Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Обратное утверждение следует из а), поскольку асимптотический нуль, в качестве которого мы возьмем разность 1 — д, должен иметь только нулевое асимптотическое разложение. $» Замечание 4. Мы обсудили вопрос о единственности асимптотического разложения. Подчеркнем, однако, что само по себе асимптотическое разложение функции по заданной наперед асимптотической последовательности возможно далеко не всегда. Не всегда же две функции ~ и д вообще должны быть связаны одним из асимптотических соотношений ~ = 0(д), ~ = о(д), или ~ - д при базе В. Довольно общая асимптотическая формула Тейлора, например, указывает конкретный класс функций (имеющих при х = 0 производные до порядка и), каждая из которых заведомо допускает асимптотическое представление ~(х) = ~(0) + — ~~'(0)х+...
+ — ~~ " (О)х" + о(х") при х -+ О. Но вот уже функции х~1~ нельзя дать асимптотическое разложение по системе 1,х,х,... Таким образом, асимптотическую 2 последовательность и асимптотическое разложение не следует отождествлять с некоторым каноническим базисом и разложением по нему любой асимптотики. Возможных видов асимптотического поведения много больше того, что может описать фиксированная асимптотическая последовательность, поэтому описание асимптотического поведения функции это не столько разложение по заранее заданной асимптотической системе, сколько ее отыскание.
Нельзя, например, вычисляя неопределенный интеграл от элементарной функции, заранее требовать, чтобы ответ был композицией определенных элементарных функций, потому что он вообще может не быть элементарной функцией. Поиск асимптотических формул, подобно вычислению неопределенных интегралов, представляет интерес лишь в той степени, в какой ответ проще и доступнее для исследования, чем исходное выражение. Ь. Допустимые действия с асимптотическими формулами. Элементарные арифметические свойства символов о и 0 (такие, как о(д)+о(д) = о(д), о(д) +0(д) = 0(д) +0(д) = 0(д) и т. п.) были рассмо- ГЛ. Х1Х.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 710 трены еще в теории предела (гл. 111, ~ 2, утверждение 4). Из этих свойств и определения асимптотического разложения вытекает очевидное утверждение 2 (о линейности асимптотических разложений). Если функции 1" и д допускают асимптотические разложения 1" ~ аппп, д = ~ бп~рп по асимптотической последовательности п=О п=О ~~рп) при базе В, то их линейная комбинация а~+,Вд также допускает такое разложение, причем (а ~ +,Вд) ~ (аап +,Воп) ~рп. п=О Дальнейшие свойства асимптотических разложений и вообще асимптотических формул будут относиться ко все более специальным слу- чаям.
утверждение 3 (об интегрировании асимптотических равенств). Пусть 1' функция, непрерывная на промежутке 1 = [а;ы[ (или на промежутке 1 = ~ы, а]). а) Если функция непрерывна, неотрицательна на промежутке 1, а интеграл / д(х) дх расходится, то из соотношений а ~(х) = 0(д~х)), ~(х) = о(д(х)), ~(х) д(х) при 1 Э х -+ ы вытекает соответственно, что Р(х) = 0(С(х)), Р(х) = о(С(х)) и Р(х) - С(х), где Р(х) = ~(1) сй и С(х) = д(1) сй. Ь) Если непрерывные положительные на промежутке 1 = [а,ы[ функции ~рп(х), и = 0,1,..., образуют асимптотическую последовательность при 1 Э х -+ ю, а интегралы Фп(х) = / ~рп(1) сй при х Е 1 х сходятся, то функции Фп(х), п = 0,1,...
тоже образуют асимптотическую последовательность при 1 Э х -+ ы. с) Если интеграл У(х) = / ~(х) Их сходится и функция 1 имеет асимптотическое разложение ~(х) = ~ сп~рп(х) при 1 Э х -+ ы по п=О ~1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 711 указанной в Ь) асимптотической последовательности 1Фп(х)), то для У справедливо асимптотическое разложение У(х) = ~ спФп(х). п=О ~ а) Если ((х) = 0(д(х)) при 1 Э х — + ~о, то найдутся точка хв Е Е 1 и постоянная М такие, что )~(х)~ < М)д(х)) при х Е [хо,ы[. Из непрерывности функций ( и д на отрезке [а, хо~ следует, что тогда на всем отрезке 1 имеет место неравенство )~(х)~ < С(д(х)), а значит, = О 1' д(Ю)й ~у(~) а а х <с ~д(~)а а Для доказательства оставшихся двух соотношений можно воспользоваться (как и в примере 7) правилом Лопиталя, учитывая, что С(х) = = / д(1) сЫ -+ оо при 1 Э х -+ ю.
В результате получим, что а .г'(х) . г'(х) . ((х) ~~х-+ С(х) 1~х-+ С~(х) 1~х-+ д(х) Ь) Поскольку Фп(х) -+ О при 1 Э х -+ ю (и = 0,1,... ), то, вновь применяя правило Лопиталя, находим, что 1пп = 1пп ", = 1пп Фп+1(Х) Фп+1(Х) . Рп+1(Х) = О. Гэх — +оз Фп (х) Тих — +о~ Ф'„(х) и — «рп (х) с) Функция гп (х) в соотношении ((Х) = СосРО(Х) + С1сР1(Х) +... + С„Рп(Х) + Гп(Х), У(х) = соФо(х) + с1 Ф1(х) +... + спФп(х) + В„(х) величина В„(х) есть о(Фп(х)) при 1 Э х -+ ы. > Замечание 5. Дифференцирование асимптотических равенств и асимптотических рядов, вообще говоря, незаконно.
Пример 11. Функция ((х) = е * в1п(е*) непрерывно дифферен- цируема на К и является асимптотическим нулем относительно асим- (11 птотическои последовательности ~ „) при х -+ +ос. Производные от х как разность непрерывных на 1 функций, сама непрерывна на 1 и, оче- видно, Лп(х) = / гп(1) сй -+ О при 1 Э х -+ ы. Но тп(х) = о(~р„(х)) при 1 Э х -+ ~ и Фп(х) -+ О при 1 Э х -+ ~, поэтому из того же правила Лопиталя следует, что в равенстве ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 712 1 1 функции — снова с точностью до множителя имеют вид —, однако /с ' функция ('<х) = — е*81п(е ) + совке ) не только не является асимптотическим нулем, но вообще не имеет асимптотического разложения по последовательности ~ — ) при х -+ +ос. (11 1.-) утверждение 4.
Пусть 0 — предельная точка множества Е, и пусть (р,х) ао + а]х+ а2х + ° ° ° при Е Эх — +О. д(х) = Ьо+ Ь1х+ Ь2х2+... Тоеда при Е Э х -+ 0 а) (а,~+,Вд)<х) = ~ <аа„+,ВЬ„)х"; п=о Ь) (~ д)(х) = '>, 'с„х", где с„= аоЬ„+а1ЬП 1+...+апЬор и: 0 п=о с) если ри ~ О, то Я (х) ~; И„х", где ноэХХиииенти И„нахоп,=о дятся из рекуррентных соотношений ар = Ьоерр ~- Ьреро, а„= ~ 'оеер е ...; Ус=о ао = Ьоао, й) если Š— проколотая окрестность или полуокрестность точ- 3. Степенные асимптотические ряды. Остановимся в заключение на степенных асимптотических разложениях, которые встречаются особенно часто, хотя порой и в некотором обобщенном виде, как зто было в примере 8. Мы будем рассматривать разложения по последовательности 1х"; п = 0,1,... ), асимптотической при х -+ О, и по последовательности < 1. — „;п = 0,1,...
), асимптотическои при х -+ оо. Поскольку с точнох стью до замены х = — „зто один и тот же объект, мы сформулируем 1 очередное утверждение только для разложений по первой последовательности и отметим затем специфику некоторых из приводимых формулировок в случае разложений по второй последовательности. ~1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 713 ки О, а ~ непрерывна на Е, то ф) сЫ = аох+ — х +...
+ х" + .. Г а1 2 а„1 2 и о е) если в дополнение к условиям д) ~ Е С(1)(Е) и ~ (х) = аО+ а1х+..., то а'„= (и + 1)а„,+1, и = О, 1, ~ а) Это частный случай утверждения 2. Ь) Используя свойства символа о( ) (см. гл.111, ~ 2, утверждение 4), получаем,что (~.д)(х) = ~(х) д(х) = = (ао + а1х+... + а„хп + о(х"))(Ьо + Ь1х +...
+ Ь„х" + о(х")) = = (аоЬо) + (аоЬ1 + а1Ьо) х+... + (аоЬП + а1Ь„1 +... + апЬо)х~ + о(х") при Е Э х -+ О. с) Если Ьо ~ О, то д(х) ~ 0 при х, близких к нулю, поэтому можно рассматривать отношение -ф = Ь(л). Проверим, что если в представлении 6(х) = до + д1х +... + д,„хх + т„(х) коэффициенты 4,..., д„выбраны в соответствии с утверждением с), то т„(х) = о(х'") при Е Э х -+ О. Из тождества 1 (х) = д(х)6(х) получаем, что аО + а1х +... + а„х" + о(х") = = (Ьо + Ь1х +... + Ь„хп + о(х")) (до + д1 х +...
+ д,„х" + т„(х) ) = = (Ьодо) + (Ьо4 + Ь1 до)х +... + (Ьод + Ь14„1+... + Ь„(Хо)х" + + Ьот" (х) + о(т„(х)) + о(х"), откуда следует, что о(х") = Ьот„(х) + о(т„(х)) + о(х") или т„,(х) = о(х") при Е Э х -+ О, поскольку Ьо ф О. с1) Это вытекает из утверждения Зс), если положить там ы = 0 и о Х ВспОмнить) что / ~(1) сй = ~ ~(1) сН. Х о е) Поскольку функция ~'(х) непрерывна на ~О,х~ (или [х, 0[) и огра- Х ничена (стремится к ао при х -+ 0), то интеграл / ~'(х) Ю существует. о ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 714 Очевидно, Дх) = ао + ~~'(1) /Ы, так как Дх) -+ аю при х — + О. Подо ставляя в это равенство асимптотическое разложение 1'(х) и пользуясь доказанным в с1), получаем, что / а'„ Дх) = ао + ао(х) + — х +...
+ х" + .. 2 и Из единственности асимптотического разложения (утверждение 1) следуют теперь соотношения а,', = (и+ 1)а„+1, и = О, 1,... ~ Следствие 1. Если У окрестность (полуокрестность) бесконечности в К, а функция 1 непрерывна в 1./' и имеет асимптотическое разложение а1 а2 а„ Дх) =ао+ + — +...+ — +... при УЭх — +оо, х х2 х" то взятый по лежащему в 1./' промежутку интеграл У(х) = Д~) — ао — — /Ы сходится и имеет следующее асимптотическое разложение: а2 аЗ а„ У(х) = — + +...+ — +... при УЭх — +оо. х 2х пх" ~ Сходимость интеграла очевидна, поскольку а1 а2 Д8) — ао — — - — при У Э 8 — э оо.
~2 Остается, ссылаясь, например, на утверждение Зй), проинтегрировать асимптотическое разложение а1 а2 аЗ а„ Д1) — ао — - — + — +... + —... при У Э 1 — + оо. 9» ~2 ~3 ' ' ~// Следствие 2. Если в дополнение к условиям следствия 1 известно, что 1 Е С®(У), и 1' допускает асимптотическое разложение / / / 1(х) =ао+ — + — +...+ — +... при УЭх — +оо, аи х х2 х" ~1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 715 то это разложение можно получить формальным дифференцировани- ем разложения функции ~, причем а,', = — (и — 1)а„1, п =23,... и ав =а' =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
