонометрическая система (1,совках,яп Йх; Й Е 1Ч) полна в Я2[ — ~г,~г~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
