Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Это утверждение в совокупности с формулой (44) принадлежит В. А. Котельникову и называется теоремой Котельникова или теоремой отсчетов. ГЛ. ХЪ'П1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 690 Ж сумму ~. Специальные исследования посвящены оценке возникающих — Х при этом погрешностей. Замечание 10. Если известно, сколько времени занимает передача одного отсчетного значения сообщения Я) в данном канале связи, то легко оценить количество таких сообщений, которые можно параллельно передавать по этому каналу связи.
Иными словами, появляется возможность оценить пропускную способность канала связи (более того, еще и в зависимости от информационной насьпценности сообщений, которая сказывается на спектре сигнала Я)). Задачи и упражнения 1. а) Запишите подробно доказательства соотношений (16) — (19). Ь) Рассматривая преобразование Фурье как отображение ~ ~ ~, покажите, что оно обладает следующими часто используемыми свойствами: У~по ~-~ — ~ ( — ) )а[ а (правило изменения масштаба); ~(~ — ~о) ~-+ Ды~)е фурье-прообраза — по времени, или теорема о пе- (сдвиг входного сигнала реносе), ~ (о~) 2 сов ойдо, И(~+ ~о) + 1(~ — ~о)] и ~(о~) 2яшо~Ьо,. УИ)е+' М ~ УМ+ 0) (сдвиг преобразования Фурье по частоте); 1 ~Я соя о~о~ ~ [У(о~ о~о) + ~+ о~о)], 2 1 У(~) я1п о~о~ ~-+ — [У(о~ — о~о) — ~ + о~о)] 2 (амплитудная модуляция гармонического сигнала); . 2о~о1 1 У(~) аш — ~-+ — [2У(о~) У(о~ — о~о) У(о~ + о~о)].
2 4 ~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 691 с) Найдите преобразования Фурье (или, как говорят, фурье-образы) следующих функций: () / 2л при ~4~ ~~А '4 ~ 0 при ф >А (прямоугольный импульс); Пя® сов о~в~ (гармонический сигнал, промодулированный прямоугольным импульсом); Пл (1 + 2А) + П,~ (1 — 2А) (два прямоугольных импульса одинаковой полярности); Пл(~ — А) — П„(~+ А) (два прямоугольных импульса разной полярности); — „' (1 — ~-) при ~1~ (А, 0 при )й! >А Лл® = (треугольный импульс); соаа1~ и а1па1~ (а > 0); и )й) ~е ~ ~ (а>0). с1) Найдите фурье-прообразы следующих функций: .аш о~А . о~А 2г 2 а1пс2 —, о~А ' ~г ' о~А япс —, 7Г ОО ОО ОО Г ОО дх, дх, сов х дх, аш х дх.
х / х2 Г) Проверьте, что интеграл Фурье функции ~® можно записать в любом из следующих видов: ~(8) ~(м)е' Йо = — Йо ~(х)е ' ~* ) ох = 2~г,/ 1 = — / А~ ~(х) сова~(х — ~) дх. 0 — оо 23 — 4574 где япс ~:= ~~~* — функция отсчетов. е) Используя предыдущие результаты, найдите значения уже встречавшихся нам интегралов: 692 ГЛ. ХЪ'П1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ фГ 2. Пусть ~ = ~(т,у) — решение двумерного уравнения Лапласа + Дх~ Д~7 + ~ = 0 в полуплоскости у > О, удовлетворяющее условиям ~(т, 0) = д(т) и Ду2 Д(т,у) — ~ 0 при у — ~+со для любого т Е 2.
а) Проверьте, что преобразование Фурье ~® у) функции ~ по переменной т имеет вид д®е Ь) Найдите фурье-прообраз функции е "~~~ по переменной ~. с) Получите теперь уже встречавшееся нам (гл.ХЪ'П, ~4, пример 5) представление функции ~ в виде интеграла Пуассона 2 2д® 3. Напомним, что п-м моментом функции 1: 2 ~ С называется величина ЛХ„(~) = ~ т"~(т) дт.
В частности, если ~ — плотность распределения вероятностей, т.е. ~(т) > 0 и ~ ~(т) дт = 1, то т0 — — ЛХ~(~) есть математическое ожидание случайной величины т с распределением ~, а дисперсия о:= / (т — та)~~(т) дт этой случайной величины представляется в виде о~ = ЛХ~(~) — М;~(~).
Рассмотрим следующее преобразование Фурье ~ф) = ~(т)е '~*дт функции 1. Раскладывая е '~* в ряд, покажите, что: а) яе = ~ ~ — ~ —,— "~-~~" егли, ыапример, ~ е я. п=0 Ь) М„® = (')"У~"~(0), и =0,1,... с) Пусть теперь ~ вещественнозначна, тогда ~ф) = А(~)е~®, где А(ф)— модуль, а у(~) — аргумент Д~), причем А(~) = А( — ~) и ~р( — ~) = — у(ф).
Положим для нормировки, что / ~(т) дт = 1. Проверьте, что тогда УЫ) = 1+ Ч'(0)~+ ~'+ оЫ') Ы ~ О) т0 .— — ЛХ~(~) = — ~р'(0), а о~ = ЛХ~~(~) — ЛХ~(~) = — А" (0). ~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 693 ~А(ф) = ~(т)е ' *сб'д. ~2~г — А Проверьте, что ~А Е С(К, С) и ~А Е Я2(2, С). е) Докажите, что ~А сходится в Ь2 к некоторому элементу ~ Е 1'2 и ~~ ~А~~ ~ ~ )ф! = ~)Д! при А ~ +со (это теорема Планшереляц). 6. Принцип неопределенности. Пусть у(т) и ь|>(р) функции класса 5 (или элементы пространства 1'2 из задачи 5), причем ф = у и ~ ~у~~(т)дт = '~ М.
Планшерель (1885 — 1967) — швейцарский математик. 4. а) Проверьте, что функция е '~*~ (а > О), как и все ее производные, определенные при т ~ О, убывает на бесконечности быстрее любой отрицательной степени переменной ~к~и тем не менее эта функция не принадлежит классу Я. Ь) Убедитесь в том, что преобразование Фурье этой функции бесконечно дифференцируемо на К, но не принадлежит классу 5 (и все потому, что е '~*~ не дифференцируема при т = О).
5. а) Покажите, что функции класса 5 плотны в пространстве Е2(Р', С) абсолютно интегрируемых с квадратом функций ~: К" ~ С, наделенном скалярным произведением (~, д) = / (~ д) (т) дт и порожденными им нормой щть 1/2 !Л = /' )~(2(т) дт и метрикой д(~,д) = ! ~ — д !. щть Ь) Рассмотрим теперь 5 как метрическое пространство (э', д) с указанной метрикой д (сходимости в смысле среднего квадратичного уклонения на К"'). Пусть 1'2(К", С) или, короче, 1'2 †пополнен метрического пространства (Я,п) (см. гл.1Х, 35). Каждый элемент ~ Е 1'2 определяется последовательностью (у~) функций ~р~ Е 5, которая является последовательностью Коши в смысле метрики д.
Покажите, что тогда и последовательность ~Д) фурье-образов функций у~ является последовательностью Коши в 5 и, следовательно, задает определенный элемент ~ Е 1'2, который естественно назвать преобразованием Фурье элемента ~ Е 1,2. с) Покажите, что в 1'2 естественным образом вводится линейная структура и скалярное произведение, относительно которых преобразование Фурье Е2 4 1'2 оказывается линейным изометрическим отображением 1'2 на себя. б) на примеРе функпии т'ся) = можно видеть, что если д б 1 2 б Шз (В, С), то не обязательно д б Ш(Е, С). Тем не менее, если д б Яд (Я С), то, поскольку ~ — локально интегрируема, можно рассмотреть функцию ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 694 / ф~(р) Ир = 1. В таком случае функции ~<р~~ и ~ф~ можно рассматривать как некоторые плотности распределения вероятностей случайных величин х и р соответственно.
а) Покажите, что сдвигом по аргументу (специальным выбором начала отсчета аргумента) функции <р, не меняя величины ~Ц~, можно получить новую функцию ~р такую, что М~(~р) = / х~~р~~(х) Их = О, а затем, не меняя М~(~р) = О, можно аналогичным сдвигом по аргументу функции ф добиться того, что М~(ф) = / р~ф~2(р) Ир = О. Ь) Рассмотрите при вещественном параметре а величину ~ах<р(х) + <р'(х) ~2 Дх > О и, опираясь на равенство Парсеваля и формулу ф(р) = «р~р(р), покажите, что а~М2(~р) — а + М2(ф) > О. (Определения М~ и М~ см. в задаче 3.) с) Получите отсюда соотношение Это соотношение показывает, что чем более «сосредоточена» сама функция ~р, тем «размытее» ее преобразование Фурье и обратно (см. в этой связи примеры 1, 7 и задачу 7Ь).
В квантовой механике это соотношение, называемое принципом неопределенности, приобретает конкретный физический смысл. Например, нельзя одновременно измерить точно и координату квантовой частицы, и ее импульс. Этот фундаментальный факт (называемый принципом неопределенности Гейзенбергац), в математическом отношении совпадает с найденным выше соотношением между М2(у) и М2(ф). Следующие три задачи дают начальное представление о преобразовании Фурье обобщенных функций. 7. а) Используя пример 1, найдите спектр сигнала, выражаемого функцией 1 () ~( ~, при ~4~ <О~ О при ф>а. ЦВ.
Гейзенберг (1901 — 1976) — немецкий физик, один из создателей квантовой механики. Ь) Проследите за изменением функции Ь (1) и ее спектра при а ~ +О и скажите, каким, по вашему мнению, следует считать спектр единичного импульса, выражаемого б-функцией. ~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 695 ~((р) = ~(х)у(х) Их (р Е Я).
Ь) Умножение обобщенной функции Е Е Я' на обычную функцию ~: К" ~ ~ С определяется, как всегда, соотношением (~Е)(р):= Е(~~р). Проверьте, что для обобщенных функций класса Я' корректно определено умножение не только на функции ~ Е Я, но и на полиномы Р: К" — ~ С. с) Дифференцирование обобщенных функций Е Е Я' определяется традиционным способом: (Р'"Р)(~р):= ( — 1) ~~~К(0'"р). с) Используя пример 2, найдите теперь сигнал ~р(1) на выходе идеального фильтра низкой частоты (с верхней граничной частотой а), возникающий как ответ на единичный импульс д(~). с1) Опираясь на полученный результат, истолкуйте теперь физический смысл членов ряда Котельникова (44) и предложите принципиальную схему передачи сигнала ~(1), имеющего финитный спектр, основанную на формуле Котельникова (44).
8. Простпранстпво Л. Шварца. Проверьте, что: а) Если <р б Я, а Р— полином, то (Р ~р) Е Я. Ь) Если ~р Е Я, то Р'"~р Е Я и Р~3(РР"~р) Е Я, где а и,д — неотрицательные мультииндексы, а Р— полином. с) В Я вводится следующее понятие сходимости. Последовательность (~р~) функций ~р~ Е Я считается сходящейся к нулю, если для любых неотрицательных мультииндексов а, Д последовательность функций (х~3Р ~р~) сходится к нулю равномерно на К".
Соотношение ~р~ ~ ~р Е Я будет означать, что (~р — ~р~) -+ 0 в Я. Линейное пространство Я быстро убывающих функций, наделенное указанной сходимостью, называется простпранстпвом Шварца. Покажите, что если ~р~ ~ ~р в Я, то и ~р~ ~ ~р в Я при й ~ оо. Таким образом, преобразование Фурье является линейным непрерывным преобразованием пространства Шварца. 9. Простпранстпво Я' обобщенных функций умеренного ростпа. Линейные непрерывные функционалы, определенные на пространстве Я быстро убывающих функций, называют обобщенными функциями медленного или умеренного роста.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
