Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 112
Текст из файла (страница 112)
о ~ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ б53 9. а) Пусть х = 2~~™Т, т = 0,1,...,2п. Проверьте, что 2 ~ совках совках 2п+ 1 2 Е яп Йх в«п «х 2п+ 1 т=о 2ть Е яп Йх сов «х = би) = б«в, т=о 1 Г 1 а«, ® = — / ~(х) сов Йх ««х, Ь«,(~) = — / Г(х) яп )сх ««х вычислим приближенно по формуле прямоугольников, соответствующей это- му разбиению отрезка [0,2т]. Тогда получим величины 2 а«.(Г") = ~~«Г"(х ) совках т=о 2 Ь~(~) = ~~«ДХ ) япйх т=о которые и подставим в и-ю частичную сумму Я„(~, х) ряда Фурье функции ~ вместо соответствующих коэффициентов а«( Г) и Ь| (~).
Докажите, что при этом получится тригонометрический полином Я„(~, х) порядка и, интерполипующий функцию ~ в узлах хт, т = 0,1,...,2п, т. е. в Этих тО«КаХ ~(хт) = БЦ,Хт). 10. а) Пусть функция ~: [а, Ь] ~ К непрерывна и кусочно дифференцируема, и пусть ее производная ~' интегрируема в квадрате на промежутке ]а, Ь[. Используя равенство Парсеваля, докажите, что: а) если [а, Ь] = [О, зг], то при выполнении любого из двух условий ~(0) = = ~(т) = 0 или ] Г(х) ««х = О справедливо неравенство Стеклова о Г ,«(х) «Кх < (~') (х) дх, о о где й, 1 — неотрицательные целые числа, а б«.« = 0 при й ф 1 и б«« — — 1 при й = 1. Ь) Пусть ~: К -+ К вЂ” 2т-периодическая абсолютно интегрируемая на периоде функция.
Отрезок [0,2т] разобьем точками х = ~~™~, т = 0,1,...,2п, на 2п + 1 равных отрезков. Интегралы ~ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ б55 Ярг(х) = ~» с~(~)е' *, )й)(х где запись |Й~ ( Х означает, что Х = (Х1,..., Х„) и ~1с ~ ( Ц, ~' = 1,..., и. Покажите, что для любой 27г-периодической по каждой из переменных функции 1(х) = 1(х1,...,х„) ~ч() Ц ю( Ш) 1 7=1 7Г 7Г 1 Г = — „/ /п~ — *)Ц~м,м~~ — 7à — 7Г где Оц (и) Х~-е одномерное ядро Дирихле. с) Докажите, что сумма Фейера 27г-периодической по каждой из и переменных функции 1(х) = Г"(х1,..., х„) может быть представлена в виде 1 гтрг(х) = — / Я вЂ” х)Фрг(~) гИ, 1 где Ф~ч(и) = П Уд(и,), а Ур~, — Х,-е одномерное ядро Фейера. 7=1 с1) Распространите теперь теорему Фейера на п-мерный случай.
е) Покажите, что если 27г-периодическая по каждой из переменных функция 1 абсолютно интегрируема на периоде 1 хотя бы в несобственном смысле, то / ~Дх + и) — 1(х) ~ дх ~ О при и ~ О и / ~~ — а~ч ~(х) дх ~ О при Х ~ оо. 1 1 = й1х1 +... + й„х„и Й1,..., Й„Е У, ортонормальна на любом п-мерном кубе 1=(х6Р' ~а (х (а +27г71'=1727...7п). Ь) Интегрируемой на 1 функции 1 сопоставим сумму 1" ~ сг,(1)е'~*, которая называется рядом Фурье функции 1 по системе — ~„-е'~*, ес(27г) гг/ 2 ли с~® = ) 1(х)е ' *дх. Числа с~® называются коэффициентами (27г) пг 2 Фурье функции 1 по системе е'~ р~)~~г В многомерном случае ряд Фурье часто суммируют с помощью сумм ГЛ. ХЧП1.
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б5б 1') Докажите, что две абсолютно интегрируемые на кубе 1 функции 1 и д могут иметь совпадающие ряды Фурье (т. е. с~(~) = с~(д) для любого мультииндекса Й) в том лишь случае, когда 1(х) = д(х) почти всюду на 1.
Это усиление утверждения 3 о единственности ряда Фурье. е) Проверьте, что исходная ортонормальная система — - г е полна е/сх (~ ,.)-7г в Ег(1), значит, ряд Фурье любой функции 1 Е Ег(1) сходится к 1 в среднем на 1. Ь) Пусть 1 — 2т-периодическая по каждой из переменных функция класса С( )(К"). Проверьте, что с~(~~ ~) = г~ ~й с~(~), где а = (а~,...,а„), й = = (й,,...,й„), ~а~ = ~а,~+...+ ~а„~, й = й,'....
й„", а — неотрицательные целые. 1) Пусть 1 — 2т-периодическая по каждой из переменных функция класса С~™"~(К"). Покажите, что если для каждого мультииндекса а = (а~,..., а„) такого, что а есть О или т (при любом 1 = 1,..., и), выполнена оценка ~У®~г(х) ~1х < Мг 1 то ~~(х) — Яр~(х)~ < СМ ут — г где Х = пип~Х~,..., Х„), а С вЂ” постоянная, зависящая от т, но не зависящая отХиотхб1. ~) Заметьте, что если какая-то последовательность непрерывных функций сходится в среднем на промежутке 1 к функции 1 и одновременно сходится равномерно к функции р, то 1(х) = р(х) на 1. Используя это наблюдение, докажите, что если 2т-периодическая по каждой из и-переменных функция 1: К" ~ С принадлежит классу С®(К", С), то тригонометрический ряд Фурье функции 1 сходится к ней равномерно на всем пространстве Р'. 13. Ряды Фурье обобщенных функций. Любую 2я-периодическую функцию 1: К ~ С можно рассматривать как функцию 1(з) точки на единичной окружности Г (точка фиксируется значением з натурального параметра О ( з ( 2т).
Сохраняя обозначения ~4 гл. ХУП, рассмотрим на Г пространство Р(Г) функций класса С~~~(Г) и пространство Р'(Г) обобщенных функций, т. е. линейных непрерывных функционалов на Р(Г). Действие (значение) функционала Р Е Р'(Г) на функцию р Е Р(Г) будем обозначать символом 1'"(р), избегая символа (1'", р), использованного в этой главе для обозначения эрмитова скалярного произведения (7).
Каждая интегрируемая на Г функция 1 может рассматриваться как элемент Р'(Г) (регулярная обобщенная функция), действующий на функции р Е ~ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 657 Е Ю(Г) по формуле 2т Др) = Дз)р(з) сЬ. о Сходимость последовательности (Е„) обобщенных функций пространства '0'(Г) к обобщенной функции г Е Р'(Г), как обычно, означает, что для любой функции <р Е Р'(Г) 1пп Г„~р) = Г(<р). п — е' ' -+ 6 при и ~ оо. 27г И= — п Здесь о — тот элемент пространства Р'(Г), действие которого на функцию р Е Р(Г) определено соотношением 6(р) = р(0). Ь) Если ~ Е Е(Г), то коэффициенты Фурье функции ~ по системе (е'"'), определенные стандартным образом, можно записать в виде 2~г с~(~) = — ~(з)е ' 'Оз = — Де ' '). 27г 27г По аналогии определим теперь коэффициенты Фурье с~~К) любой обобщенной функции Г Е Р'(Г) формулой с~(Г) = ~-Р(е '~'), имеющей смысл, поскольку е '"' Е Р(Г).
Так любой обобщенной функции Г Е Р'(Г) сопоставляется ее ряд Фурье г' ~» с~(Е)е' '. Покажите, что 6 ~, ~~-е'"'. с) Докажите следующий замечательный по своей простоте и открывающейся свободе действий факт: ряд Фурье любой обобщенной функции Г Е е Р'(Г) сходится к Е (в смысле сходимости в пространстве '0'(Г)). а) Используя то обстоятельство, что для любой функции <р Е С~~>(Г) по теореме 5 на Г справедливо соотношение р(з) = ~~, с~(р)е'~' и, в частности, равенство р(0) = ~~, с~(р), покажите, что в смысле сходимости в пространстве обобщенных функций Р'(Г) ГЛ ХЧП1 РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 658 Й) Покажите, что ряд Фурье функции Г Е Ю'(Г) (как и сама функция Е и как любой сходящийся ряд обобщенных функций) можно дифференцировать почленно любое число раз е) Исходя из равенства о = ~; ~~-е'~', найдите ряд Фурье функции 6' 1) Вернемся теперь с окружности Г на прямую К и рассмотрим функции е'"' как регулярные обобщенные функции пространства Р'(К) (т е как линейные непрерывные функционалы на пространстве Ю(К) финитных на К функций класса Со~ ) (К)) Любая локально интегрируемая функция 1" может рассматриваться как элемент пространства Р'(К) (регулярная обобщенная функция из Ю'(К)), действУющий на фУнкции Р Е Со ~(К,С) по законУ ~(Р) = 1 1(х)Р(х) их Сходимость в Ю'(К) определяется стандартным образом (1~т Р =Р) = Чую Р(И) (11т Р„~~р) = Р(р)) Покажите, что в смысле сходимости в Ю'(К) справедливо следующее ра- венство ~с (:О ег"~ — ~ о(х 2л.к) 27г ~ 3.
Преобразование <Фурье 1. Представление функции интегралом Фурье а. Спектр и гармонический анализ функции. Пусть ~(1) 1 Т-периодическая функция, например, периодическии сигнал частоты как функция времени Будем считать, что функция 1 абсолютно интегрируема на периоде Раскладывая 1 в ряд Фурье (в случае достаточной регулярности ~ ряд Фурье, как известно, сходится к 1') и преобразо- в обеих частях которого подразумевается предельный переход при и ~ сс П по симметричным частичным суммам ~~ '„а о(х — хо), как всегда, обозначает — П сдвинутую в точку хо о-функцию пространства 2У(К), т е о(х — хо)(р) = = р(хо) ~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б59 вывая этот ряд 7(Ь) = д- ~ол(Я~ сояуюоу д-Ьл(Д я!нуюоу = ао(У) /с=1 сл(Деи~л~ = со д-2 ~ /се/ соя(уюоу д- агу се), (Ц 7ф = ~ еле™~ в следующем виде: ДГ) = ~ (сл — ) е' г (2) где 1 сааб = — ~(~)е ' "~сИ 21 22 — 4574 получаем представление ~ в виде суммы постоянного члена ~~в = со— среднего значения ~ по периоду и синусоидальных компонент с частотами ио = — (основная частота), 217о (вторая гармоническая ча- 1 стотоГ, и т.д.
Вообще Й-л еормоноческоя компонента 2~се~ соя(й~~~удд-алисе) сигнала 7гг) имеет часгаоту йоо = т, круговую частоту Уб Ьюо = 2пуоо = у~у, омплотуду 2~се~ = ~ало-Ьл и фазу алисе = — ахсФД -~-. Ь Разложение периодической функции (сигнала) в сумму простых гармонических колебаний называют гармоническим анализом функции ~. числа (сааб(У); й е .Ц или (ао(~), а12(~), б~б(~); Й е и) называют спектром функции (сигнала) ~. Периодическая функция, таким образом, имеет дискретный спектр. Прикинем (на эвристическом уровне), что произойдет с разложением (1) при неограниченном увеличении периода Т сигнала ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
