Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 127
Текст из файла (страница 127)
13) 251 — 8, 10. 14) 264 †, 4. 265 †; 269 †. 15) 297 в 1; 301 в 10, 13, 14. 16) 232 в 10; 280 †. 17) 323 в 1; 324 †. 18) 336 в 1, 2, 3; 337 †; 338 †. 19) 353 †; 355 в 13, 14. 20) 354 в 11, 12. 21) 301 в 11; 324 †. 22) 324 †, 5, б. теграла от выбора параметриэации. Общее определение интеграла от дифференциальной Й-формы по Й-мерному компактному ориентированному многообразию. 15.
Формула Грина на квадрате, ее вывод, интерпретация и запись на языке интегралов от соответствующих дифференциальных форм. Общая формула Стокса. Редукция к й-мерному промежутку и доказательство для й-мерного ' промежутка. Классические интегральные формулы анализа как конкретные варианты общей формулы Стокса.
16. Форма объема в К" и на поверхности. Зависимость формы объема от ориентации. Интеграл первого рода и его независимость от ориентации. Площадь и масса материальной поверхности как интегралы первого рода. Запись формы объема Й-мерной поверхности Я~ С К" в локальных параметрах и запись формы объема гиперповерхности Я" ~ С К" в декартовых координатах объемлющего пространства. 17. Основные дифференциальные операторы теории поля (угад, го1, йч) и их связь с оператором д внешнего дифференцирования в евклидовом ориентированном пространстве 1~®. 18. Запись работы и потока поля в виде интегралов первого рода.
Основные интегральные формулы теории поля в К как векторная запись классических интегральных формул анализа. 19. Потенциальное поле и его потенциал. Точные и замкнутые формы. Дифференциальный необходимый признак точности формы и потенциальности векторного поля, его достаточность в односвяэной области. Интегральный критерий точности 1-форм и векторных полей. 20. Локальная точность замкнутой формы (лемма Пуанкаре).
Глобальный анализ. Гомологии и когомологии. Теорема де Рама (формулировка). 21. Примеры приложений формулы Стокса ~Гаусса — Остроградского): вывод основных уравнений механики сплошной среды. Физический смысл градиента, ротора и дивергенции. 22. Оператор набла Гамильтона и работа с ним. Градиент, ротор и дивергенция в триортогональных криволинейных координатах. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 111 семестр Ряды и интегралы, зависящие от параметра 1. Критерий Коши сходимости ряда.
Теорема сравнения и основные достаточные признаки сходимости (мажорантный, интегральный, Абеля — Дирихле). Ряд ~(8) = ~, и '. в=1 2. Равномерная сходимость семейств и рядов функций. Критерий Коши и основные достаточные признаки равномерной сходимости ряда функций (мажорантный, Абеля — Дирихле). 3.
Достаточные условия коммутирования двух предельных переходов. Непрерывность, интегрирование, дифференцирование и предельный переход. 4. Область сходимости и характер сходимости степенного ряда. Формула Коши — Адамара. Теорема Абеля (вторая). Тейлоровские разложения основных элементарных функций. Формула Эйлера. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. 5. Несобственный интеграл. Критерий Коши и основные достаточные признаки сходимости (мажорантный, Абеля — Дирихле).
6. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Критерий Коши и основные достаточные признаки равномерной сходимости (мажорантный, Абеля — Дирихле). 7. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование собственного интеграла, зависящего от параметра. 8. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование несобственного интеграла, зависящего от параметра. Интеграл Дирихле. 9. Эйлеровы интегралы. Области определения, дифференциальные свойства, формулы понижения, различные представления, взаимосвязь.
Интеграл Пуассона. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 759 10. Дельтаобразные семейства функций. Теорема о сходимости свертки. Классическая теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции алгебраическим многочленом. 11. Векторное пространство со скалярным произведением. Непрерывность скалярного произведения и связанные с этим его алгебраические свойства. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Теорема Пифагора. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье.
Примеры скалярных произведений и ортогональных систем в пространствах функций. 12. Лемма о перпендикуляре. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и сходимость ряда Фурье. Условия полноты ортонормированной системы. Метод наименьших квадратов. 13. Классический (тригонометрический) ряд Фурье в вещественной и комплексной форме. Лемма Римана. Принцип локализации и сходимость ряда Фурье в точке. Пример: разложение соя(ах) в ряд Фурье и разложение яп(тх)/тх в бесконечное произведение. 14. Гладкость функции, скорость убывания ее коэффициентов Фурье и скорость сходимости ее ряда Фурье. 15. Полнота тригонометрической системы и сходимость в среднем тригонометрического ряда Фурье.
16. Преобразование Фурье и интеграл Фурье (формула обращения). Пример: вычисление ~ для ~(х):= ехр( — а х ). 17. Преобразование Фурье и оператор дифференцирования. Гладкость функции и скорость убывания ее преобразования Фурье. Равенство Парсеваля. Преобразование Фурье как изометрия пространства быстро убывающих функций. 18. Преобразование Фурье и свертка. Решение одномерного уравнения теплопроводности. 19. Восстановление переданного сигнала по спектральной функции прибора и принятому сигналу. Формула Котельникова. 20. Асимптотическая последовательность и асимптотический ряд.
Пример: асимптотическое разложение функции Е1(х). Различие между сходящимися и асимптотическими рядами. Асимптотика интеграла Лапласа (главный член). Формула Стирлинга. 7бО ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 1Ч семестр Интегральное исчисление (многие переменные) 1.
Интеграл Римана на и-мерном промежутке. Критерий Лебега существования интеграла. 2. Критерий Дарбу существования интеграла от вещественнозначной функции на и-мерном промежутке. 3. Интеграл по множеству. Мера джордана множества и ее геометрический смысл. Критерий Лебега существования интеграла по измеримому множеству. Линейность и аддитивность интеграла. 4. Оценки интеграла. 5. Сведение кратного интеграла к повторному: теорема Фубини и ее важнейшие следствия. 6. Формула замены переменных в кратном интеграле.
Инвариантность меры и интеграла. 7. Несобственные кратные интегралы: основные определения, мажорантный признак сходимости, канонические интегралы. Вычисление интеграла Эйлера — Пуассона. 8. Поверхность размерности й в К" и основные способы ее задания. Абстрактное Й-мерное многообразие. Край Й-мерного многообразия как (Й вЂ” 1)-мерное многообразие без края. 9.
Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Способы задания ориентации абстрактного многообразия и (гипер)поверхности в К". Ориентируемость края ориентируемого многообразия. Согласованная ориентация многообразия и края. 10. Касательный вектор и касательное пространство к многообразию в точке. Интерпретация касательного вектора как дифференциального оператора.
11. Дифференциальная форма в области Р С К". Примеры: дифференциал функции, форма работы, форма потока. Координатная запись дифференциальной формы. Операция внешнего дифференцирования. 12. Отображение объектов и сопряженное отображение функций на этих объектах. Преобразование точек и векторов касательных пространств в этих точках при гладком отображении. Перенос функций и дифференциальных форм при гладком отображении. Рецепт выполнения переноса форм в координатном виде. 13.
Коммутирование переноса дифференциальных форм с операциями их внешнего умножения и дифференцирования. Дифференциальная форма на многообразии. Инвариантность (корректность) операций над дифференциальными формами. 14. Схема подсчета работы и потока.
Интеграл от й-формы по й-мерной гладкой ориентированной поверхности. Учет ориентации. Независимость ин- ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) 761 теграла от выбора параметризации. Общее определение интеграла от дифференциальной Й-формы по Й-мерному компактному ориентированному многообразию. 15.
Формула Грина на квадрате, ее вывод, интерпретация и запись на языке интегралов от соответствующих дифференциальных форм. Общая формула Стокса. Редукция к й-мерному промежутку и доказательство для й-мерного промежутка. Классические интегральные формулы анализа как конкретные варианты общей формулы Стокса. 16. Форма объема в К" и на поверхности.
Зависимость формы объема от ориентации. Интеграл первого рода и его независимость от ориентации. Площадь и масса материальной поверхности как интегралы первого рода. Запись формы объема й-мерной поверхности Я" С К" в локальных параметрах и запись формы объема гиперповерхности Я" С К" в декартовых координатах объемлющего пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
