Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 101
Текст из файла (страница 101)
задачу 11е) из 84), а функция г(х)б~ — простой слой, отвечает распределению зарядов по поверхности Я с поверхностной плотностью г(х), то функция — ~~ — (г(х)б~), называемая двойным слоем, отвечает распределению диполей по поверхности Я, ориентированных по нормали и и имеющих поверхностную плотность момента г(х).
1) Полагая в формуле Грина ~р = 1 — — ~ и используя результат примера 14, 1 покажите, что любая гармоническая в области С функция ~ класса С~1)(С) представляется в виде суммы потенциала простого и двойного слоя, расположенных на границе Я области С.
Т. а) Функция 1 — ~ является потенциалом напряженности А = — — элек- 1 Х ~х~ ~ ~з трического поля, создаваемого в пространстве Кз единичным зарядом, помещенным в начало координат. Нам известно также, что 586 ГЛ. ХЧ11. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Ь) (Ь+ к')Е = б, если Е(х) 4 1 ~ или если Е(х) = — -' — ~-~ — и х Е К'. ~й)~( — ~й~~) д 2 д 2 с) ° ,Е = б,где оператор ° , = Π— ое ( и,) -~-...б- ( ) , а Е = пРи х И И ики Е = — Ц-бе„= -уцтбСп~бт — )х)е) пРи х И Ее, 2 осе — (~( 4угбт ~ цс Уубб б И И Здесь НСс) — функция Хеаисайда, Е„= 1х И Ие ) (х) = пеб сфера, а) О. с1) Используя предыдущие результаты, предъявите решение и уравнения Аи = 1 для соответствующего дифференциального оператора А в виде свертки 1 * Е и проверьте, например, в предположении непрерывности функции 1, что полученные вами интегралы, зависящие от параметра, действительно удовлетворяют уравнению Аи = 1.
9. Дифференцирование интеарала по жидкому обьему. Пространство заполнено перемещающимся веществом (жидкостью). Пусть и = о(1, х) и р = р(1, х) — соответственно скорость перемещения и плотность вещества в момент времени 1 в точке х. Будем наблюдать за перемещением порции вещества, заполняющего в начальный момент область Йо.
а) Выразите в виде интеграла массу вещества, заполняющего область Й~, полученную из Йо к моменту 1, и запишите закон сохранения массы. Ь) Продифференцировав интеграл Р(1) = / Д~, х) сЬ с переменной обла. стью интегрирования Йб (жидкий объем), покажите, что Р'(1) = / ~-сЬ + — Ж 'бб + / У(о,и)ао, где Йб, дй~, еЬ, Йт, п, и, ( , ) †соответствен область, ее да, граница, элемент объема, элемент площади, единичная внешняя нормаль, скорость потока в момент 1 в соответствующих точках и скалярное произведение. с) Покажите, что Р'(1) из задачи Ь) можно представить в виде Р'(1) = = б' Я -~- б1т'СЩ) Пес ьяс с1) Сопоставляя результаты задач а), Ь), с), получите уравнение неразрывности ф + Йч(ри) = О. (См. в этой связи также гл. Х1Ч, ~ 4, п.
2.) е) Пусть |Й~~ — объем области Й~. Покажите, что ае — — / йчо сЬ. б1~Й~! Йс Е) Покажите, что поле и скорости потока несжимаемой жидкости бездивергентно (йч и = 0) и что это условие есть математическая запись несжимаемости (сохранения объема) любой порции эволюционирующей среды. я) Поле (р, д) фазовой скорости гамильтоновой системы классической механики удовлетворяет уравнениям Гамильтона р = --о †, д = -о †, где Н = дН . дН = Н(р, д) — функция Гамильтона системы.
Вслед за Лиувиллем покажите, что гамильтонов поток сохраняет фазовый объем. Проверьте также, что функция Гамильтона Н (энергия) постоянна вдоль линий тока (траекторий). ГЛАВА Х'КП1 РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ~ 1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда Фурье' ) 1. Ортогональные системы функций а.
Разложение вектора в линейном пространстве. На протяжении всего курса анализа мы неоднократно отмечали, что те или иные классы функций по отношению к стандартным арифметическим операциям образуют линейные пространства. Таковы, например, основные для анализа классы гладких, непрерывных или интегрируемых на области Х С ~" вещественно, комплексно или вообще векторнозначных функций. С точки зрения алгебры равенство У=с1,й+ "+с У где ~, ~1,..., ~„функции данного класса, а а; — коэффициенты из поля К или С, попросту означает, что вектор ~ является линейной комбинацией векторов ~1,..., ~„рассматриваемого линейного пространства.
'~Ж.Б.Ж.Фурье (1768 — 1830) — французский математик. Его основной труд «Аналитическая теория теплоты» (1822) содержал выведенное Фурье уравнение теплопроводности и метод разделения переменных (метод Фурье) его решения (см. стр. 608). Ключом в методе Фурье является разложение функции в тригонометрический ряд (ряд Фурье). Исследованием возможности такого разложения занимались впоследствии многие крупные математики.
Это, в частности, привело к созданию теории функций действительного переменного, теории множеств, а также способствовало развитию самого понятия функции. ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В анализе, как правило, приходится рассматривать «бесконечные линейные комбинации» вЂ” ряды функций вида Определение суммы ряда требует, чтобы в рассматриваемом линейном пространстве была задана некоторая топология (в частности, метрика), позволяющая судить о стремлении к нулю разности 1 — Я„, где Я„= ~ а~с~д,. /с=1 Основным для классического анализа приемом введения метрики на линейном пространстве является определение в этом пространстве той или иной нормы вектора или того или иного скалярного произведения векторов. Обсуждению этих понятий был посвящен ~ 1 гл.
Х. Сейчас мы будем рассматривать только пространства, наделенные скалярным произведением (которое, как и прежде, будем обозначать символом (, )). В таких пространствах можно говорить об ортогональных векторах, ортогональных системах векторов и ортогональных базисах, подобно тому, как это говорилось в знакомом из аналитической геометрии случае трехмерного евклидова пространства. Определение 1. Векторы х, у линейного пространства, наделенного скалярным произведением (, ), называются ортогональными (относительно этого скалярного произведения), если (х, и) = О. Определение 2. Система векторов (х~с, й Е К) называется ортогональной, если векторы системы, отвечающие различным значениям индекса Й, попарно ортогональны. Определение 3.
Система векторов (е~, й е К) называется ортонормированной (или ортонормальной), если для любых индексов з,у б Е К выполняется соотношение (е„е~) = д, ~, где о, — символ Кронеке- ра, т.е. б, 1, если г = ~, О, если г~ 1. Определение 4. Конечная система векторов х1,..., х„называется линейно независимой, если равенство а1х1+а2х2+... +а„х„= 0 возможно, лишь когда а~ — — а2 —— ... = а„= 0 (в первом случае 0 — нулевой вектор пространства, во втором случае 0 — нуль поля коэффициентов).
~ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 589 Произвольная система векторов линейного пространства называется системой линейно независимых векторов, если линейно независима каждая ее конечная подсистема. Как известно из курса аналитической геометрии, разложения по ортогональным и ортонормированным системам имеют много технических преимуществ в сравнении с разложениями по произвольным линейно независимым системам (легко вычисляются коэффициенты разложения; по координатам векторов в ортонормированном базисе легко вычисляется скалярное произведение этих векторов и т. д.). Именно поэтому мы будем в основном интересоваться разложениями по ортогональным системам.
В пространствах функций это будут разложения по ортоеональным системам функций или ряды Фурье, изучению которых и посвящена эта глава. Ь. Некоторые примеры ортогональных систем функций. Развивая пример 12 из 81 гл. Х, на линейном пространстве Я2(Х,С) локально интегрируемых на множестве Х С К" функций, имеющих интегрируемый на Х (в собственном или несобственном смысле) квадрат модуля, введем скалярное произведение (~, д):= (~ д) (х) их. (2) х Поскольку ~~ д~ ( ~(~Д~ + ~д~~), интеграл в равенстве (2) сходится и, значит, корректно определяет величину (~, д). Если речь будет о вещественнозначных функциях, то в соответствующем вещественном пространстве Е2(Х, К) соотношение (2) сводится Основной вопрос, который нас сейчас будет интересовать, это вопрос о разложении вектора пространства по заданной системе линейно независимых векторов.
Имея в виду дальнейшие приложения к пространствам функций (которые могут быть и бесконечномерны), мы должны считаться с тем, что такое разложение может, в частности, привести к ряду типа ряда (1). Именно в этом и будет состоять элемент анализа при рассмотрении того основного и по существу алгебраического вопроса, который мы поставили. 590 ГЛ. ХЧ1П. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ к равенству (,1, д):= (1 д) (х) их.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
