Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 116
Текст из файла (страница 116)
~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 683 (36) которое получается из равенства (33), если положить там х = О. Основ- ное равенство Парсеваля (34) получается из соотношения (36), если в нем вместо д написать д и воспользоваться тем, что (д) = д (ибо ~р = ~р ид=д). Е. Преобразование <Фурье и свертка. Имеют место следующие важные соотношения: (называемые иногда формулами Бореля), которые связывают операции свертки и умножения функций посредством преобразования Фурье.
Докажем эти формулы: 1 — г(~,у) у ( ) — г(~,и) (2 7~) п/2 Щгг ~п д(у)е — гЯУ)~Я Ду (2~г)п/2Д~)д(~) Законность проведенного изменения порядка интегрирования не вызывает сомнений, если /, д Е Я. Формула (38) может быть получена аналогичной выкладкой, если воспользоваться формулой обращения (32). Впрочем, равенство (38) Равенством Парсеваля иногда называют также соотношение ~(~)д(~) с~~ = /'(х)д(х) Ох, (~фд)(2~)п/2 ~д У д) (2,д.) — и/2~ ф д «(У*д) = 1 (2у) п/2 (~ ~ д)(х) е г(~'*) с~х = /'(х — у)д(у) Оу е '(~'*) Ох = (27~)п/2 / Щи Щгг 1 д(у)е г(~'у) ~(х — у)е г(~'* у) с~х с~у = (2у) п/2 (37) (38) ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 684 можно вывести из уже доказанного соотношения (37), если вспомнить, что 1 = 1 = 1, 1 = 1, 1 = 1 и что и о = Б Р, и ~ о = Б ~ Р.
~ Замечание 6. Если в формулы (37), (38) подставить 1 и д вместо 1' и д и применить к обеим частям полученных равенств обратное преобразование Фурье, то придем к соотношениям д = (2т) "~~(1 * д), 1 *д = (2т)"~~(~. д). (37') (38') 4. Примеры приложений. Продемонстрируем теперь преобразование Фурье (и отчасти аппарат рядов Фурье) в работе. а. Волновое уравнение. Успешное использование преобразования Фурье в уравнениях математической физики связано (в математическом отношении) прежде всего с тем, что преобразование Фурье заменяет операцию дифференцирования алгебраической операцией умножения.
Пусть, например, ищется функция и: К -+ К, удовлетворяющая уравнению ахи("~ (х) + а1и(" ~ (х) +... + а„,и(х) = 1 (х), где ао,...,а„постоянные коэффициенты, а 1 — известная функция. Применяя к обеим частям этого равенства преобразование Фурье (в предположения достаточной регулярности функций и и 1), благодаря соотношению (28) получим алгебраическое уравнение (аОЯ)" + а1Я)" +... + а„)й(~) = 1 (~) ди ди — =а (а) О) д~2 дх2 и начальным условиям ди и(х, О) = 1 (х), — (х, О) = д(х).
относительно й. Найдя из него й(~) = Р ~, обратным преобразованием Р~ь~) ' Фурье получаем и(х). Применим эту идею к отысканию функции и = и(х, 8), удовлетворяющей в 2 х 2 одномерному волновому уравнению 685 ~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Здесь и в следующем примере мы не будем останавливаться на обосновании промежуточных выкладок, потому что, как правило, легче бывает найти нужную функцию и непосредственно проверить, что она решает поставленную задачу, чем обосновать и преодолеть все возникающие по дороге технические трудности. Существенную роль в принципиальной борьбе с этими трудностями, кстати, играют обобщенные функции, о чем уже упоминалось.
Итак, рассматривая 8 как параметр, сделаем преобразование Фурье по х обеих частей нашего уравнения. Тогда, считая возможным выносить дифференцирование по параметру 8 за знак интеграла, с одной стороны, и, пользуясь формулой (28), с другой стороны, получим й" ф1) = — а ~ Й(~,8), откуда находим Й(~, 1) = А(~) сов а~8+ В® ип а~8. В силу начальных данных й(~,0) = Д~) = А(,~), й~®0) = (и~~)(~,0) = д(() = а~В®.
Таким образом, Й©1) = Я)сова~8+ япа~8= дЫ) . а~ — 1И0 Я)( га~ + — га~8) + . ~ га~$ — га~1) 2 2 га~ Домножая это равенство на — е'*~ и интегрируя по ~, короче, взяв ~2т обратное преобразование Фурье и используя формулу (28), непосредственно получаем 1 1 и(х, ~) = — (Дх — а1) + Дх + а$)) + — (д(х — ат) + д(х + ат)) йт. 2 2 ГЛ.
ХЪ'1П. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 686 Ь. Уравнение теплопроводности. Еще один элемент аппарата преобразований Фурье (а именно формулы (37'), (38')), оставшийся в тени при рассмотрении предыдущего примера, хорошо проявляется при отыскании функции и = и(х, 8), х Е ~", 8 ) О, удовлетворяющей во всем пространстве ~" уравнению теплопроводности — =а Ьи (а)0) дИ 2 д8 и начальному условию и(х, 0) = 1 (х). д2 д2 Здесь, как всегда, Ь = +... + дх~~ дх~ Выполнив преобразование Фурье по переменной х Е ~", получим в силу (28) обыкновенное уравнение — ® 8) = а (г) ф +... + ~„)Й(~, 8), из которого следует, что Й(~, 8) = с(~)е ' ~~~ ', где ф~ = Я +... + Я.
Учитывая, что Й(~, О) = Д(,~), находим Й(~, 8) = Д(~) е ' ~~~ Применяя обратное преобразование Фурье, с учетом соотношения (37') получаем и(х, 8) = (2т) "~~ 1 (у) Ер(у — х, ~) ду, Полагая Е(х,й) = (2т) "~~Ею(х,й), находим уже знакомое нам (см. гл. ХЧ11, 8 4, пример 15) фундаментальное решение ~2 Е(х, Х) = (2а~/я1) "е 4 ~а (й ) 0) где Ео(х, ~) та функция, преобразованием Фурье которой по х полу- (~2 2~ чается функция е ~ ~~~ ~.
Обратное преобразование Фурье по ~ функции е ~ ~~~ ~, в сущности, нам уже известно из примера 10. Сделав очевидную замену переменной, найдем 687 ~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ уравнения теплопроводности и формулу и(х, 8) = (~ * Е) (х, 8) для решения, удовлетворяющего начальному условию и(х, О) = ~(х).
с. <формула Пуассона. Так называется следующее соотношение: ч'2х ~ ~р(2хп) = 2 Дп) (39) между функцией у: 2 -+ С (пусть гр Е Я) и ее преобразованием Фу- рье у. Формула (40) получается при х = 0 из равенства уегх 2 ~а(х ~- 2хп) = 2 Дп)еее, (40) которое мы и докажем, считая, что гр быстро убывающая функция. ~ Поскольку гр, гр Е Я, ряды в обеих частях равенства (40) сходятся абсолютно (поэтому их можно сумммировать как угодно) и равномерно по х на всей прямой К.
Далее, поскольку производные быстро убывающей функции сами являются функциями класса Я, то можно заключить, что функция 1 (х) = 2' гр(х + 2тп) принадлежит классу С(ОО1(к, С). Функция ~, очевидно, 22г-периодическая. Пусть (сгг®) ее коэффици1 гйх. енты Фурье по ортонормированнои системе ~ — е; й Е Ж . Тогда 1 ~22г 22г 22г 1 се(Ш:= ~(х)е '~ Ых = ~ ~о(х ~-2хп)е ™ х = ~/2т 0 0 22г(гг+1) ОО ОΠ— гйх гр(Х)е гггх с~Х = ~р(Х)е гггх с~Х =: у( ).
~/2~г ~Г2~г гг= — ОО 22ггг — ОО Но ~ гладкая 22г-периодическая функция, поэтому ее ряд Фурье сходится к ней в любой точке х Е 2. Значит, в любой точке х е 2 справедливо соотношение ОО гггх ~о(х ~-2хп) = ~(х) = ~ се(Д = ~ Дп)~е™. ~ гг= — ОО П: — ОО гг= — ОО ГЛ. ХЪ'П1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 688 с1. Теорема Котельникова1~. Этот пример, основанный, как и предыдущий, на красивом комбинировании ряда и интеграла Фурье, имеет прямое отношение к теории передачи информации по каналу связи. Чтобы он не показался искусственным, напомним, что в силу ограниченных возможностей наших органов чувств мы способны воспринимать сигналы только в определенном диапазоне частот. Например, ухо «слышит» в диапазоне от 20 герц до 20 килогерц.
Таким образом, какие бы ни были сигналы, мы, подобно фильтру (см. п. 1), вырезаем только ограниченную часть их спектра и воспринимаем их как сигналы с финитным спектром. Будем поэтому сразу считать, что передаваемый или получаемый нами сигнал Д8) (где 8 время, — оо ( 8 ( оо) имеет финитный спектр, отличный от нуля лишь для частот ш, величина которых не превышает некоторого критического значения а > О. Итак, Дш) = 0 при Ц > а, поэтому представление У (Р) У (~ ~) егы1 Д~ ~ ~/2~г для функции с финитным спектром сводится к интегралу лишь по про- межутку [ — а, а~: а ~(8) = Дш)е'~ Йш.
~/2~г — а (41) На отрезке [ — а, а~ функцию ~(ш) разложим в ряд Фурье Дш) = 2 с~(Де' (42) '~В. А. Котельников (род. 1908) — советский ученый, известный специалист в теории радиосвязи. Замечание 7. Как видно из доказательства, соотношения (39), (40) справедливы далеко не только для функции класса Я. Но если все же ~р Е Я, то равенство (40) можно сколько угодно раз дифференцировать почленно по аргументу х, получая как следствие новые соотношения между ~р, у', ... и у.
~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 689 по системе е';Й Е Ж, ортогональной и полной на этом отрезке. Учитывая формулу (41), для коэффициентов с~ (~) этого ряда получаем следующее простое выражение: а 1 ",ж~ ~(2~г г т с~(~):= — Дш)е ' а сЫ = ~ — — Й 2а 2а а ) — а (43) Подставляя ряд (42) в интеграл (41), с учетом соотношений (43) находим со а — ~( — Й) /е ( )Йы, й= — со Вычислив эти элементарные интегралы, приходим к формуле Ко- тельникова (~г ) в~па (1 — —,Й) а а (8 — — "й) (44) Замечание 8. Сама по себе интерполяционная формула (44) была известна в математике еще до работы В. А. Котельникова (1933 г.).
Но в этой работе впервые было указано фундаментальное значение разложения (44) для теории передачи непрерывных сообщений по каналу связи. Изложенная выше идея вывода формулы (44) также принадлежит В. А. Котельникову. Замечание 9. Реально время передачи и приема сообщения ограничено, поэтому вместо всего ряда (44) берут некоторую его частичную Формула (44) показывает, что для восстановления сообщения, описываемого функцией Д8) с финитным спектром, сосредоточенным в полосе частот Ц < а, достаточно передать по каналу связи лишь значения ~(ЙЬ) (называемые отсчетными значениями) данной функции через равные промежутки времени Ь = ~г/а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
