Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Крылов (1863 — 1945) — русский советский механик и математик, внесший большой вклад в вычислительную математику и особенно в методы расчета элементов кораблей. 640 ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ гонометрических рядов Фурье (см., например, явление ГиббсаЦ, опи- санное в задаче 11). Замечание 10 об интегрировании ряда Фурье. Благодаря теореме 5 можно сформулировать и доказать следующее дополняющее лемму 4 о дифференцировании ряда Фурье утверждение 2. Если функция 1: [ — т, т] — ~ С кусочно непрерывна, то соответствие ~(х) ~; с~~д)е'"х после интеерирования превращается в равенство х Г со ~(ЦЙ1 = сдЦ)х -~-~ (е'"* — 1), о где штрих свидетельствует об отсутствии в сумме члена с индексом й = О; суммирование происходит по симметричным частичным суммам ~;, и при этом ряд сходится равномерно на отрезке [ — т, т].
~ Рассмотрим вспомогательную функцию х е'(х) = Д~) й — са(~)х о на промежутке [ — т, т]. Очевидно, Р Е С[ — т,т]. Далее, Р( — т) = Р(т), поскольку Р(т) — Р( — я) = ~(~) сИ вЂ” 2тса(~) = О, что следует из определения са(~). Поскольку производная Р'(х) = Дх)— — са(~) функции Р кусочно непрерывна, ряд Фурье '), 'с~(Р)е'"* функции Р по теореме 5 сходится к Р равномерно на отрезке [ — ~г, ~г]. По гр~~ лемме 4 с~(Р) = с . при й ф О.
Но с~(Р') = с~(~), если й ~ О. Записывая теперь равенство Р(х) = ~; с~(Р)е™х в терминах функции 1 и учитывая, что Р(О) = О, получаем то, что и утверждалось. ~ ЦДж. У. Гиббс (1839 — 1903) — американский физик и математик, один из основоположников термодинамики и статистической механики. ~ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ б41 4.
Полнота тригонометрической системы Теорема 6 (о полноте тригонометрической системы). Любая функция ~ Е Е2[ — т,т] может быть сколь угодно точно приближена в среднем а) финитными на ] — т, т[ интегрируемыми по Риману на отрезке [-~г, ~г] функциями; Ь) финитными кусочно постоянными на отрезке [ — т, т] функциями; с) финитными непрерывными кусочно линейными на отрезке [ — т, ~г] функциями; с1) тригонометрическими полиномами. ~ Поскольку теорему, очевидно, достаточно доказать для вещественнозначных функций, то мы и ограничимся этим случаем. а) Из определения несобственного интеграла следует, что У2( ) ~ 1 У2( ) 6-++О а.
Теорема о полноте. В заключение вернемся вновь от поточечной сходимости ряда Фурье к его сходимости в среднем (10). Точнее, используя накопленные факты о характере поточечной сходимости ряда Фурье, дадим независимое от уже встречавшегося в задачах доказательство полноты в Е2([ — ~г, ~г], К) тригонометрической системы (1, сов йт, яп йт; й Е И~. При этом, как и в п. 1, под Е2([ — ~г, ~г], К) или е2([ — ~г, ~г], с) понимается линейное пространство вещественно- или комплекснозначных функций, локально интегрируемых на промежутке ] — ~г, ~г[ и имеющих интегрируемый на ] — ~г, ~г[ (хотя бы в несобственном смысле) квадрат модуля; это векторное пространство предполагается наделенным стандартным скалярным произведением (7), порождающим норму, сходимость по которой и есть сходимость в среднем (10).
Теорема, которую мы собираемся доказать, попросту утверждает, что система тригонометрических функций полна в е2([ — ~г, ~г], с). но мы сформулируем теорему так, что в самой формулировке будет ключ к излагаемому доказательству. Оно основано на том очевидном факте, что свойство полноты транзитивно: если А приближает В, а В приближает С, то А приближает С.
642 ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Значит, каково бы ни было число е ) О, найдется число 0 > О такое, что функция ~(т), если ~т~ < т — д, О, если т — 0 < ~т~ <~г будет отличаться в среднем на [ — ~г, ~г] от 1 меньше, чем на е, поскольку Ь) Достаточно проверить, что любую функцию вида 1б можно в Я2([ — т, ~г], К) аппроксимировать кусочно постоянными финитными на [ — ~г,т] функциями. Но функция 1б уже интегрируема по Риману на отрезке [ — ~г + О, ~г — д].
Значит, она ограничена на нем некоторой постоянной М, и, кроме того, существует такое разбиение — ~г+0 = т0 < < т1 « ... т„= ~г — Д этого отрезка, что соответствующая ему нижняя интегральная сумма Дарбу ~; т,Ьт, функции 1б отличается г=1 от интеграла ~б по отрезку [ — т+ О, ~г + О] меньше чем на е ) О. Полагая теперь гпг1 если т Е]хг — 1~ тг[~ д(т) = О в остальных точках отрезка [ — ~г, т], ) получим,что < 2М ® — д)(т) Ит < 2Мя, и, значит, действительно 1б можно сколь угодно точно в среднем на отрезке [ — ~г, ~г] аппроксимировать кусочно постоянными на этом отрезке функциями, обращающимися в нуль в окрестности концов отрезка [ — ~г, ~г].
с) Теперь уже достаточно научиться приближать в среднем указанные в Ь) функции. Пусть д — такая функция. Все ее точки разрыва ~2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 643 х1,..., х„лежат в интервале ] — )г, )г[. Их конечное число, поэтому, каково бы ни было число е ) О, можно подобрать число 0 ) О столь маленькое, что Д-окрестности точек х1,..., х„не пересекаются, содержатся строго внутри интервала ] — )г, )г[ и 2ЫМ < е, где М = аир ~д(х) ~. За~х(<зг меняя теперь функцию д на отрезках [х,— 0, х,+0], г = 1,..., и, линейной функцией, интерполирующей значения д(х, — Д) и д(х, +Д), которые функция д принимает на концах соответствующего отрезка, мы получим кусочно линейную непрерывную и финитную на [ — )г, )г] функцию дб.
По построению ~дб(х) ~ < М на [ — )г, )г], значит, (д — дб) (х) с~х < 2М ~д — дб~(х) сЬ = х,+б = 2М~ / ~д — дю~(х) Их < 2М (2М 26) .и < 4Ме, г=1 Ь. Скалярное произведение и равенство Парсеваля. После доказанной полноты в Е2([ — )г, )г], С) тригонометрической системы на основании теоремы 1 можем утверждать, что для любой функции ~ е Е Е2([ — )г, )г], С) имеет место равенство -~- ~ а~(Д) сов Йх ~- ь~(~) Бш Йх а0(1) 2 и возможность аппроксимации доказана. с1) Осталось показать, что тригонометрическим полиномом можно в среднем на отрезке [ — )г, )г] приблизить любую функцию класса с). Но ведь при любом е.
) О для любой функции типа дб по теореме 5 найдется тригонометрический многочлен Т„, равномерно с точностью до я аппроксимирующий дб на отрезке [ — )г, )г]. Значит, / (дб — Т„) (х) с~х < < 2)ге2, и возможность сколь угодно точной аппроксимации в среднем на отрезке [ — )г, )г] любой функции класса с) посредством тригонометрических полиномов установлена. Ссылаясь на неравенство треугольника в Е2[ — )г, )г], можно теперь заключить, что и вся теорема 6 о полноте в Е2[ — )г, )г] указанных классов функций тоже доказана.
~ ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б44 или,в комплексной записи, равенство с (Де™т (35) (34') (35') то в правых частях окажутся ряды по ортонормированным системам — совках, ~ ипйх;й Е И~, ~ е'~*;й Е Ж . Значит, на основании общего закона вычисления скалярного произведения векторов, по их координатам в ортонормированном базисе (см. лемму 1 из ~ 1) можно утверждать, что для любых функций 1' и д из Е2([ — ~г,~г],С) справедливо равенство (36) или, в иной записи, равенство 1 — Ц,д) = ~ сд(~)сд(д), ~37) где, как всегда, (Лд) = У(х)д( ) ~ В частности, при 1" = д из (36) и (37) получаем записанное в двух эквивалентных между собой формах классическое равенство Парсева- где сходимость понимается как сходимость по норме пространства Е2[ — ~г, ~г], т.
е. в среднем, а предельный переход в (35) совершается при и — д оо по суммам вида Я„(х) = ~, с~д(~)е'~*. Если переписать равенства (34), (35) в виде ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б4б контраст с только что доказанной теоремой единственности рядов Фурье не следует слишком абсолютизировать, поскольку всякая теорема единственности относительна в том смысле, что она относится к определенному пространству и определенному виду сходимости. Например, в пространстве аналитических функций (т.е. функций, допускающих локально представление в виде поточечно сходящегося к ним степенного ряда ~ а„(я — яв)") две различные функции в любой и=О точке имеют не совпадающие тейлоровские разложения.
Если, в свою очередь, при изучении тригонометрических рядов отказаться от пространства Е2[ — т, т] и рассматривать поточечную сходимость тригонометрического ряда, то, как уже отмечалось (см. стр. 520), можно построить тригонометрический ряд, не все коэффициенты которого равны нулю и который тем не менее почти всюду сходится к нулю. По утверждению 3 такой нуль-ряд, конечно, не сходится к нулю в смысле среднего квадратичного уклонения. В заключение в качестве иллюстрации использования свойств тригонометрических рядов Фурье рассмотрим следующий принадлежащий Гурвицуц вывод классического изопериметрического неравенства в двумерном случае. Чтобы избавиться от громоздких выражений и случайных технических трудностей, мы будем пользоваться комплексной записью.
Пример 5. Между объемом Ъ' области в евклидовом пространстве Е", п ) 2 и (п — 1)-мерной площадью г', ограничивающей область гиперповерхности, имеется соотношение ипи„у" ' < г", (40) 4д Я < ~52. (41) ц А. Гурвиц (1859 — 1919) — немецкий математик, ученик Ф. Клейна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
