Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Определение 3. Вещественно или комплекснозначную функцию ~ будем называть кусочно непрерывной на отрезке ~а, о], если существует такой конечный набор точек а = хо < х1 «... х„= о этого отрезка, что функция ~ определена, непрерывна на каждом интервале ]х 1, х~~, у = 1,..., и и имеет односторонние пределы при подходе к его концам. Определение 4. Функцию, имеющую на данном отрезке кусочно непрерывную производную, будем называть кусочно непрерывно дифференцируемой функцией на этом отрезке.
Пример 4. Функция Дх) = вяп х удовлетворяет условиям Дини в любой точке х Е К, в том числе и в нуле. Теорема 3 (достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке). Пусть ~: К вЂ” ~ С 27г-периодическая функция, абсолютно интегрируемая на отрезке ~ — т, 7~]. Если функция ~ удовлетворяет в точке х е К условиям Дини, то ее ряд Фурье сходится в точке х, причем ~(х ) ~-~(хЦ 2 (27) Пример 3. Если функция кусочно непрерывно дифференцируема на отрезке, то она удовлетворяет условиям Гельдера с показателем а = 1 в любой точке этого отрезка (это вытекает из теоремы Лагранжа о конечном приращении).
Значит, в силу примера 1 такая функция удовлетворяет условиям Дини в любой точке рассматриваемого отрезка. В концах отрезка, разумеется, проверке подлежит только соответствующая односторонняя пара условий Дини. ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б32 ~ На основании соотношений (21) и (19) Дх )+ 1(х+) 2 1 ~ (Дх — 1) — Дх ))+ ®х+1) — Дх+)) .
( 1~ я/ 2я1п -8 1 2/ о 2 Я„(х) Поскольку 2я1п -8 8 при 8 — ~ +О, то, благодаря условиям Дини, на 1 основании леммы Римана можно утверждать, что при и — ~ оо последний интеграл стремится к нулю. Ф Замечание 4. В связи с доказанной теоремой и принципом локализации отметим, что изменение значения функции в точке не влияет ни на коэффициенты, ни на ряд, ни на частичные суммы ряда Фурье, поэтому сходимость и сумма такого ряда в точке определяется не индивидуальным значением функции в точке, а интегральным средним ее значений в сколь угодно малой окрестности этой точки. Именно это и нашло отражение в теореме 3. с1.
'Георема сйейера1). Рассмотрим теперь последовательность функций 1 о„(х) = — 1(х — ~)Г„(~) Ж, 21г где ~пИ) 1 (Оо(~) + ° ° ° + ОвИ)) ° 1 Вспоминая явный вид (17) ядра Дирихле и учитывая, что и — 1 п я1п2 "+11 Б~п Й ~- — 1 = вш — 1 2 (сов и — сон(й -~-1)о = В=о 2 2 В=о Я1п28 ' ') Л. Фейер (1880 — 195б) — известный венгерский математик. Яо(х) + ... + Я„(х) и+1 являющихся средними арифметическими соответствующих частичных сумм Яо(х),..., Я„(х) тригонометрического ряда Фурье (6) 2я-периодической функции 1: К вЂ” ~ С.
На основе интегрального представления (20) частичной суммы ряда Фурье имеем ~2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ б33 находим в1п2 ~~1~ У„(~) = (и+ 1) в1п~ 2~ Лемма 2. Последовательность функций — У„(х), если ~х~ < 7г, О, если ~х) > т является о-образной на К. ~ Неотрицательность Ь„(х) ясна. Равенство (19) позволяет заключить, что 1 Ь„,,(х) дх = Ь„(х) дх = — У;,(х) дх = 27г и 1 ~ Ра (т) нт = 1. 27г(п + 1) Наконец, при любом о > О О < Ь„(х) дх = Ь„(х) дх = Ь„(х) дх < 1 ах ( — ~О 2т(п + 1) в1п2 -'х 2 при п — + оо.
Ф Функция У;, называется ядром Фейера, точнее, п-м ядром Фейера. Учитывая исходное определение (16) ядра Дирихле Р„, можно заключить, что ядро Фейера является гладкой 27г-периодической функцией, значение которой равно (и+ 1) там, где знаменатель последней дроби обращается в нуль. Свойства ядер Фейера и Дирихле во многом схожи, но в отличие от ядер Дирихле ядра Фейера еще и неотрицательны, поэтому имеет место следующая ГЛ. ХЧП1.
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 634 Теорема 4 (Фейер). Пусть ~: К -+ С вЂ” 2т-периодическая абсолютно интегрируемая на отрезке [ — т,т] функция. Тогда, а) если на множестве Е С К функция 1" равномерно непрерывна, то о„(х) ~ Дх) на Е при и -+ оо; Ь) если 1 Е С® С), то оп(х) ~ Дх) на К при п -+ оо; с) если ~ непрерывна в точке х Е К, то о„(х) -+ Дх) при п -+ оо.
~ Утверждения Ь) и с) являются специальными случаями утверждения а). Само же утверждение а) является частным случаем общего утверждения 5 из ~ 4 гл. ХЧ11 о сходимости свертки, поскольку Следствие 1 (теорема Вейерштрасса об аппроксимации тригонометрическими многочленами). Если функция 1: [ — т, т] -+ С непрерывна на отрезке [ — т,т] и 1( — т) = 1(т), то эта функция может быть сколь угодно точно равномерно на отрезке [ — т, т] аппроксимирована тригонометрическими многочленами. ~ Продолжая 1 2т-периодически, получим непрерывную периодическую на К функцию, к которой по теореме Фейера равномерно сходятся тригонометрические многочлены о„(х).
~ Следствие 2. Если функция 1" непрерывна в точке х, то ее ряд Фурье либо вовсе расходится в этой точке, либо сходится к 1(х). Замечание 5. Отметим, что ряд Фурье непрерывной функции и в самом деле может в некоторых точках расходиться. ~ Формально в проверке нуждается только случай сходимости.
Если последовательность Я„(х) при п -+ оо имеет предел, то тот же предел имеет и последовательность о„(х) — ~ +„''' " . Но по теореме Фейера о„(х) -+ Дх) при и — ~ оо, значит, и Я„(х) -+ 1(х) при п -+ оо, если вообще предел Я„(х) при п -+ оо существует. 1ь ~ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 635 3.
Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов Фурье а. Оценка коэффициентов Фурье гладкой функции. Начнем с простой, но важной и полезной леммы. Лемма 3 (о дифференцировании ряда Фурье). Если непрерывная функция ~ Е С([ — т, т], С), принимающая на концах отрезка [ — т, т] равные значения ® — т) = ~(т)), кусочно непрерывно дифференцируема на [ — т,т], то ряд Фурье ее производной се(~ )е™т может быть получен формальным дифференцированием ряда Фурье сеЯе'"* самой функции, т. е. с~(~ ) = вайс~(~), Й Е Ж. (31) ( 1 ( с (У') = — У'(х)е гйхс~х 2т = — Дх)е '~* + — ~(х)е '~*сЬ = гйс~(~) 2т 2т поскольку ~(т)е ™ — ~( — ~г)е'~" = О.
в Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания ее коэффициентов Фурье). Пусть ~ Е С~~ Ц([ — т,т],С) и ~®( — т) = = ~®(т), ~ = О, 1,..., т — 1. Если функция ~ имеет на отрезке [ — т, ~г] кусочно непрерывную производную ~(~~ порядка т, то с~(~~ ~) = (гй) с~(~), Й Е Ж, (32) ~ Исходя из определения коэффициентов Фурье (13), интегрированием по частям находим ~ 2.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 637 а) ~ Е С~"' Ц [ — ~т, ~т], т Е И, Ь) ~®( — ~т) = ~®(л), у = 0,1,...,т — 1, с) ~ имеет на [ — т,т] кусочно непрерывную производную ~~"'~ по- рядка т > 1, то ряд Фурье функций ~ сходится к ~ абсолютно и равномерно на отрезке [ — т, л], причем отклонение и-й частичной суммы Я„(х) ряда Фурье от ~(х) на всем отрезке [ — т,т] имеет оценку где (е„) стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел.
~ Частичную сумму (9) ряда Фурье запишем в компактной форме (9') Я„(е) = ~ се(Д)е'"*. Теперь, используя соотношение (31), имеем возможность приступить к оценке: В соответствии с условиями на функцию ~, согласно утверждению 1, имеем ~с~(~)~ = у~/~Й~~, причем ~~~,' у~/~й~~ < оо: поскольку О < < "~к/~К~~ < — ('у~~ + 1/й~~) и т ) 1, имеем ~; у~/)й~п' < оо. Значит, последовательность Я„(х) на отрезке [ — ~т, ~т] равномерно сходится (в силу мажорантного признака Вейерштрасса для рядов или критерия Коши для последовательностей), В силу теоремы 3 предел Я(х) последовательности Я„(х) совпадает с Дх), поскольку функция ~ удовлетворяет условиям Дини в каждой точке отрезка [ — ~т, ~т] (см.
пример 3) и, ввиду ~( — ~т) = ~(т), функция ~ периодически продолжается на К с сохранением условий Дини в любой точке х Е К. ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 638 < 2 )сй(~)) = 2 7й!(Й( < ~й=п+1 ~й=п+1 1/2 < Кт' +й=п+1 1/2 Первый сомножитель в правой части неравенства Коши — Буняковского стремится к нулю при л — ~ оо, поскольку ~, у~ < оо. 2 Далее (см. рис.
104) ОО ОО ~ / 2т 2п1 1 ~2т — 1 Й=п+1 Таким образом, получается то, что и утверждает теорема 5. ~ Рис. 104. В связи с полученными результатами сделаем несколько полезных замечаний. Замечание 8. Из теоремы 5 (и существенно использованной при ее доказательстве теоремы 3) можно легко и независимо от теоремы Фейера вновь получить аппроксимационную теорему Вейерштрасса, сформулированную в следствии 1. ~ Достаточно доказать ее для вещественнозначных функций. Используя равномерную непрерывность функции 1 на отрезке [ — ~г, ~г~, аппроксимируем 1 на этом отрезке равномерно с точностью до я/2 кусочно линейной непрерывной функцией ~р(х), принимающей на концах ~ 2.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 639 отрезка те же значения, что и ~, т. е. ~р( — ~г) = ~р(т) (рис. 105). По теореме 5 ряд Фурье функции ~р сходится к у равномерно на отрезке [ — ~г, ~г]. Взяв частичную сумму этого ряда, уклоняющуюся от у(х) не более чем на е/2, получим тригонометрический многочлен, аппроксимирующий исходную функцию ~ с точностью до е на всем отрезке [ — ~г, ~г]. ~ Рис. 105. Замечание 9. Предположим, нам удалось представить функцию ~, имеющую особенность скачок, в виде суммы ~ = у+ф некоторой гладкой функции ф и некоторой простой функции у, имеющей ту же особенность, что и ~ (рис. 106 а, с, Ь). Тогда ряд Фурье функции ~ окажется суммой быстро и равномерно сходящегося в силу теоремы 5 ряда Фурье функции ф и ряда Фурье функции у.
Последний можно считать известным, если взять стандартную функцию ~р (на рисунке р(х) = — т — хпри — т<х<0иу(х) =т — хпри0<х<т). Рис. 106. Это наблюдение используется как в прикладных и вычислительных вопросах, связанных с рядами (метод А. Н. КрыловаЦ выделения особенностей и улучшение сходимости рядов), так и в самой теории три- ЦА. Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
