Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 123
Текст из файла (страница 123)
> Итак, мы обосновали формулы (2) — (4) вместе с той замечательно простой, ясной и эффективной рецептурой,которая привела нас в разделе 1 к этим формулам. Рассмотрим некоторые примеры приложений доказанной теоремы. Пример 7. А симптотика еамма-функции. Функцию Г(Л+1) = й~е ~сЫ (Л > — 1) можно представить в виде интеграла Лапласа Г(Л+1) = е 'е ~"~сМ, и если при Л > 0 сделать замену переменной Ф = Лх, то придем к интегралу +со Г(Л + 1) ЛЛ+1 — Л(х — 1пх) который можно исследовать средствами доказанной теоремы.
Функция Я(х) = 1п х — х имеет единственную точку максимума х = 1 на промежутке ]О,+со[, причем У'(1) = — 1. На основании принципа локализации (утверждение 1) и утверждения Ь) теоремы 1 заключаем, 3 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 731 что Г(Л+1) = ~2тЛ вЂ” [1+0(Л ~~~)] при Л -++со. е п1 = ~2тп(п/е)"[1+ 0(п ~ )] при и -+ оо, и Е И. Пример 8. Асимптотика функции Бесселя х сов 0 1„(х) = — ех' '~ соя пВМВ, о где и е И Здесь ДО) = совпд, Я(0) = созВ, тпах Я® = Я(0) = 1, 0<х<зг У(0) = О, У'(0) = — 1, поэтому на основе утверждения с) теоремы 1 1„(х) = [1+ 0(х ~~~)] при х -++оо. ~2тх Пример 9.
Пусть ~ Е С1 )([а,Ь],К), Я Е С1 )([а,Ь],К), причем Я(х) ) 0 на [а, Ь] и тпах Я(х) достигается только в одной точке хо Е а<х<Ь Е [а, Ь]. Если Дхо) ~ О, Я'(хо) = 0 и Я"(хо) ~ О, то, переписав интеграл У(Л) = Дх)[Я(х)] Нх а в форме интеграла Лапласа У-(Л) У(х) ел 1п Я(х) а на основании утверждений Ь) и с) теоремы 1 получаем, что при Л вЂ” ~ — ~ +со [~(хо)] л+1/2л-1/2 [1 + 0(л-1/2) Г(Л) = еДхо) '1См.
также задачу 10 к 3 3 гл. ЧП. В частности, вспоминая, что Г(п + 1) = и. 'при и е И, получаем классическую формулу Стирлинга~) 32. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 733 Теорема 2 (об асимптотическом разложении). Пусть 1 = [а, Ь~~— конечный отрезок, ~, Я Е С(1,К), тпахЯ(х) достигается только в одхЕ1 ной точке хв е 1 и ~,Я Е С~~)(Уу(хв),К) в некоторой окрестности Уу(хв) точки хо.
Тогда относительно асимптотики интеграла (1) справедливы следующие утверждения: а) Если хо — — а, Я(~)(а) ~ О, Я®(а) = О для 1 < ~ < т, то Р(Л) — Л ~~~епес'~ ~ аеЛ е~~ при Л -+ -реп, й=О (16) где ( — 1) +' ж+1 а~ =, Г Ь(х,а) — ®х)6(х,а))~ — „ 6(х,а) = (Я(а) — Я(х)) / /Я (х). Ь) Если а < хо < о, Ф~~) (хв) ~ О, Я®(хв) = О для 1 < 7' < 2т, то Р'(Л) Л ~~ ~е~~~*с~ ~ сеЛ ~~ при Л -+ -ссп, й=О (17) где ( 1)2й+1(2~д)2й 2~ + 1 су, = 2, Г 6(х,хо) — ®х)Ь~х,хо))~ =х„ (2й)! 2т Их Ь(х, хв) = (Я(хв) — Я(х))1 ~т/Я'(х). с) Если ~®(хв) ~ О и Дх) ~~~")(хв)(х — хо)" при х -+ хв, то главный член асимптотики в случаях а) и Ь) соответственно имеет (е~~~*')Л "") (ро < р1 < ...
) совпадает с асимптотикой порции этого интеграла, взятой по сколь угодно малой окрестности точки хв, если это единственная точка максимума функции Я(х) на промежутке интегрирования. Мы не будем, однако, возвращаться к рассмотрению и уточнению этих вопросов, а, считая ~ и Я функциями класса Сл~), дадим вывод соответствующих асимптотических разложений, использующий лемму 1 об экспоненциальной оценке, лемму 3 о замене переменной и лемму 4 Ватсона.
ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 734 вид )1) (Л) — Л ~ е~й~)1 + х —,~1"1(а) -~-0 (Л )], 118) х [ и-~1 Г(Л) = 1Л-М "(* >Г("+1~ т ~ 2т / ] 52~(хв) ] / — 'у1"1( О) ~-О(л-М)] х [ (19) с1) Разложения (16), (17) можно дифференцировать по Л любое число раз. < Из леммы 1 следует, что в наших условиях с точностью до величины вида е~~(*0)0(Л 0О) при Л -+ оо интеграл (1) можно заменить интегралом по сколь угодно малой окрестности точки хв. Сделав в такой окрестности замену переменной х = <р(у), указанную в лемме 3, приведем последний интеграл к виду (У Ю(у)4(у) '" ду (20) АЯ(ж0) [У )( ) )( ) + У )( ) )( )] — лу2™' У (21) о где 1~ — — [О, в], а = т, если хв —— а и 1~ — — [ — в, в], а = 2т, если а < хв < Ь.
Окрестность, в которой производилась замена х = у(у), можно считать столь малой, что обе функции 1", Я в ней бесконечно дифференцируемы. Тогда и полученную под знаком интеграла (20) функцию (~ о д)(у)<р'(у) можно считать бесконечно дифференцируемой. Если 1„= [О, в], т. е. в случае хв = а, к интегралу (20) непосредственно применима лемма 4 Ватсона и наличие разложения (16) тем самым уже доказано. Если же 1~ — — [ — в, в], т. е.
в случае а < хв < Ь, приводим интеграл (20) к виду ~ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 735 я((р(у)) — я(а) = уу!у У(х)(р)(у) = — туг!у 1, (р (у) = — т(Я(а) — Я(х)) ~ /Я~(х), д ! д — = р'(у)— ау ах Ф(у) = ~(х)(р'(у), получаем ~йф й —,„(О) = ( — т) +1 Ь(х, а) — (~(х)Ь(х, а)) ~~ ~, где Ь(х,а) = (Я(а) — Я(х))~ ~/Я'(х).
Аналогично получаются формулы для коэффициентов с!, применением леммы Ватсона к интегралу (21). Полагая ф(у) = ~((р(у))(р'(у) + ~((р( — у))(р'( — у), можно записать, что при Л -++со Е 2гел 1 ф (О) !у + 1 н~~ !(у) -"е !у = — ~ Г Л 2т и'. 2т о п=О Но, ф(2~+1) (О) = 0 ввиду четности функции ф(у), поэтому последнее асимптотическое разложение можно переписать в виде ~ 2 1 ф(~~)(0) 2й+ 1 2! ~1 ф(у)е " ау = — ~ Г 2т (2й)! 2т Л о а=о и, вновь применяя лемму Ватсона, получаем разложение (17).
Возможность дифференцировать разложения (16), (17) следует из того, что при наших условиях интеграл (1) можно дифференцировать по Л, и при этом снова получается интеграл, удовлетворяющий условиям теоремы. Для него выписываются разложения (16), (17), и можно о непосредственно убедиться в том, что эти разложения деиствительно совпадают с теми, которые получаются формальным дифференцированием разложений (16), (17) исходных интегралов.
Остановимся теперь на формулах для коэффициентов а~ и с!,. По лемме Ватсона ал = уг — — ~(0)Г ( ), где Ф(у) = (! о д)(у)д'(у). .уй цу Учитывая, однако, что ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 73б Остается заметить, что ф1~~1(0) = 2Ф12~1(0), где Ф(у) = ~(ср(у))ср'(у). Теперь формула для су, получается из уже установленной формулы коэффициента а), заменой в ней й на 2Й и удвоением результата такой подстановки.
Для получения главных членов (18), (19) асимптотических разложений (16), (17) при указанном в с) условии ~(х) = ~~~®(х0)(х — х0)" + + 0((х — х0)"+1), где ~®(х0) ф О, достаточно вспомнить, что х = <р(у), х0 = ср(0) х — х0 = ср'(0)у+0(у2) т е. У~ ~(х0) (У. р)(у) = у" ' (р'(О))" + О(у) У~ ~(х0) у +1 (1 о ~р)(у)<р'(у) = у" (~р'(О))"+ + 0(у) 1/т при у — > О, поскольку д~(0) = — à — -~: — ф О, если хе = а и д 'СО) = ~5 ~ (а)~ 1/2т — ф)'= фо,еслиа<хе<Ь.
(хо)! Остается подставить полученные выражения соответственно в интегралы (20), (21) и воспользоваться формулой (13) из леммы Ватсона. 9» Замечание 2. Из формулы (18) при и = 0 и т = 1 вновь получаем формулу (2'). Аналогично из (19) при и = О и т = 1 получаем соотношение (3'). Наконец, равенство (4') получается из равенства (18) при и = 0 и т = 2. Все это, разумеется, в условиях теоремы 2. Замечание 3. Теорема 2 относится к случаю, когда функция Я(х) имеет на отрезке 1 = [а,б~ единственную точку максимума. Если же таких точек несколько х1,...,х„, то интеграл (1) разбивают в сумму таких интегралов, асимптотика каждого из которых уже описывается теоремой 2.
То есть в этом случае асимптотика получается как сумма П ~, Г(Л, х ) вкладов указанных точек максимума. .1=1 Легко себе представить, что при этом могут произойти некоторые или даже полные взаимные уничтожения. ~ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 737 Пример 11. Если Я Е С(00)(К, К) и Я(х) -+ — оо при х -+ оо, то Г(Л) = У(х)е~~(*) сХх = 0 при Л ) О. Значит, в этом случае такая интерференция вкладов заведомо должна иметь место. С формальной точки зрения приведенный пример может показаться неубедительным, поскольку раньше речь шла о конечном отрезке интегрирования.
Однако этот вопрос снимает следующее важное Замечание 5. Полученные в теореме 2 формулы для коэффициентов ввиду их громоздкости обычно удается использовать лишь для получения нескольких первых членов асимптотики, нужных в конкретных вычислениях. Общий вид асимптотического разложения более простой, чем указанный в теореме 2, по этим формулам для коэффициентов а~, с~ получить удается крайне редко. И все же такие ситуации встречаются. Рассмотрим для разъяснения самих формул следующие примеры. Пример 12. Асимптотику функции ЕгГ(х) = е " ди х Замечание 4. В теоремах 1 и 2 для облегчения и без того громоздких формулировок мы считали, что промежуток интегрирования 1 конечный, а интеграл (1) — собственный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
