Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Докажите это равенство. ~ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 559 12. а) для обобщенной функции Е, заданной в виде (Р, ~р) = / ~/х~р(х) дх, о проверьте следующие равенства: +СО (Е~, ~р) = — / цх; 1 Г фх) о 1 Г р( ) — (0) „ 4 / хз/2 о 3 Г р(х) — <р(0) — хор'(О) 8,/ х5/2 о ( — 1)" '(2п — 3)И (Г~ "1, ~р) — Х 'р(х) — 'р(0) — х~р'(О) — ... — ~2 „~р~" ~(0) 2н ~1 х о Ь) Покажите, что если п — 1 < р < п и обобщенная функция х+" задана соотношением ' р(х) — 'р(0) — х<р'(О) —... — ~*— ~р'р " ) (О) (х+", ~р):= дх, о то ее производной является функция — рх+, определяемая соотношением — (Р+1) ~р(х) — ~р(0) — х~р'(О) —...
— ф — ~~т<р~" Ц(0) ( — рх+~" ~, ~р) = — р дх. о 13. Определяемая равенством +СΠ— +СО (Г, ):= Ъ'.Р. дх:= 11ш / + / д ~р(х) . Г Г ~р(х) х †, ++о / ,/ х обобщенная функция обозначается символом Р—. Покажите, что: 1 а) (Р—,Р) = 1 ~1-*1 — -~~ —.~Их. о 5бО ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Ь) (1п !х!)' = Р~~ с) Р—, ~р = /' 14. С определением произведения обобщенных функций могут возникнуть сложности: например, функция ~х~ ~~а абсолютно интегрируема (в несобственном смысле) на К; она порождает соответствующую обобщенную функцию +осу / ~х~ у у(х) дх, но квадрат ее ~х~ «у~ уже не является интегрируемой функцией даже в несобственном смысле. Ответы на следующие вопросы показывают,что в й?' принципиально нельзя определить естественную ассоциативную и коммутативную операцию умножения любых обобщенных функций.
а) Покажите, что для любой функции 1 Е С~ ) имеет место равенство 1(х)д = ДО)д. Ь) Проверьте, что хР ~ = 1 в й?'. с) Если бы операция умножения была распространена на любые пары обобщенных функций, то она по крайней мере не была бы ассоциативной и коммутативной, иначе 0 = ОР— = (хБ(х))Р— = (Б(х)х)Р— = Б(х) хР— = д(х)1 = 1Б(х) = д. 1 1 1 1 х х х х 15. а) Покажите, что фундаментальное решение Е для линейного оператора А: Ю' -+ 7?', вообще говоря, определено неоднозначно — с точностью до любого решения однородного уравнения А~ = О. Ь) Рассмотрим дифференциальный оператор д д" ~уу — 1 Р х, —:= — + а~(х) +...
+ а„(х). дх у.йх" дх"-' Покажите, ято если но = но(х) такое решение уравнения Р (х, ~~ ио = (и — 2) = О, которое удовлетворяет начальным условиям и0(0) = ... = ив (0) = О, и~," У(0) = 1, то функция Е(х) = Н(х)и0(х) (где Н(Х) — функция Хевисайда) является фундаментальным решением для оператора Р х, ~~~. д с) Найдите указанным способом фундаментальные решения для операто- ров — +а, +а~, —, — +а, тЕМ й) Используя полученные результаты и свертку, наидите решения уравне- ний —" = у, (~ ~-а) =у, где у' Е С(И,И). ~ 5 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 5б1 ~ 5.
Кратные интегралы, зависящие от параметра 1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметра. Пусть Х измеримое подмножество К", например, ограниченная область с гладкой или кусочно гладкой границей; У некоторое подмножество ~к. Рассмотрим зависящий от параметра у Е У интеграл Р(у) = Дх,у) Их, Х где функция ~ предполагается определенной на множестве Х х У и интегрируемой на Х при любом фиксированном значении у Е У. Для интеграла (1) справедливы следующие утверждения. Утверждение 1. Если Х х У вЂ” компакт в К"+, и ~ е С(Х х У), то Р Е С(У).
Утверждение 2. Если У вЂ” область в К", ~ е С(Х х У) и ~ е ду' Е С(Х х У), то функция Р дифференцируема в У по переменной у', где у = (у,...,у',...,у™) и дР д~ — (у) = — (х,у) Их. дуг дуг (2) Х Утверждение 3. Если Х и У вЂ” измеримые компакты в К" и ~™ В первых двух пунктах этого параграфа будут указаны свойства собственных и несобственных кратных интегралов, зависящих от параметра.
Общий итог этих пунктов состоит в том, что основные свойства кратных интегралов, зависящих от параметра, по существу не отличаются от соответствующих свойств подробно рассмотренных выше одномерных интегралов, зависящих от параметра. В третьем пункте мы рассмотрим важный для приложений случай несобственного интеграла, особенность которого сама зависит от параметра. Наконец, в четвертом пункте будет рассмотрена свертка функций многих переменных и некоторые специфически многомерные вопросы обобщенных функций, тесно связанные с интегралами, зависящими от параметра, и классическими интегральными формулами анализа.
ГЛ. ХУ11. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА бб2 соответственно, а 1 Е С(Х х У), то Р Е С(У) С Я.(У) и Р(у) Йу:= Йу Дх, у) Их = с2х 1(х, у) йу. (3) Отметим, что значения функции 1 могут при этом лежать в любом векторном нормированном пространстве У. Важнейшие частные случаи когда У есть К, С, К" или С". В этих случаях проверка утверждений 1 — 3, очевидно, сводится к их доказательству при У = К. Но при Я = К доказательства утверждений 1 и 2 дословно повторяют доказательства соответствующих утверждений для одномерного интеграла (см. гл.
ХУ11, ~ 1), а утверждение 3 является простым следствием утверждения 1 и теоремы Фубини (гл. Х1, ~ 4). Пример 1. Интеграл Р(Л) = е ( +" )Ихф ЦТо есть точек, в любой окрестности которых функция 1 неограничена. Если и множество Х неограничено, то из Х удаляется также окрестность бесконечности. 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра.
Если в интеграле (1) неограничены множество Х с К" или функция 1, то он понимается как несобственный кратный интеграл (см. гл. Х1, ~6), т.е. как предел собственных интегралов, взятых по множествам соответствующего исчерпания Х. При исследовании кратных несобственных интегралов, зависящих от параметра, как правило, интересуются специальными исчерпаниями, подобными тем, которые мы рассматривали в одномерном случае. В полном соответствии с одномерным случаем из области интегрирования Х при этом удаляют с-окрестность множества особых точек ), находят интеграл по остав- Ц шейся части Х, множества Х и затем находят предел значений интегралов по Х, при я -~ +О. Если указанный предельный переход является равномерным относительно параметра у Е У, то говорят, что несобственный интеграл (1) сходится равномерно на У.
~ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 5бЗ получается предельным переходом Г е — л(х +у ) и'х о',у . 11п1 е — л(х +у ) с~х Ду я-++О ~2+у2 (1/~2 щ2 и, как легко проверить, используя полярные координаты, он сходится при Л > О. Далее, на множестве Ел, = (Л Е К ) Л > Ло > О) он сходится равномерно, поскольку при Л Е ЕЛ, 0 < — Л(х +у2) у у < — ~о(х +у ) + у 2 > 1 7 ~2+у2>1/~2 а последний интеграл стремится к нулю, когда е' -+ 0 (исходный инте- грал Р(Л) сходится при Л = Ло > О).
Пример 2. Пусть, как всегда, В(а,т) = (х Е К" ) )х — а) < т) шар радиуса г с центром а Е К", и пусть у Е К". Рассмотрим интеграл Р(у) = )х — у) Их:= 1пп )х — у~ Их. (1 — $х~) -++о (1 — 1х~) В(0,1 — я) В(0,1) Переходя к полярным координатам в 2Р, убеждаемся, что данный интеграл сходится лишь при а < 1.
Если значение а < 1 фиксировано, то по параметру у интеграл сходится равномерно на любом компакте У С Г', поскольку в зтом случае ~х — у~ < М(У) Е К. 19 — 4574 Отметим, что в рассмотренных примерах множество особых точек интеграла не зависело от параметра. Таким образом, если принять указанное выше понимание равномерной сходимости несобственного интеграла с фиксированным множеством особых точек, то ясно, что все основные свойства таких кратных несобственных интегралов, зависящих от параметра, получаются из соответствующих свойств собственных кратных интегралов и теорем о предельном переходе для семейств функций, зависящих от параметра. Мы не останавливаемся на переизложении зтих в принципе уже знакомых нам фактов, а предпочтем использовать развитый аппарат при рассмотрении следующей весьма важной и часто встречающейся ситуации, когда особенность несобственного интеграла (одномерного или кратного) сама зависит от параметра.
ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 564 3. Несобственные интегралы с переменной особенностью Пример 3. Как известно, потенциал помещенного в точку х Е б ~~ единичного заряда выражается формулой У(х, у) = —, где у— ~х — у~' переменная точка пространства 1~~. Если теперь заряд распределен в ограниченной области Х с Кз с ограниченной плотностью и(ж) (равной нулю вне Х), то потенциал У(у) так распределенного заряда (в силу аддитивности потенциала), очевидно, запишется в виде (4) Роль параметра в последнем интеграле играет переменная точка у е ~~.
Если точка у лежит вне множества Х, то интеграл (4) собственный, если же у Е Х, то ~х — у~ -+ О при Х Э ж -+ у и точка у оказывается особой для интеграла. С изменением у эта особая точка, таким образом, перемещается. Поскольку У(у) = 1пп У,(у), где е — ~+0 Х~В(у,ы) то естественно, как и прежде, считать, что рассматриваемый интеграл (4) с переменной особенностью сходится равномерно на множестве У, если У,(у) ==1 У(у) на У при с -+ +О.
Мы приняли, что ~р(ж)~ ( М Е 2 на Х, поэтому <М =2ггМс. г 1* — у! ХЙВ(у,ы) В(у,с) Эта оценка показывает, что ~У(у) — У,(у) ~ ( 2ггМс2 при любом у Е е Ф, т.е. в указанном смысле интеграл (4) сходится равномерно на множестве у = Кз. В частности, если проверить, что функция У,(у) непрерывна по у, то отсюда уже можно будет из общих соображений сделать вывод о непрерывности потенциала У(у). Но непрерывность функции У,(у) формально не вытекает из утверждения 1 о непрерывности собственного ~ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 565 интеграла, зависящего от параметра, так как в нашем случае с изменением у меняется область интегрирования Х ~ В(у,е). Рассмотрим поэтому внимательнее вопрос о непрерывности функции У,(у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
