Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 114
Текст из файла (страница 114)
В этой норми- ~ ~/27г рованной системе ряд Фурье имеет вид '>, 'сгс е™*, а коэффициенты ~/2л. Фурье определяются формулами с~ = 1 / Дх)е '"* дх. ~2~г Аналогом таких естественных коэффициентов Фурье и такого ряда Фурье в континуальном случае были бы преобразование Фурье ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ бб8 и интеграл Фурье ~(х) = Д(~)е'*~ с~~, ~2~т (22) отличающиеся от рассмотренных выше лишь нормировочным множителем. В симметричных формулах (21), (22) практически сливаются «коэффициент» Фурье и «ряд» Фурье, поэтому в дальнейшем мы будем, по существу, интересоваться только свойствами интегрального преобразования (21), называя его нормированным преобразованием Фурье или, если не возникает недоразумений, просто преобразованием Фурье функции ~.
Вообще, интегральным оператором или интегральным преобразованием принято называть оператор А, действующий на функции ~ по закону А(~) (у) = К (х, у) ~(х) дх, (23) где Х(х, у) заданная функция, называемая ядром интегрального оператора, а Х С ~" множество, по которому происходит интегрирование и на котором считаются определенными подынтегральные функции. Поскольку у свободный параметр из некоторого множества У, то А(1) есть функция на этом множестве У. В математике существует ряд важных интегральных преобразований, и среди них преобразование Фурье занимает одну из самых ключевых позиций. Это обстоятельство имеет довольно глубокие корни и связано с замечательными свойствами преобразования (21), которые мы в какой-то степени опишем и продемонстрируем в работе в оставшейся части параграфа.
Итак, будем рассматривать нормированное преобразование Фурье (21). Наряду с обозначениями ~ для нормированного преобразования Фурье, введем следующее обозначение ~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ бб9 Формулы (21), (22) говорят о том, что (24) т. е. интегральные преобразования (21), (22) взаимно обратны.
Значит, если (21) есть преобразование Фурье, то интегральный оператор (23) естественно назвать обратным преобразованием Фурье. Ниже будут подробно обсуждены и обоснованы некоторые замечательные свойства преобразования Фурье. Например, й. Достаточные условия представимости функции интегралом <Фурье. Мы сейчас докажем теорему, вполне аналогичную как по форме, так и по содержанию, теореме о сходимости в точке тригонометрического ряда Фурье.
Чтобы максимально сохранить знакомый вид прежних формул и преобразований, мы в этом пункте используем ненормированное преобразование Фурье с(~) вместе с его несколько громоздким, но порой удобным обозначением У[~](~). В дальнейшем, изучая интегральное преобразование Фурье как таковое, мы, как правило, будем работать с нормированным преобразованием Фурье ~ функции ~.
Теорема 1 (о сходимости интеграла Фурье в точке). Пусть ~: К -+ С вЂ” абсолютно интегрируемая функция, кусочно непрерывная на каждом конечном отрезке числовой оси К. Т. е. преобразование Фурье переводит операцию дифференцирования в операцию умножения на независимую переменную; преобразование Фурье свертки функций сводится к умножению их преобразований Фурье; преобразование Фурье сохраняет норму (равенство Парсеваля) и тем самым является изометрическим преобразованием соответствующего пространства функций.
Но начнем мы с формулы обращения (24). По поводу еще одной удобной нормировки преобразования Фурье см. задачу 10. 670 ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Если функция 1 удовлетворяет в точке х Е К условиям Дини, то ее интеграл Фурье ((5), (10), (10'), (22)) сходится в этой точке к эначению ~®х ) + 1(х+)), равному полусумме левого и правого пределов 1 функции в этой точке. ~ По лемме 1 преобразование Фурье с(~) = У [~](~) функции 1" непрерывно на К и, значит, интегрируемо на любом отрезке [ — А, А~.
Подобно тому, как мы преобразовывали частичную сумму ряда Фурье, проведем теперь следующие преобразования частичного интеграла Фурье: ЯА = с(~)е'*~0~ = —,1"(1)е "~~Н е'*~0~ = 1 2~г — А — А — оо ОО А ОО 1 г х — 1 г(х — 1) А — г(х — 1) А Д1) е'(* ')~0~ ~Н = — ~(1), Ю = 2~г 2~г г(х — 1) — ОΠ— А — ОО 2~т х — 1 2~т и 1 яп Аи — фх — и) + 1" (х+ и)) ди.
7Г и Произведенное во втором от начала выкладки равенстве изменение порядка интегрирования законно. В самом деле, ввиду кусочной непрерывности 1 для любого конечного В ) 0 справедливо равенство А В в А Г ~фе — гк~ ~Ц егх~ Ц~ У(~) г(х — 1)~ ~~ Ц 2~г 2~г из которого при В -+ +ос, учитывая равномерную сходимость по ~ в интеграла / 1'(х)е '~~ сЫ, получаем нужное нам равенство. -в Теперь воспользуемся значением интеграла Дирихле (20) и завер- ~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б71 шим наши преобразования: ~А (т) 2 1 фх — и) — Дх )) + фх+ и) — Дх+)) яп Аи ди.
7Г и Полученный интеграл стремится к нулю при А -+ оо. Поясним это и тем самым закончим доказательство теоремы. Представим этот интеграл в виде суммы интегралов по промежутку ]0,1] и по промежутку [1,+ос[. Первый из этих двух интегралов стремится к нулю при А — ~ +ос ввиду условий Дини и леммы Римана. Второй интеграл есть сумма четырех интегралов, отвечающих четырем слагаемым Дх — и), ~(х+ и), Дх ), Дх+). К первым двум из этих четырех интегралов опять применима лемма Римана, а последние два с точностью до постоянного множителя приводятся к виду Г япАи яппи аи = й~. и и Но при А -+ +ос последний интеграл стремится к нулю, поскольку интеграл Дирихле (20) сходится.
~ Замечание 1. В доказательстве теоремы 1 мы фактически рассматривали сходимость интеграла в смысле главного значения. Но если сопоставить записи (10) и (10') интеграла Фурье, то становится очевидным, что именно рассмотренное понимание сходимости интеграла (10) отвечает сходимости интеграла (10'). Из доказанной теоремы получаем, в частности, Следствие 1.
Пусть ~: К -+ С вЂ” непрерывная, абсолютно интегрируемая функция. Если в каждой точке х е К функция ~ дифференцирдема или имеет конечные односторонние производные, или удовлетворяет условию Гельдера, то она представляется своим интегралом Фурье. Итак, для функций указанных классов оба равенства (3), ~5) или (21), (22) имеют место, и мы тем самым доказали для таких функций формулу обращения преобразования Фурье. ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б72 Рассмотрим некоторые примеры. о(1) = с(ю)р(ш)е™ Йы, где с(ш) = У [~](ю) спектр сигнала 1' (ненормированное преобразование Фурье функции 1"), а р — спектральная характеристика прибора Р. Считая все эти функции достаточно регулярными, на основе доказанного заключаем, что тогда с(ш)р(ш) = У[о](ы).
Отсюда находим с(ю) = У[~](ш). Зная с(ю), интегралом Фурье (10) найдем сигнал 1. Пример 6. Пусть а > 0 и У( )= е ~* при х>0, 0 при к<0. Тогда +ос У [Д (~) = — е ~*е ' * дх = — . — ах — г~х 2т 2т а+ г~ 0 Обсуждая само определение преобразования Фурье, мы уже отметили в пункте Ь ряд его очевидных свойств.
Отметим еще, что если (х):= 1'( — х), то У[1' ](~) = У[Д( — ~). Это элементарная замена переменной в интеграле. Возьмем теперь функцию е ~~*~ = ~(х) + 1'( — х) =: ~р(х). Тогда ~ИМ) =~МЫ)+Ю]( — 0 = —,, Если же взять функцию ф(х) = ~(х) — 1 ( — х), являющуюся нечетным продолжением функции е ~*, х > О, на всю числовую ось, то ~И (Π— Ю] (О ~[У] ( 4) — г г Пример 5. Предположим, что известен сигнал о(~) = Р(1")(~) на выходе прибора Р, рассмотренного в примере 2, а мы хотим найти сигнал 1" (1), поданный на вход прибора Р. В примере 2 мы показали, что 1" и о связаны соотношением б73 ~ 3.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Используя теорему 1, точнее, ее следствие, получаем, что е '*, если х>О, О, если х<О; 1 д~ = 2~г а+ г~ +со — д~ = а2+ ~2 +со — д~ = ~2+ ~2 — а)х). е е ах если х>О О, если х=О, — е'*, если х < О. à — а|х~ а~+ ~2 2а о Г д» = — е яяпх.
а~+ ~~ 2 Пример 7. На основе примера 4 легко найти (элементарной заменой переменной), что если 2 ~(х)=е ах, то ~(~)= е 4 ~~ 2а Очень поучительно проследить за одновременнои эволюциеи графиков функций ~ и ~ при изменении параметра а от 1/~/2 до О. Чем «сосредоточеннее» одна из функций, тем «размазаннее» другая. Это обстоятельство тесно связано с квантово-механическим принципом Геизенберга.
(См. в этой связи задачи 6, 7.) Замечание 2. Заканчивая обсуждение вопроса о возможности представления функции интегралом Фурье, отметим, что, как показывают совместно примеры 1 и 3, сформулированные в теореме 1 и ее Все интегралы здесь понимаются в смысле главного значения, хотя второй, ввиду его абсолютной сходимости, можно понимать и в смысле обычного несобственного интеграла. Отделяя в двух последних интегралах действительные и мнимые части, находим уже встречавшиеся нам интегралы Лапласа ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 674 следствии условия на функцию 1 являются достаточными, но не явля- ются необходимыми для возможности такого представления. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
