Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 106
Текст из файла (страница 106)
с1) Покажите, что системы (1,х,х2,... ), (1, совках, япйх; й Е 1Ч) полны в Я2[ — ~г, ~г~, но первая не является, а вторая является базисом этого пространства. е) Объясните, почему для любой функции ~ Е Я([ — ~г, гг~~,С) справедливо равенство (Парсеваля) ОΠ— ф~(х) дх = — + ~» )аь~~+ ~Ьь)~, 7г 2 й=1 где числа а~, 6~ определены формулами (9), (10). ~ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ б15 Г) Используя результат примера 8, покажите теперь, что ~ , '— = ~~. 1 дг п=1 ~ 4. Ортогональность с весом.
а) Пусть ро,р~,...,р„— непрерывные положительные в области Р функции. Проверьте, что формула и о д) = 2 / рй(х)~~'~(х)д ~'~(х) Йх а=о р задает скалярное произведение в С~"~(Р, С). Ь) Покажите, что в пространстве 7ЦР, С) при отождествлении функций, отличающихся лишь на множествах меры нуль, с помощью положительной и непрерывной в Р функции р можно ввести следующее скалярное произведение: (~,д) = р(х)Дх)д(х) с1х.
~~Ж. Ш. Ф. Штурм (1803 — 1855) французский математик (кстати, иностранный почетный член Петербургской Академии наук); основные работы относятся к решению краевых задач уравнений математической физики. Функция р в этом случае называется весовой функцией, а если (~, д) = О, то говорят, что функции ~ и д ортогональны с весом р. с) Пусть ~р: Р -+ С вЂ” диффеоморфизм области Р С К" на область С с К", и пусть (и~(у); Й Е 1%1 — ортогональная в смысле стандартного скалярного произведения (2) или (3) система функции в С. Постройте систему функций, ортогональных в Р с весом р(х) = ~ де$у~(х)~, а также систему функций, ортогональных в Р в смысле стандартного скалярного произведения.
с1) Покажите, что система функций (е „(х,у) = е'~ *+"");т,п Е И) ортогональна на квадрате 1 = ((х, у) б К ~ ~х~ < ~т Л ~у~ ( ~г). е) Постройте систему функций, ортогональную на двумерном торе Т с С К2, заданном параметрическими уравнениями, указанными в примере 4 из ~ 1 гл. ХП. Скалярное произведение функций ~ и д на торе при этом понимается как поверхностный интеграл ( ~д Йт.
Т2 5. а) Из алгебры известно (и мы это попутно в теории условного экстремума тоже доказали), что каждый симметрический оператор А: Е" -+ Е", действующий в и-мерном евклидовом пространстве Е", имеет отличные от нуля собственные векторы. В бесконечномерном случае это, вообще говоря, не так. Покажите, что линейный оператор ~(х) ~ — ~ х~(х) умножения на независимую переменную является симметрическим в С2(~а, Ь~), Щ, но не имеет отличных от нуля собственных векторов. Ь) Задача Штурма~) — Лиувилля, часто возникающая в уравнениях математической физики, состоит в отыскании отличного от тождественного нуля б1б ГЛ.
ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ решения уравнения и" (х) + [д(х) + Лр(х)) и(х) = 0 на промежутке [а, Ь~, удовлетворяющего некоторым краевым условиям, например, и(а) = и(Ь) = О. При этом функции р(х) и д(х) считаются известными, непрерывными на рассматриваемом промежутке [а, Ь~), причем р(х) ) 0 на [а, Ь). Такая задача нам уже встретилась в примере 15, где нужно было решить уравнение (26) при условии, что Х(О) = Х® = О. В этом случае у нас было д(х) = О, р(х) = 1 и [а, Ь') = [О, 1~. Мы убедились в том, что задача ШтурмаЛиувилля, вообще говоря, может оказаться разрешимой лишь при некоторых специальных значениях параметра Л, которые по этой причине называют собственными значениями соответствующей задачи Штурма — Лиувиллл.
Покажите, что если функции ~ и д являются решениями задачи ШтурмаЛиувилля, отвечающими собственным значениям Лу ф Лд, то на отрезке [а, Ь] выполнено равенство ~~-(д'~ — ~'д) = (Лу — Лд)р~д и функции 1, д ортогональны на [а, Ь~ с весом р. с) Известно (см.
~ 4, гл. Х1У), что малые колебания неоднородной струны, ! ! в закрепленной в концах отрезка [а, Ь~), описываются уравнением (ри') = риц, где и = и(х, Й) — функция, задающая форму струны в каждый момент й, р = = р(х) — линейная плотность, а р = р(х) — коэффициент упругости в точке х е [а, Ь~). Условия закрепления означают, что и(а, й) = и(Ь, й) = О. Покажите, что если искать решение этого уравнения в виде Х(х)Т(й), то дело сведется к системе Т" = ЛТ, (рХ')' = ЛрХ, в которой Л вЂ” общее для обоих уравнений число. Таким образом, для функции Х(х) возникает задача Штурма — Лиувилля на отрезке [а, Ь~, разрешимая лишь при определенных (собственных) значениях параметра Л (Считая, что р(х) ) 0 на [а, Ь~ и что р е С~~~[а, Ь~), заменой х переменной в = [ Ж- уравнение (рХ ) = ЛрХ, очевидно, приводится к виду, в котором оно уже не содержит первой производной.) с1) Проверьте, что оператор Я(и) = (р(х)и'(х))' — д(х)и(х), действующий на пространстве тех функций класса С®[а, Ь), которые удовлетворяют условиям и(а) = и(Ь) = О, является симметрическим на этом пространстве (т.е.
(Яи,и) = (и, Яи), где (, ) — стандартное скалярное произведение вещественных функций). Проверьте также ортогональность собственных функций оператора Я, отвечающих его различным собственным значениям. е) Покажите, что решения Х~, Х2 уравнения (рХ ) = ЛрХ, отвечающие различным значениям Л~, Л2 параметра Л и обращающиеся в нуль на концах отрезка [а, Ь~), ортогональны на [а, Ь~) с весом р(х).
6. Полиномы Лежандра как собственные функции. а) Используя указанное 2 в примере 5 выражение полинома Лежандра Р„(х), а также равенство (х — 1)" = (х — 1)" (х+ 1)", покажите, что Р„(1) = 1. ~ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ б17 Ь) Дифференцируя тождество (х — 1) -~-(х — 1)" = 2пх(х — 1)", покажите, что Р„(х) удовлетворяет уравнению (х — 1) Р„"(х) + 2х Р„'(х) — п(п+ 1)Р„(х) = О.
с) Проверьте симметричность оператора д д д А:= (х2 — 1) + 2х — =— дх2 дх ссх (х — 1)— 2 дх) Р„(сов О), Р„,„(сов О) сов т~р, Р„(яп 0) яп т~р. Оказывается, любая сферическая функция У„(0, ~р) с индексом и является линейной комбинацией указанных функций. Принимая это к сведению и учитывая ортогональность тригонометрической системы, покажите,что функции системы (*) образуют ортогональный базис в (2п+ 1)-мерном пространстве сферических функций данного индекса и. на пространстве С~~~[ — 1, Ц С Я2[ — 1, Ц и, исходя из соотношения А(Р„) = п(п + 1)Р„, объясните ортогональность полиномов Лежандра.
с1) Используя полноту системы (1,х,х2,...) в С~~)[ — 1, Ц, покажите, что размерность собственного пространства оператора А, отвечающего его собственному значению Л = п(п + 1), не может быть больше единицы. е) Докажите, что оператор А = ~- ~(х — 1)~~-1 ие может иметь в прод ~ 2 странстве С~~1[ — 1, Ц собственных функций, не входящих в систему (Ро(х), Р1 (х),... ) полиномов Лежандра, и собственных значений, отличных от чисел (п(п + 1); и = О, 1, 2,... ). Т.
Сферические функции. а) В Кз при решении различных задач (например, задач теории потенциала, связанных с уравнением Лапласа Ьи = О) решение ищут в виде ряда из решений специального вида. В качестве таковых берут однородные многочлены Я„(х, у, я) степени и, удовлетворяющие уравнению Ьи = О. Такие многочлены называются гармоническими многочлена; ми.
В сферических координатах ~т, ~р, О) гармонический многочлен Я„(х, у, ~), очевидно, имеет вид т" У„(0, ~р). Возникающие при этом функции У„(0, ~р), зависящие только от координат 0 < 0 < т, 0 < ~р < 2т на сфере, называют сферическими функциями. (Они являются тригонометрическими многочленами от двух переменных с 2п+1 свободными коэффициентами у У„, что связано с условием ЬЯ„= О.) Используя формулу Грина, покажите, что при т ф и функции У, У„ ортогональны на единичной сфере в ~~ (в смысле скалярного произведения (Урр, У„,) = / / Урр У;, сЬ, где поверхностный интеграл берется по сфере т = 1).
Ь) Отправляясь от полиномов Лежандра, можно ввести еще полиномы ~тй Р Р„,„= (1 — 2)'"12" ~" (х), т = 1, 2,..., и, и рассмотреть функции Х~ 618 ГЛ. ОУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 8. Полиномы Эрмита. В квантовой механике при исследовании уравнения линейного осциллятора приходится рассматривать функции класса С~~1 (К) со +со скалярным произведением (1,д) = / 1ддх в С~~~® С Е2(К,С), а также 2 уп 2 специальные функции Н„(х) = ( — 1) "е* — „е~ * ), и = О, 1, 2,...
а) Покажите, что Но(х) = 1, Н[,(х) = 2х, Н2(х) = 4х — 2. Ь) Докажите, что Н„(х) — полином степени и. Система функций (Но(х), Н~(х),... ) называется системой полиномов Эрмита. с) Проверьте, что функция Н„(х) удовлетворяет уравнению Н„''(х)— — 2хН„'(х) + 2пН„(х) = О. — х~ 2 с1) Функции ф„(х) = е * ~~Н„(х) называют функциями Эрмита. Покажите, что у[„"(х) + (2п + 1 — х2ф„(х) = 0 и у[„(х) — ~ 0 при х -+ оо. +со е) Проверьте, что / ф„фуурдх = 0 при т ф и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
