Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Пусть Х = [а, Ь] С К~, 1" Е Со )([а, Ь], К) (т. е. ~ — финитна на [а, Ь]), Я Е С~~)([а, Ь], К) и Я~(х) ф О на [О,, Ь]. Интегрируя по частям и используя лемму Римана (см. задачу 12), получаем,что Г у ~ ) гЛЯ~х) 1 ~(х) у гЛЯ(х) гЛ Я'(х) а а Ь вЂ” — — — (х) егЛЯ(х) с~х а = о(Л ") при Л -+ оо.
~2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 745 Е(Л) ~(х) еглх дх асимптотика которого описывается специальной леммой Эрдейи, имеющей для интеграла Фурье ту же роль, что и лемма Ватсона для интеграла Лапласа. Указанная схема исследования асимптотики интеграла Фурье называется методом стационарной фазы. Природа принципа локализации в методе стационарной фазы совсем иная, чем в случае интеграла Лапласа, но общая схема метода Лапласа, как видно, оказывается пригодной и здесь. Некоторые подробности, относящиеся к методу стационарной фазы, читатель найдет в задачах 12 — 17.
Задачи и упражнения Метод Лапласа в одномерном случае. 1. а) Функция 6(х) = е л* при с~ ) О достигает максимума, когда х = О. При этом 6(х) есть величина порядка 1 в о-окрестности точки х = О размера о =0(Л '~ ). Используя лемму 1, покажите, что если О ( о ( 1, то интеграл а И~(Л) = хв 'У(х)е "* сЬ, с(Л,б) б — 1 — АЛ~ где с(Л, о) = Л, имеет порядок 0(е Ал ) при Л ~ +со; А — положительная постоянная. Таким образом, если У(0) ф 0 на отрезке [а, о], то за счет все увеличивающейся при Л -+ оо частоты осцилляции функции е'л~® интеграл Фурье по отрезку [а, Ц оказывается величиной типа 0(Л ').
Функция Я(х) в интеграле Фурье называется фазовой функцией. Таким образом, для интеграла Фурье имеет место свой принцип локализации, называемый иринцииом стационарной фазы. Согласно этому принципу асимптотика интеграла Фурье (в случае ~ Е Со ) с точ( ) ностью до величины 0(Л ') при Л -+ оо совпадает с асимптотикой порции интеграла Фурье, взятой по окрестности У(хо) стационарной точки хо фазовой функции (т. е. точки хо, в которой Я'(хо) = О). После этого заменой переменной дело приводится к каноническому интегралу ГЛ.
Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 746 Ь) Докажите, что если функция ~ непрерывна при х = О, то Ж(Л) = а ~Гф/а) [~(0) + о(1)]Л ~~~ при Л ~ +оо. с) В теореме 1,а), условие ~(х) = ~(хо) + 0(х — хо) можно ослабить, заменив его условием непрерывности ~ в точке хо. Покажите, что при этом сохраняется тот же главный член асимптотики, но, вообще говоря, не само равенство (2'), в котором теперь 0(х — хо) заменяется на о(1). 2.
а) Числа Бернулли Вг~ определяются из соотношения 1 1 1 ~ Вг~ — — — — — ф <2т. 1 — е — ' 2 ~- (2й)! й=1 Известно,что — (х) = 1пх+ — —, е '*Й. о Покажите, что < Г'~ 1 ~ Вга — ) (х) = 1пх — — — ') — х при х ~ +оо. Г) 2х ~ 2й а=о Ь) Докажите, что при х ~ +оо 1пГ(х) х — — ) 1пх — х+ — 1п2т+ '> х О 1 с Вгь — гь+~ 2) 2 „~ 2й(2й — 1) Это асимптотическое разложение называется рядом Стирлинга. с) Используя ряд Стирлинга, получите первые два члена асимптотики функции Г(х+ 1) при х ~ +оо и сравните ваш результат с полученным в примере 13. д) Следуя методу примера 13 и независимо от этого пользуясь рядом Стирлинга, покажите, что ~х~х 1 Г(х+1) = 42тх ~ — ~ 1+ — + +Π— 1 при х ~+со.
И 12х 288хг хз ( 3. а) Пусть ~ Е С([О,а],К), Я Е С1Ц([О,а],К), Я(х) ) 0 на [О,а] и Я(х) достигает максимума при х = О, причем Я'(0) ф О. Покажите, что если ДО) ф фО, то 1(Л):= / Х(х)Я~(х) сЬ вЂ” Я~+ (0) при Л ~+оо. г, У(о),+, ЛР(0) о 747 ~2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) Ь) Получите асимтотическое разложение 1(Л) Я"+ (0) ~~> аВЛ ( +1) при Л ~+со, а=о если дополнительно известно, что ~, Я Е С ([О, а], К). (ОО) 4. а) Покажите, что уу/2 Г а1п" ~й = — (1+0(и 1)) при и -+ +со. 2и о Ь) Выразите этот интеграл через эйлеровы интегралы и покажите, что 2п — 1 11 уг при и Е И он равен с) Получите формулу Вклеила и = !т „— ( "„) о) Найдите второй член асимптотического разложения исходного интеграла при и ~ +со.
1 5. а) Покажите, что 1" 11 — ле1" с1л Д при и-е -рсо. — 1 Ь) Найдите следующий член асимптотики этого интеграла. 6. Покажите, что если а ) О, то при х ~ +оо +ОО Г ~2т 1 ~'1,*(И ~ — хт ехр~ — хО~. ~е е Т. а) Найдите главный член асимптотики интеграла о +ОО У 1 -й (' -У1Ф~й аа Ь) И пользуя полученный результат и тождество У-. и = ~~ е с о покажите, что У1 с~й!и = 11 — 11рОСп '11 при и -е-рсо. а=о Метод Лаиласа в мноеомерном случае. 8. Лемма об эксионенциальной оценке. Пусть М = вирЯ(х), и пусть при хек некотором значении Л = Ло интеграл ~Р(Л) Д(х) елЯ(х) Дх ~СИж ГЛ.
Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 748 сходится абсолютно. Покажите, что тогда он сходится абсолютно при Л > Л0 и йЛ)! ( !У(х)ел5(х)! Кх ( Аелм (Л > Л ) О где А — положительная постоянная. 9. Лемма Морса. Пусть хо — невырожденная критическая точка функции Я(х), х Е К", определенной и принадлежащей классу С( '~ в окрестности точки хо. Тогда существуют окрестности У и Ъ' точек х = хо, у = 0 и диффеоморфизм ~р: 1' ~ У класса С~ '~(Ъ; У) такие, что Я<Р(у)) Я~о) + ~, ~5(у ) =1 с1е$ ~р'(О) = 1, и~,..., и„— собственные числа матрицы 5,",(хо), а у = 1у',..., у") — координаты точки у Е Кк.
Докажите эту несколько конкретизированную форму леммы Морса, исходя из леммы Морса, изложенной в части 1, гл. ЧП1, 8 6. 10. Асимптотика канонического интеграла. а) Пусть | = (1~,..., 1„), Ъ' = = (8 е К" ! !8,! ( Б,з = 1,2,...,п), а е С( ~®К). Рассмотрим функцию Г~(Л,8') = ~ а(8~,...,8„)е .т '~й~, где 8' = (82,...8„), и > О. Покажите, — б что Г~(Л, 8') ~ а~(8')Л ~~~~) при Л -+ +оо; это разложение равномерно по а=о 8' Е 1"' Е (8' Е К" ~ ! !И! ( о,у = 2,...,п) и а~ е С~ ~(Г,К) при любом Й=0,1,...
Л~,. 2 Ь) Домножая Р~(Л, ~') на е ~ ~2 и обосновав законность почленного интегрирования соответствующего асимптотического разложения, получите асимптотическое разложение функции Л~ ~2 ХЪ(Л,й") = Г~(Л,й')е ~ ~~ й2 при Л ~ +оо, где Хо = (йз, й~), кг > О. с) Докажите, что для функции б б А 2 — ), и~й А(Л) = ... а(й~,...,й„)е ~=' й~,...,й„, где и > О, ~ = 1,..., и, имеет место асимптотическое разложение А(Л) Л "~~~~~ адЛ ~ при Л ~+оо, а=о ~2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 749 Г(Л) е~~~ 'о)Л "~~ ~~) аьЛ ь при Л ~ +оо, а=о причем это разложение можно дифференцировать по Л любое число раз, а его главный член имеет вид Р (Л) Лихо) Л вЂ” М2 (У(~о) + 0(Л )).
Ь) Проверьте, что если в предыдущем утверждении вместо ~,5 е С(' ) известно лишь, что ~ е С, а Я Е С в окрестности точки хо, то при Л ~+оо (з) главный член асимптотики останется тем же, с заменой 0(Л 1) на о(1) при Л -+ +со. Метод стационарной фазы в одномерном случае. 12. Обобщение леммы Римана. а) Докажите следующее обобщение леммы Римана. Пусть Я б С~1)([а, Ь], К) и У(х) ф О на [а, Ь] =: 1. Тогда для любой абсолютно интегрируемой на промежутке 1 функции ~ имеет место соотношение Г(Л) = ~(х)е'~~~х) сЬ ~ О при Л ~ оо, Л Е К.
а Ь) Проверьте, что если, сверх того, известно, что ~ Е С~"+~) (1, К), а Я е б С~"+~) (1, К), то при Л ~ оо ь + 0(Л ~~+1)). и ь Г(Л) = ~~> (гЛ) ~ + ) Р(х) <КО Я'(х) с) Выпишите главный член асимптотики функции Г(Л) при Л ~ оо, Л е К. с1) Покажите, что если Я Е С~~) (1, К), а Д~,,1 Е С~~) [а, с], Д~, ь) Е С~ ) [с, Ь], но ~ ф С~~) [а, Ь], то функция Г(Л) не обязана быть величиной о(Л 1) при Л ~ где ад = ~/~а(О). 11.
Асимптотика интеграла Лапласа в многомерном случае. а) Пусть Р— замкнутая, ограниченная область в К", ~, Я Е С(Р, К), п1ах Я(х)) дости- хЕР гается только в некоторой внутренней точке хо области Р; ~,Я Е С~~) в некоторой окрестности точки хо, причем с1е1 Я" (хо) ф О.
Докажите, что если интеграл (е) абсолютно сходится для какого-нибудь значения Л = Ло, то ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 750 е) Докажите, что когда 1, Я Е С~ '>(1, К), функция Е(Л) допускает разложение в асимптотический ряд при Л -+ оо. Г) Найдите асимптотические разложения при Л ~ оо, Л б К следующих интегралов: ](1+ х) ~ф (х,Л) сЬ, у = 1,2,3, если а > О, а ф~ — — е'~*, ф2 —— о = соя Лх, фз — — пп Лх.
13. Принцип локализации а) Пусть 1 = [а,о] С К, ~ Е Со~ (1,К), 5 Е Е С~~~(1, К) и У(х) ф 0 на 1. Докажите, что тогда 1'(Л):= Дх)е'~~~*~ сЬ = О(~Л~ ') при Л ~ оо. а Ь) Пусть ~ Е Со~ ~(1,К), Я Е С~~~(1,К); х~,...,х — конечное число стационарных точек функции Я(х), вне которых У(х) ,—Š0 на 1. Обозначим через Г(Л,х,) интеграл от функции ~(х)е'"~® по окрестности У(х,) точки х, у = 1,...,т, не содержащей в замыкании других критических точек. Докажите, что Г(Л) = ~~> Р(Л,х~) +0(]Л~ ~) при Л ~ оо.
у=~ 14. Аеимптотика интеграла Фурье в одномерном случае. а) В достаточно общей ситуации отыскание асимптотики одномерного интеграла Фурье благодаря принципу локализации сводится к описанию асимптотики канонического интеграла а Я(Л) х~ — 1 ~(х) еьлх ах для которого справедлива следующая Лемма Эрдейи.
Пусть а > 1,,8 > О, 1 Е С~~~([О,а],К) и ~®(а) = О, й = 0,1,2,... Тогда й+я Г(Л) ~~~ а~Л ~ при Л ~+оо, где причем зто разложение можно дифференцировать но Л любое число раз. Пользуясь леммой Эрдейи, докажите следующее утверждение. Пусть 1 = [хо — Б, хо+о] — конечный отрезок, 1, 5 Е С~~~ (1, К), причем 1 Е е Со(1, К), а Я имеет на 1 единственную стационарную точку хо, где Я'(хо) = 751 ~ 2 АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) = О, но Я" (хо) ф- О. Тогда при Л ~ +со хо+б Р(Л хо) Х П ) '~й')сЮ $'к в"С о)е'лвС о)Л вЂ” р~а~Л 7=О хо — б и главный член асимптотики имеет вид ~($8яп~ (хо)+л~(хо))у( ) + 0(Л 1)) Е(Л хо) Ь) Рассмотрите функцию Бесселя целого индекса 77, > О: 1 3„(х) = — / соя(хя1п~р — тир) Йр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
