Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Остается найти асимптотику получаемого канонического интеграла, что делается без особого труда. В последовательном выполнении этих этапов и состоит по существу метод Лапласа отыскания асимптотики интеграла. ~2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 721 где у(л, д) = ~/ — — ~~д — ~ -~-оо при л — > -~-оо. Учитывая,что находим теперь главный член асимптотики интеграла Лапласа в рас- сматриваемом случае: Дхю) е~~~*') при Л вЂ” + +оо. Р(Л)- Пример 5.
Если хю = а, но Я'(хо) = О и У'(хю) ( О, то, рассуждая, как и в примере 4, на сей раз получим, что а+я (Л) ' ~( ) Л~~~) Д ~(хо) Л~~~') и, значит, 1 Р(Л) 2 Дхю) е~~~*') при Л вЂ” + +оо. 14) Мы получили на эвристическом уровне три наиболее употребительные формулы (2) — (4), относящиеся к асимптотике интеграла (1) Лапласа.
Из приведенных рассмотрений ясно, что метод Лапласа с успехом можно использовать при исследовании асимптотики любого интеграла (5) Х если: а) для этого интеграла имеет место принцип локализации (т.е. весь интеграл можно заменить эквивалентным ему при Л вЂ” э +оо интегралом, взятым по сколь угодно малым окрестностям некоторых выделенных точек) и Ь) если в локализованном интеграле подынтегральную функцию удается заменить более простой, для которой асимптотика, с одной стороны, совпадает с искомой, а с другой стороны, легко нахо- дится.
ГЛ, Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 722 Если, например, в интеграле (1) функция Я(х) имеет на отрезке [а, Ь') несколько точек локального максимума хо, х1,..., х„, то, используя аддитивность интеграла, заменим его с малой относительной погрешностью суммой таких же интегралов, но взятых по столь малым окрестностям У(х~) точек максимума хо, х1,..., х„, что в них содержится только по одной такой точке. Асимптотика интеграла Г ~(х)е~~~*) дх при Л вЂ” + +ос, У(х~) как уже говорилось, не зависит от величины самой окрестности У(х ), и потому асимптотическое разложение этого интеграла при Л -+ +ос обозначают символом Р(Л,х ) и называют вкладом точки х в асимптотику интеграла (1).
2. Принцип локализации для интеграла Лапласа Лемма 1 (об экспоненциальной оценке). Пусть М = япр Я(х) < а<х<Ь < оо, и пусть при некотором значении Лв > О интеграл (1) сходится абсолютно. Тогда он сходится абсолютно при любом Л > Ло, и при таких значениях Л справедлива оценка ~~Р)~ < ~У~ ) ЛЯ(х)~ 1 < 1 ЛМ а (6) Принцип локализации в его общей формулировке, таким образом, означает, что асимптотика интеграла (5) получается как сумма Р(Л,х~) вкладов всех критических в том или ином отношении тоз чек подынтегральной функции. Для интеграла (1) это точки максимума функции Я(х) и, как видно из формул (2) — (4), основной вклад вносят только те точки локального максимума, в которых достигается значение абсолютного максимума функции Я(х) на отрезке [а, Ь].
В следующих пунктах этого параграфа мы разовьем высказанные здесь общие соображения и затем рассмотрим некоторые полезные приложения метода Лапласа. Для многих приложений изложенного уже достаточно. Ниже будет также показано, как получать не только главный член асимптотики, но и весь асимптотический ряд. 1 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 723 где А Е К. ~ Действительно, при Л > Лв Ь У(х)е (*) а х Ь У'( ) Лой~) (Л вЂ” Ло)Я~) д ~Р(Л)/ = Ь Ь < е(Л вЂ” Л0) )~(х)еЛ0~(~)~ дх е — ~0М )У(х)еЛОЯ(х)~ дх еЛМ > ВеЛ(~( 0) ') (7) У~(~0) с постоянной В > О, справедливая при Л > п~ах1Л0,0). ~ При фиксированном е > 0 возьмем любую окрестность Уу(х0), в пределах которой ~Дх) ~ > ~~~Дхв) ~ и Я(хв) — е < Я(х) < Я(х0).
Считая ~ вещественнозначной, можем заключить теперь, что в пределах У~(х) значения функции ~ одного знака. Это позволяет при Л > п~ах1Л0,0) записать, что 0~ (то) У~(~0) > ~У(хб) ~еЛ(Я(то) ~) Йх = ВеЛ(Я(то) — ~) 1 2 У~(т0) утверждение 1 (принцип локализации). Пусть интеграл (1) сходится абсолютно при некотором значении Л = Л0, и пусть вну- Лемма 2 ~об оценке вклада точки максимума). Пусть интеграл (1) сходится абсолютно при некотором значении Л = Л0, и пусть внутри или на границе промежутка 1 интегрирования нашлась такая точка х0, в которой Я(хв) = впр Я(х) = М.
Если функции Дх) и а<т<Ь Я(х) непрерывны в точке хв, причем У(хв) ~ О, то для любого е > 0 и любой достаточно малой окрестности Ю~(хв) точки хв в 1 имеет место оценка ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 724 три или на границе промежутка 1 интегрирования функция Я(х) име- ет единственную точку хо абсолютного максимума, т. е. вне любой окрестности У(хо) точки хо впр Я(х) < Я(хо). 1~У(хо) Если при этом функции Дх), Я(х) непрерывны в точке хо и Дхо) ф ~0, то Р(Л) = Р~~,(хо)(Л)(1+ 0(Л )) при Л -++оо, где У~(хо) — произвольная окрестность хо в 1, (8) Р~~,(х,) (Л):= Дх) е~~(*) ах, Уу(хо) а 0(Л оо) — функция, которая есть о(Л ") при Л -+ +со и любом и е Е И. ° Из леммы 2 следует, что если окрестность У~(хо) достаточно мала, то каково бы ни было число е > 0 при Л -+ +со финально выполняется неравенство (Л) ~ > Л(Я(хо) — ~) (9) Вместе с тем в силу леммы 1 для любой окрестности У(хо) точки хо справедлива оценка (х)~елЯ(х) .~х < Ае /4 при Л ~ +оо ~~У(хо) (10) и, сославшись на оценки (9), (10), заключить о справедливости соотно- шения (8).
~ где А > 0 и р = впр Я(х) < Я(хо). хЕ1~У(хо) Сопоставляя зту оценку с неравенством (9), легко заключить, что неравенство (9) имеет место финально при Л -+ +со для любой окрестности У~(хо) точки хо. Теперь остается написать,что ~ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 725 3. Канонические интегралы и их асимптотика Лемма 3 (о каноническом виде функции в окрестности критической точки). Если вещественнозначная функция Я(х) в окрестности (полуокрестности) точки хо Е К принадлежит классу еладкости С("+~), причем Я(х)=...=Ф" 1)(х)=0, Я®(х)~0, а Й Е И или Й = оо, то существуют такие окрестности (полу- окрестности) 1 точки хо, 1д точки О в К и такой диффеоморфизм <р Е С®(1д, 1 ), что Я(<р(у)) = Я(хо) + ву", ковда У Е 1д и в = вяни")(хо).
При зтом 1/и ср(О) = хо и ср'(О) = 1~®(хо)! ~ Воспользовавшись формулой Тейлора с интегральным видом ос- татка Я(х) = Я(хо)+ Я®(хо+ 8(х — хо))(1 — Ф)"- М, (х — хо)" и — 1 (и — 1)! представим разность Я(х) — Я(хо) в виде Я(х) — Я(хо) = (х — хо)™т(х), где функция 1 т(х) = Я®(хо+8(х — хо))(1 — ~)" 1М (и — 1)! Итак, установлено, что с относительной погрешностью порядка 0(Л ~) при Л -+ +со можно, описывая асимптотику интеграла Лапласа (1), заменить его интегралом по сколь угодно малой окрестности У~(хо) точки хо абсолютного максимума функции Я(х) на промежутке интегрирования 1.
~ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 727 условия леммы 3. Сделав замену переменной х = <р(у), получим )елЯ(х)дх~(д(у))д(у)елфс~уелЯ(хо) Знак минус в показателе ( — Лу") связан с тем, что по условию хо —— = ~р(О) есть точка максимума. ~ а К(Л) = х~ ~Ях)е ~~ ах О (12) при Л вЂ” ~ +со справедливы следующие утверждения: а) Главный член асимптотики интеграла (12) имеет вид (13) если известно, что Дх) = ДО) + 0(х) при х -+ О. Ь) Если ~(х) = ао + а1х +... + а„х" + 0(х"+ ) при х — ~ О, то (14) с) Если ~ — бесконечно дифференцируема при х = О, то имеет место асимптотическое разложение (15) которое можно дифференцировать по Л любое число раз.
~ Представим интеграл (12) в виде суммы интегралов по промежуткам )О, е~ и [е, а[, где е сколь угодно малое положительное число. ЦДЖ. Н. Ватсон (Уотсон) (1886 — 1965) — английский математик. Асимптотику канонических интегралов, к которым в основных случаях приводится интеграл Лапласа (1), дает Лемма 4 (Ватсон~)). Пусть а > О,,В > О, 0 < а < оо и ~ Е Е С([0, а~, К). Тогда относительно асимптотики интеграла ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 728 По лемме 1 а ХΠ— 1у~Х)Š— Лх д Е < Ае л = 0(Л ~) при Л вЂ” ~ +со, поэтому Ю(Л) = х~ ~Дх)е лх Нх+ 0(Л ~) при Л -++оо.
О В случае Ь) Дх) = ~, а~,х" + т„(х), где т„Е С[0, е] и ~т„,,(х) ! < Сх"+ й=О на отрезке [О, е~. Значит, И Е и~(л) = 2 а~ / х +~ е ~* их-~-с(л) / х"~~е * их-~-о(л ~), О где с(Л) ограниченная величина при Л -+ +со. По лемме 1 при Л -+ +со й+,Π— 1 — Лх" ~ й+ — 1 — Лх" 1 + 0р — со) Но х"+~ е * Нх= — Г Л откуда теперь и следует формула (14) и ее частный случай — формула (13). Разложение (15) вытекает из равенства (14) и формулы Тейлора. Возможность дифференцировать разложение (15) по Л следует из того, что производная интеграла (12) по параметру Л есть интеграл того же типа (12) и для И~'(Л) можно в соответствии с формулой (15) предъявить в явном виде асимптотическое разложение при Л -+ +ос, совпадающее с тем, которое получается формальным дифференцированием исходного разложения (15).
~ ~ 2, АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 729 Пример 6. Рассмотрим преобразование Лапласа Р(Л) У( ) — лх уже встречавшееся нам в примере 1. Если этот интеграл сходится аб- солютно при некотором значении Л = Ло, а функция ~ бесконечно диф- ференцируема при х = О, то по формуле (15) находим, что Р(л) ~ ~~~~(0)А ~~+~~ при л -+ -~-сю. а=о 4. Главный член асимптотики интеграла Лапласа Теорема 1 (о типичном главном члене асимптотики).
ХХусть в интеграле (1) отрезок интегрирования Х = ~а,Ь) конечный, Х,Я Е Е С(Х,К) и шахЯ(х) достигается только в одной точке хо Е Х. хЕ1 ХХусть также известно, что Х (хо) ~ О, Х (х) = Дхо) + 0(х — хо) при Х Э х -+ хо, а функция Я принадлежит классу гладкости С® в окрестности точки хо. Тогда: а) если хо —— а, й = 2 и У(хо) р~ 0 (т. е. У(хо) < 0), то Р(Л) = (хо елЯ(хо)Л-1Р+0(Л-1)] ... Л, +...
(2~) — У(хо) Ь) если а < хо < Ь, й = 3 и У'(хо) ~ 0 (т. е. У (хо) < 0), то Дхо)е ~(*'~Л ~~~~1+0(Л ~~~)~ при Л -++со. (3') Р(Л) = с) если хо = а, Й = 3, У(а) = 0 и У'(а) у~ 0 (т. е. У'(а) < 0), то Р(Л) = „Дхо)е~~(*'~Л ~~~[1+0(Л ~~~)~ при Л вЂ” + +со. (4') — 2У'(хо) ~ Используя принцип локализации и делая замену переменной х = = <р(у), указанную в лемме 3, придем, согласно утверждению 2 о редукции, к следующим соотношениям: ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 730 ) р(Л) Л8(хп) / (у )®) ~( )е Лу у + О)(Л со) о Ь) Р(Л) еЛЯ(хп) /' (~ о <р)(у) рl(11)е — Л~ 4у + О(Л вЂ” сс) — Е = еЛ~(хп) /'Я о ср)(у)ср'(у) + (~ о у)( — у)ср'( — у))е Л" сну+ 0(Л ~) о с) г'(Л) — еЛЙхп) / (~ о ф®ф®е ~м ~у + О)(Л ) о Функция (~о<р) <р' при сформулированных выше требованиях удовлетворяет условиям леммы Ватсона. Остается применить лемму Ватсона (формула (14) при и = О) и вспомнить выражения для <р(0), и ~р'(О), указанные в лемме 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
