Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 107
Текст из файла (страница 107)
2 1) Покажите, что полиномы Эрмита ортогональны на К с весом е 9. Полиномы Чебышева — Лагерра~~ (Ь„(х);и = 0,1,2,...) можно опреде- ДП ХПж Х лить формулой Ь„(х):= е* Проверьте,что: а) Е (х) есть полином степени и; Ь) функция 1 „(х) удовлетворяет уравнению хЬ„о(х) + (1 — х) Ь„'(х) + пЬ (х) = 0; с) система (Ь„; и = О, 1, 2,... ) полиномов Чебышева — Лагерра ортогональна с весом е * на полупрямой [О, +ос[.
10. Полиномы Чебышева (То(х) = 1,Т„(х) = 2' "соап(агссовх);и Е 1Ч) при [х~ ( 1 можно задать формулой ( 2)п[ т„[к[ = ,/1 кт [1 (2п) [ дх" Покажите, что: а) Т„(х) есть полином степени и; Ь) Т„(х) удовлетворяет уравнению (1 — х )Т„"(х) — хТ„'(х) + и Т„(х) = 0; с) система (Т„;и = 0,1,2,...) многочленов Чебышева ортогональна с веком р[х[ = па промежутке [ — 1, 1[. т ЦЭ.
Н. Лагерр (1834 — 1886) — французский математик. ~ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ б19 11 а) В теории вероятностей и теории функций встречается следующая система функций Радемахера~) (ф„(х) = ~р(2"х);и = 0,1,2,...), где ~р(~) = = ецп(яп2т1). Проверьте, что это ортонормированная система на отрезке [О, 1]. Ь) Система функций Хаара2) (Х„ь(х)), где и = О, 1,2,..., а й = 1, 2, 22,... определяется соотношениями Х,й(~) = — 1, если 2 ст ( х (:рт 0 в остальных точках [0,1].
ЦГ. А. Радемахер (род. 1892) — немецкий (с 193б г. — американский) математик, 2~ А. Хаар (1885 — 1933) — венгерский математик. Проверьте ортогональность системы Хаара на отрезке [О, 1]. 12. а) Покажите, что любое и-мерное векторное пространство со скалярным произведением изометрически изоморфно арифметическому евклидову пространству К" той же размерности. Ь) Напомним, что метрическое пространство называется сепарабельным, если в нем имеется счетное всюду плотное подмножество.
Докажите, что если линейное пространство со скалярным произведением сепарабельно, как метрическое пространство с индуцированной этим скалярным произведением метрикой,то в нем есть счетный ортонормированный базис. с) Пусть Х вЂ” сепарабельное гильбертово пространство (т.е. Х вЂ сепарабельное и полное метрическое пространство с метрикой, индуцированной скалярным произведением в Х). Взяв в Х ортонормированный базис (е,; г Е 1Ч), построим отображение Х Э х ~ — ~ (с1, е2,...), где с, = (х, е,) — коэффициенты Фурье разложения вектора х по базису (е,).
Покажите, что это отображение является биективным, линейным и изометричным отображением Х на пространство 12, рассмотренное в примере 14. с1) Используя рис. 103, укажите, в чем состоит идея построения примера 14, и объясните, почему она связана именно с бесконечномерностью рассматриваемого пространства. е) Объясните, как построить аналогичный пример в пространстве функций С [а, б] С Е2 [а, 6].
ГЛ. ХЪ'П1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б20 ~ 2. Тригонометрический ряд «Рурье 1. Основные виды сходимости классического ряда «Фурье а. Тригонометрический ряд и тригонометрический ряд Фурье. Классический тригонометрический ряд — это ряд видаЦ ао — + ~ а1с СОВКХ+ бас В1ПЙХ 2 ) /с=1 получаемый на базе тригонометрической системы ~1, сов Йх, в1п Йх; Й Е Й= гч. Коэффициенты ~аО, а1с, бас, 'к Й= И) здесь вещественные или ком- плексные числа. Частичные суммы тригонометрического ряда (1) суть тригонометрические многочлены ао Т„(х) = — -~- ~ ан сон Йх -~- Йн н!и Йх 2 /с=1 (2) ао пх) = — -~-2 ансонйх-~-Йнн!пйх 2 /с=1 (3) равномерно сходящегося к ней тригонометрического ряда.
Тогда коэффициенты разложения (3) легко и вполне однозначно находятся. Домножая в этом случае равенство (3) последовательно на каждую из функций системы ~1, сов йх, яп йх; й Е И), пользуясь возможностью )Запись свободного члена в виде ао/2, удобная для рядов Фурье, здесь не обязательна. соответствующей степени и. Если ряд (1) сходится поточечно на К, то его сумма Дх), очевидно, 2)г-периодическая функция на К.
Она вполне определяется заданием ее ограничения на любой отрезок длины 2)г. Обратно, если дана 2)г-периодическая функция на К (колебания, сигнал и т. п.) и мы желаем разложить ее в сумму некоторых канонических периодических функций, то для этой цели первыми претендентами служат простейшие 2)г-периодические функции 11, сов йх, яп йх; й Е 1Ч), представляющие простые гармонические колебания кратных частот. Допустим, нам удалось представить непрерывную функцию в виде суммы б21 ~ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ почленно интегрироват ь получаемые при этом равномерно сходящиеся ряды ды и учитывая соотношения 1 с~х = 2л., соатхсоапхах = яптхяппхах = О при т ~ п, т,п Е тп 1Ч 7Г 7Г Г сов пхах = яп пхах = ~г, п б И, 2 находим коэффициенты 1 асс = а~(~) = — 1" (х) сов Йх дх, 1 Ь~, = 6~С (~) = — Дх) яп Йх дх, й = О, 1, ..., 1=1,2, + ~ а~Ц) совках+ б~(~) япйх 2 /с=1 (6) называется тригонометрическим рядом Фурье функции ~.
Поскольку других рядов урье, Ф ье кроме тригонометрических, в этом я краткости позволим себе порой опускать параграфе не будет, мы для к~ о разложения (3) функции ~ в тригонометрическии ряд. фф иентам какие бы мы имели, рассмаМы пришли к тем же коэффици тривая (3) как разложение Фурье вектора 1" Е 2[ —, 1 Я, [ — л т, по ортогональй й Е И). Это не удивительно, поскольку ной системе 11, сов Йх, яп х; я а (3) конечно, вытекает и его сходииз равномерной сходимости ряда, „к [ — т т~ а тогда коэффициентами ряда мость в среднем на отрезке [ — т, т, а должны быть коэффицие фф нты Фурье функции ~ по рассматриваемои ортогональнои системе (см. ( й1) Определение 1.
сли для фу Е ф нкции ~ имеют смысл интегралы (4) (5) то сопоставляемый ~ тригонометрический ряд ~() ~ у) то соп с ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б22 слово «тригонометрический» и будем говорить просто «ряд Фурье функции ~». В основном мы будем иметь дело с функциями класса Е([ — т, т], С) или, несколько шире, с функциями, квадрат модуля которых интегрируем (хотя бы в несобственном смысле) на промежутке ] — т, т[.
Сохраним прежний символ Е2[ — ~, т] для обозначения линейного пространства таких функций со стандартным скалярным произведением в нем (~,д) = ~дах. (7) Неравенство Бесселя (8) справедливое для любой функции ~ Е Е2([ — т,т],с), показывает, что далеко не каждый тригонометрический ряд (1) может быть рядом Фу- рье некоторой функции ~ б е2[ — т, к]. Пример 1. Тригонометрический ряд ип Йх Е как нам уже известно (см. пример 7 из ~ 2 гл. ХЧ1), сходится на К, но он не является рядом Фурье никакой функции ~ Е Я2[ — ~, т], так как ряд ~ ~ — ) расходится. „, ~л) Ь. Сходимость в среднем тригонометрического ряда <Рурье. Пусть Я„(х) = ~- ~ а~ (~) сон йх ~- Ь~ Я я!и йх ао(У) 2 (9) Итак, изучаться здесь будут не произвольные тригонометрические ряды (1), а ряды Фурье (6) функций класса Е2[ — т, ~т], а также класса абсолютно интегрируемых на ] — т, т[ функций.
~ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ б23 — и-я частичная сумма ряда Фурье функции ~ б Е2[ — )г, )г~. Отклоне- ние Я„от ~ можно измерять как в естественной метрике пространства Е2[ — )г, )г], индуцированной скалярным произведением (7), т. е. в смысле среднего квадратичноео уклонения (10) Я„от ~ на промежутке [ — )г, )г~, так и в смысле поточечной сходимости на этом промежутке. Первый из указанных видов сходимости для произвольного ряда Фурье был рассмотрен в ~ 1.
Конкретизация полученных там результатов применительно к тригонометрическому ряду Фурье связана прежде всего с тем, что тригонометрическая система 11,совках,в1пйх; Й Е И) полна в Е2[ — )г, )г~ (зто уже отмечалось в ~ 1 и будет независимо доказано в п. 4 настоящего параграфа). Значит, основная теорема из ~1 в нашем случае позволяет утверждать, что справедлива следующая Теорема 1 (о сходимости в среднем тригонометрического ряда Фурье).
Рлд Фурье (6) любой функции 1 Е Е2([ — )г,)г~,С) сходится к ней в среднем (10), т. е. ~~х) = «-2 ае(~) ссе йх «-сей е1пйх, аО(~) я~ 2 /с=1 и имеет, место равенство Парсеваля у))2 — )~~ (х)«)х = «-~~ее(Д~ «-)Ее(Д) . /с=1 Мы часто будем испольэовать более компактную комплексную форму записи тригонометрических полиномов и тригонометрических рядов, основанную на формулах Эйлера е'* = сов х+ г яп х, сов х = ~-(е'*+ + е '*), в1пх = — (е'* — е '*).
Используя их, частичную сумму (9) ряда 1 гж — гх Фурье можно записать в виде ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б24 а сам ряд Фурье (6) — в виде сее' *, (6') где 2 (а~ — Й~), 1 если й) О, (12) 1 2аОс если 2(а й+ Й й), если й (О, т. е. 1 с)с = с~(~) = — 1'(х) е ' * ах, Й Е Ж, 2т и, значит, с~ — попросту коэффициенты Фурье функции 1" по системе (егйх. ~ ~ Д~ Обратим внимание на то, что суммирование ряда Фурье (6') понимается в смысле сходимости сумм (9'). Теорема 1 в комплексной записи означает, что для любой функции 1" С Яз([ — 7г,7г],С) с'сх) = 2 се(Де' * — ))~)) = ~ )сец)) 1 (14) с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
