Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Линейное пространство таких функционалов (сопряженное к пространству Я) обозначают символом Я'. Значение функционала Е Е Я' на функции ~р Е Я будем записывать символом Е(~р). а) Пусть Р: К" -+ С вЂ” полином от п переменных, а ~: К" ~ С вЂ” локально интегрируемая функция, допускающая на бесконечности оценку ~~(х) ~ < < ~Р(х)~ (т.е., быть может, растущая при х ~ оо, но умеренно: не быстрее, чем степенным образом). Покажите, что тогда ~ можно считать ~регулярным) элементом пространства Я', если положить ГЛ. ХЧ111.
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 696 Покажите теперь, что при корректном отыскании преобразования Фурье обобщенной функции д е У(К"), т. е., исходя из равенства д(~р) = д(~р), получается (то же самое), что д(~р) = ~р(0) = — ~ — -~. Итак, ржбр~~~жж урне д-функции есть постоянная функция. (Можно перенормировать преобразование Фурье так, чтобы эта константа была равна единице, см задачу 10.) 1') Сходимость в Я', как всегда в обобщенных функциях, понимается в следующем смысле: (Х"„~ Е в У при и -+ оо):= (Юр Е Я~Х"„(~р) ~ Е(~р) при Проверьте формулу обращения (интеграл Фурье) для б-функции: ~) Пусть д(х — хв) как обычно, означает сдвиг д-функции в точку хв, т.
е. х хв„ д(х — хв)(<р) = <р(хв). Проверьте, что ряд ОО И д(х — и) = 1пп ~ ~д(х — и) и= — со — И Покажите, что это определение корректно, т. е. если Е Е 5', 5' тоиР~РЕЯ' при любом неотрицательном целочисленном мультииндексе а = (а~,..., а„). й) Если 1 и ~р достаточно регулярные функции (например, класса Я), то, как видно из соотношения (36), имеет место равенство Др) = ~(х)~р(х) Их = Дх)~р(х) дх = ДД.
ип ип Это равенство (Парсеваля) и кладут в основу определения преобразования Фурье Е обобщенной функции Е Е Я', полагая по определению, что Е(~р):= Благодаря инвариантности пространства Я относительно преобразования Фурье, это определение корректно для любого элемента Е Е Я. Покажите, что оно не является корректным для обобщенных функций пространства Ю'(К"), действующих на пространстве Р(К") гладких финитных функций. Именно этим обстоятельством и объясняется роль пространства Я Шварца в теории преобразования Фурье и его применении к обобщенным функциям.
е) В задаче 7 мы получили начальное представление о преобразовании Фурье д-функции. Преобразование Фурье д-функции можно было бы наивно искать прямо по общему определению преобразования Фурье регулярной функции. Тогда мы нашли бы, что 1 Б(~) = ( ~ д(х)е '~~' ~ Их = ( щп 697 ~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ сходится в пространстве Я'(К), (здесь о Е Я'(К) и п Е Ж).
и) Используя возможность почленно дифференцировать сходящийся ряд обобщенных функций и учитывая равенство из задачи 131, ~ 2, покажите, что если Е = ~~, д(х — и), то Е = ~(2~г ~ д(х — 2ти). ~) Используя соотношение Е(~р) = Е(р), получите из предыдущего результата формулу Пуассона (39). ~) Докажите следующее соотношение (О-формула) — Со о= — оо о= — оо играющее важную роль в теории эллиптических функции и теории теплопроводности.
10. Если преобразование Фурье У [Я функции ~: К ~ С определить формулой ~(~) . Я-У~(~) . ~(~)е — 2тги Ц~ то многие относящиеся к преобразованию Фурье формулы станут особенно простыми и изящными. а) Проверьте, что Ди) = ~ ~ (ф. Ь) Покажите, что У[У[Д(Е) = ~( — й), т.е. ~(~) = У(и)е " сЬ. Это наиболее естественная форма разложения ~(1) по гармоникам различных частот и, а Ди) в этом разложении есть частотный спектр функции ~. с) Проверьте, что о = 1 и 1 = о.
й) Убедитесь в том, что формула Пуассона (39) теперь принимает особенно изящный вид ~р(п) = ~ ф(и). ГЛАВА Х1Х АСИМПТОТИ'ВЕСКИЕ РАЗЛО'~КЕНИЯ Большинство явлений, с которыми нам приходится сталкиваться, в математическом отношении характеризуется некоторым набором числовых параметров с довольно сложной зависимостью между ними. Однако описание явления, как правило, существенно упрощается, если известно, что некоторые из этих параметров или их комбинации очень велики или, наоборот, очень малы. Пример 1.
При описании относительных движений, происходящих со скоростями о, много меньшими скорости света (~о~ (( с), вместо преобразований Лоренца (гл. 1, ~ 3, пример 3) можно использовать преобразования Галилея х =х — И, поскольку о/с = О. Пример 2. Период ~г/2 колебаний маятника через параметр Й~ = яп~ ф связан с углом ~р0 максимального отклонения маятника от положения устойчивого равно- ГЛ.
Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 699 весия (см. гл. Ч1, ~ 4). Если колебания малы, т. е. ~р0 = О, то для периода таких колебаний получается простая формула Т = 27г Пример 3. Пусть на частицу массы т действует возвращающая ее в положение равновесия сила, пропорциональная величине отклонения (пружина с коэффициентом жесткости Й), и сила сопротивления среды, пропорциональная (с коэффициентом с~) квадрату скорости частицы.
Уравнение движения в этом случае имеет вид (см. гл. »', ~ б) тх + с~х + Йх = О. Если среда «разрежается», то с~ — » О и, надо полагать, движение становится близким к описываемому уравнением тх+Йх = О (гармонические колебания частоты ~~ — ), а если среда «густеет», то /а а ~ оо и, поделив на а, получаем в пределе уравнение х = О, т.е. 2 х(1): — сопят.
Пример 4. Если 7г(х) количество простых чисел, не превосходящих х Е К, то, как известно (см. гл. 111, ~ 2), при больших значениях х величину 7г(х) с малой относительной погрешностью можно находить по формуле х 7г(х) = 1пх Пример 5. Куда более тривиальными, но не менее важными являются соотношения япх = х или 1п(1+ х) = х, относительная погрешность в которых тем меньше, чем ближе х к нулю (см. гл, У, ~ 3). Эти соотношения при желании могут быть уточнены, 2 япх = х — — х, 1п(1+ х) = х — — х, 3! 2 приписыванием одного или более следующих членов, .получаемых по формуле Тейлора.
ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 700 Итак, задача состоит в том, чтобы найти обозримое, удобное и в существенном правильное описание изучаемого явления, используя специфику ситуации, возникающей, когда какой-то характеризующий явление параметр (или комбинация параметров) мал (стремится к нулю) или, наоборот, велик (стремится к бесконечности). Значит, по существу речь снова идет о теории предельного перехо- да. Задачи такого рода называются асимптотическими. Они возникают, как можно понять, практически во всех отделах математики и естествознания. Решение асимптотической задачи обычно состоит из следующих этапов: выполнение предельного перехода и отыскание (главного члена) асимптотики,т.е. удобного упрощенного описания явления; оценка погрешности, возникающей при использовании найденной асимптотической формулы, и выяснение области ее применимости; уточнение главного члена асимптотики, аналогичное (но далеко не всегда столь алгоритмичное) процессу дописывания следующего члена в формуле Тейлора.
Методы решения асимптотических задач (называемые асимптотическими методами) обычно весьма тесно связаны со спецификой задачи. К числу редких достаточно общих и в то же время элементарных асимптотических методов, конечно, относится формула Тейлора— одно из наиболее важных соотношений дифференциального исчисления. Эта глава должна дать читателю начальные представления об элементарных асимптотических методах анализа. В первом параграфе мы введем общие понятия и определения, относящиеся к элементарным асимптотическим методам, а во втором используем их при изложении метода Лапласа построения асимптотического разложения интегралов Лапласа. Этот метод, найденный Лапласом в его исследованиях по предельным теоремам теории вероятностей, является важнейшей составной частью развитого впоследствии Риманом метода перевала, излагаемого обычно в курсе комплексного анализа. Дальнейшие сведения о различных асимптотических методах анализа можно найти в специальных книгах, цитированных в списке литературы.
В них также имеется обширная бибилиография, относящаяся к этому кругу вопросов. ~1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 701 ~ 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд 1. Основные определения а. Асимптотические оценки и асимптотические равенства. Начнем для полноты с некоторых напоминаний и пояснений. Определение 1.
Пусть ~: Х -+ У и д: Х -+ У вещественно-, комплексно- или вообще векторнозначные (в соответствии с природой множества У) функции, определенные на множестве Х, и пусть В— база в Х. Тогда соотношения ~ = 0(д) или ~(х) = 0(д(х)) х Е Х, ~ = 0(д) или ~(х) = 0(д(х)) при базе В, ~ = о(д) или ~(х) = о(д(х)) при базе В означают по определению, что в равенстве ~~(х)~ = с~(х)~д(х)~ вещественная функция а(х) является, соответственно, ограниченной на Х, финально ограниченной при базе В и бесконечно малой при базе В. Эти соотношения обычно называют асимптотическими оценками (функции ~).
Соотношение ~ — д или ~(х) д(х) при базе В, по определению означающее, что ~(х) = д(х) + о(д(х)) при базе В, называют обычно асимптотической эквивалентностью или асимптотическим равенствомЦ указанных функций при базе В. Асимптотические оценки и асимптотические равенства объединяют термином асимптотические формулы. Там, где указание аргумента функции несущественно, принята сокращенная форма обозначений ~ = о(д), ~ = О(д), или ~ д, которой мы уже систематически пользовались.
Если ~ = О(д) и одновременно д = 0(~), то пишут ~ = д и говорят, что ~ и д — величины однозо порядка при данной базе. В наших дальнейших рассмотрениях У = С или У = 2; Х с С, или Х С 2; В, как правило, одна из баз Х Э х -+ О или Х Э х — ~ оо.
ц Полезно иметь в виду также часто употребляемыи для обозначения асимптотических равенств символ ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 702 Используя введенные обозначения, можно, в частности, написать, что соя х = 0(1), х б К, сов я ф 0(1), я Е С, 1пе' = 1+ г+ о(г) при г — ~ О, (1+ х) = 1+ с~х+ о(х) при х — ~ О, х гх~ 7г(х) = — + о ~ ) при х — ~ +ос, 1пх 1пх 2ЕС, хай, хай. Замечание 1. По поводу асимптотических равенств полезно заметить, что они являются всего лишь предельными соотношениями, использование которых в вычислительных целях возможно, но после дополнительной работы, связанной с оценкой остатка.
Об этом мы уже говорили, обсуждая формулу Тейлора. Кроме того, надо иметь в виду, что асимптотическая эквивалентность, вообще говоря, позволяет проводить вычисления с малой относительной, но не малой абсолютной погрешностью. Так, например, при х — ~ +ос разность 7г(х) — ~-*-- не стремится к нулю, поскольку при каждом значении х, являющемся простым числом, функция 7г(х) имеет единичный скачок. Вместе с тем, относительная погрешность от замены 7г(х) на à — стремится к нулю: пх '"~' -~ О при х -++ос.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
