Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Дифференцируя под знаком интеграла, убеждаемся, что при у > О ГЛ, ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 542 т. е. функция и удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводно- сти с начальным условием и(х, 0) = ~(х). Последнее равенство следует трактовать как предельное соотношение и(х, ~) ~ ~(х) при ~ ~ +О, вытекающее из утверждения 5. *4. Начальные представления о распределениях Пример 7. Рассмотрим материальную точку массы т, способную перемещаться вдоль оси и связанную с началом координат упругой пружиной; й коэффициент упругости пружины.
На покоящуюся в начале координат точку начинает действовать зависящая от времени сила ~(8), смещающая точку вдоль оси. В силу закона Ньютона (10) тх+Йх = ~, где х(8) координата точки (смещение от положения равновесия) в момент 8. При указанных условиях функция х(~) однозначно определяется функцией ~ и решение х(8) дифференциального уравнения (10), очевидно, линейно зависит от его правой части ~. Таким образом, мы имеем А дело с линейным оператором ~ ~-~ х, обратным к дифференциальному а. Определение обобщенных функций.
В п. 1 настоящего параграфа мы на эвристическом уровне вывели формулу (1), дающую возможность определить отклик линейного преобразователя А на входной сигнал ~ по известной аппаратной функции Е прибора А. При определении аппаратной функции прибора существенно использовалось некоторое интуитивное представление о единичном импульсном воздействии и описывающей его о-функции. Ясно, однако, что о-функция на самом-то деле не является функцией в классическом понимании этого термина, поскольку она должна обладать следующим противоречивым с классической точки зрения набором свойств: о(х) > 0 на К; о(х) = 0 при х ~ 0; ~ О(х) Их = 1.
К Понятия, связанные с линейными операторами, сверткой, о-функцией и аппаратной функцией прибора приобретают точные математические описания в так называемой теории обобщенных функций или, иначе, теории распределений. Исходные посылки этой теории и начальные сведения о все шире используемом ее аппарате мы собираемся сейчас изложить. ~ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 543 в ~ д2 оператору х н ~ ~ В = т — + Й, связывающему х(8) и ~(8) соотношер~2 кием Вх = ~. Поскольку оператор А, очевидно, сохраняет сдвиги по времени, то, чтобы найти отклик х(8) описанной механической системы на функцию ~®, достаточно ввиду формулы (1) знать отклик на единичное импульсное воздействие о, т.
е. достаточно знать (так называемое фундаментальное) решение Е уравнения тЕ+ ИЕ = о. Соотношение (11) не вызвало бы вопроса, если бы о действительно обозначало функцию. Однако пока равенство (11) неясно. Но формально неясно и фактически неверно совсем разные ситуации. В нашем случае надо лишь уяснить смысл равенства (11). Один путь к такому разъяснению нам уже знаком: о можно понимать как имитирующее о-функцию о-образное семейство классических функций Ь,„(Ф), а Е как предел, к которому стремятся решения Е„(8) уравнения тЕ +ИЕ =Ь (10') при соответствующем изменении параметра ж Пример 8.
Пусть ~ Е С(К,К), В качестве пробных возьмем функции класса Со (непрерывные финитные на К). Функция ~ порождает следующий, действующий на Со функционал Используя о-образные семейства финитных функций, легко понять, что (~, р) = 0 на Со в том и только в том случае, когда ~(х) = 0 на 2.
Другой, имеющий свои значительные преимущества, подход к обсуждаемому вопросу состоит в принципиальном расширении представления о функции. Он исходит из того, что вообще объекты наблюдения характеризуются их взаимодействием с другими («пробными») объектами. Так и функцию предлагается рассматривать не как набор значений в различных точках, а как объект, способный определенным образом действовать на другие (пробные) функции. Конкретизируем это пока слишком общее высказывание. ГЛ. ХУП.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 544 Пример 9. Функционал 0 е .С(С0, К) определяется соотношением которое должно быть выполнено для любой функции ~р Е С0. Можно проверить (см. задачу 7), что никакая локально интегрируемая на К функция 1" не способна представить функционал 0 в виде (12). Итак, мы вложили множество классических локально интегрируемых функций в более широкое множество линейных функционалов. Эти линейные функционалы и называют обобщенными функциями или распределениями (точное определение дано ниже). Распространенный термин «распределение» имеет физическое происхождение.
Пример 10. Пусть на К распределена единичная масса (или единичный заряд). Если это распределение достаточно регулярно, в том Таким образом, каждая функция 1" Е С(К, Щ порождает в силу (12) линейный функционал А: С0 — ~ К, и, подчеркнем, при этом различным функциям ~~, Ь соответствуют различные функционалы Ау„Ау,. Значит, формула (12) осуществляет вложение (инъективное отображение) множества С(2,К) функций в множество .С(С0.,Щ линейных функционалов на С0 и, следовательно, каждую функцию 1" Е С(2,К) можно интерпретировать как некоторый функционал Ау Е .С(С0, Щ. Если вместо множества С(2, К) непрерывных функций рассмотреть множество функций, локально интегрируемых на К, то по той же формуле (12) получается отображение указанного множества в пространство .С(С0, К).
При этом ((~, ~р): — О на С0) ~ ®х) = О во всех точках непрерывности функции 1' на К, т. е. Дх) = О почти всюду на Щ. Значит, в рассматриваемом случае получается вложение в .С(С0, К) классов эквивалентных функций, если в один класс отнести локально интегрируемые функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль. Итак, локально интегрируемые на К функции 1' (точнее, классы их эквивалентности) в силу формулы (12) можно интерпретировать как линейные функционалы Ау е .С(С0',К). Осуществляемое по формуле (12) отображение 1" ~-+ Ау = (1", ) локально интегрируемых функций в пространство .С(С0, Щ не является отображением на все .С(С0., Щ, поэтому, интерпретируя функции как элементы .С(С0, К) (т.
е. как функционалы), мы, кроме классических функций, интерпретируемых как функционалы вида (12), получим и новые функции (функционалы), не имеющие прообраза в классических функциях. ~ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 545 смысле, что оно имеет, например, непрерывную или интегрируемую на К плотность р(х), то взаимодействие массы М с другими объектами, описываемыми функциями ~р Е Св, может задаваться в виде (оо) функционала М(~р) = р(х)~р(х) ах. показывающей, что такое распределение массы на К следует отожде- ствить с о-функцией (13) на 2. Проведенные предварительные рассмотрения делают осмысленным следующее общее Определение 6. Пусть Р линейное пространство функций, называемое в дальнейшем пространством основных или пробных функций с определенной в Р сходимостью функций. Пространством обобщенных функций или распределений над Р назовем линейное пространство Р' линейных непрерывных (вещественноили комплекснозначных) функционалов на Р.
При этом предполагается, что каждый элемент ~ Е Р порождает некоторый функционал Ау = (~, ) Е Р' и что отображение ~ — ~ Ау является непрерывным вложением Р в Р', если сходимость в Р' вводится как слабая («поточечная») сходимость функционалов, т. е. Р' э А„-+ А е Р':= Жр е Р (А„(~р) — ~ А(~р)), Уточним это определение в конкретном случае, когда Р есть линейное пространство Св (С, С) бесконечно дифференцируемых финит(оо) ных в С функций, где С произвольное открытое подмножество К (быть может, и совпадающее с К). Определение 7 (пространств Ю и Ю').
Сходимость в Св )(С,С) введем следующим образом: последовательность (~р„) функций ~р„Е Если распределение сингулярно, например, вся масса М сосредоточена в одной точке, то, «размазывая» массу и интерпретируя предельную точечную ситуацию с помощью о-образного семейства регулярных распределений, получаем, что взаимодействие массы М с указанными выше другими объектами должно выражаться формулой ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 546 Е Со (С,с) будет считаться сходящеися к функции ~р е Св (С,с), (оо) (оо) если существует компакт Л с С, в котором содержатся носители всех функций последовательности (~р„) и при любом значении т = О, 1, 2,... ~р„):$ ~р~~) на Л (а значит, и на С), когда и — ~ оо. Получаемое при этом линейное пространство с заданной в нем сходимостью принято обозначать символом Ю(С), а когда С = К символом Ю. Соответствующее этому пространству основных (пробных) функций пространство обобщенных функций (распределений) обозначают символом Ю'(С) или Ю' соответственно.
В этом и следующем параграфах мы не будем рассматривать никаких других обобщенных функций, кроме элементов введенного пространства Р'(С), поэтому без специальных оговорок будем употреблять термин распределение или обобщенная функция, имея в виду элементы Р'(С). Определение 8. Распределение Р е Ю'(С) называется регулярным, если его можно представить в виде Р(~р) = ~(х)~р(х) Йх, ~р е Ю(С), где 1 — локально интегрируемая в С функция. Нерегулярные распределения называют сингулярными распределениями или сингулярными обобщенными функциями. В соответствии с этим определением о'-функция (из примера 9) является сингулярной обобщенной функцией.
Действие обобщенной функции (распределения) Р на основную (пробную) функцию ~р, т.е. спаривание Р и ~р будем, как и прежде, обозначать одним из двух равнозначных символов Р(~р) или (Р, ~р). Прежде чем переходить к техническому аппарату, связанному с обобщенными функциями, ради которого мы и привели определение обобщенной функции, отметим, что само понятие обобщенной функции, как и большинство математических понятий, имело определенный период внутриутробного развития, когда оно лишь неявно зарождалось в трудах ряда математиков.
Физики, вслед за Дираком, уже в конце двадцатых — начале тридцатых годов активно использовали о-функцию и оперировали с сингу- ~ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 547 лярными обобщенными функциями, не смущаясь отсутствием должной математической теории. В явном виде идея обобщенной функции была высказана С. Л. Соболевым1), заложившим в середине тридцатых годов математические основы теории обобщенных функций. Современное состояние аппарата теории распределений в значительной степени связано с выполненными в конце сороковых годов работами Л. Шварца2).
Сказанное поясняет, почему, например, пространство Ю' обобщенных функций часто называют пространством обобщенных функций Соболева — Шварца. Изложим теперь некоторые элементы аппарата теории распределений. Развитие и расширение использования этого аппарата продолжается и в наши дни, в основном в связи с потребностями теории дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, функционального анализа и их приложений. Для упрощения записи мы будем рассматривать дальше только обобщенные функции класса Ю', хотя все их свойства, как будет видно из определений и доказательств, остаются в силе для распределений любого класса Ю'(С), где С произвольное открытое подмножество К.
Действия с распределениями определяются, исходя из интегральных соотношений, справедливых для классических функций, т. е. для регулярных обобщенных функций. Ь. умножение распределения на функцию. Если ~ локально интегрируемая на К функция, а д Е С(оо), то при любой функции ~р б Е С0, с однои стороны, д~р б С0, а с другои стороны, имеет место (со) г (оо) очевидное равенство или, в других обозначениях, '~ С. Л. Соболев (1908 — 1989) — один из наиболее крупных советских математиков. 2~Л.Шварц (род. 1915) — известный современный французский математик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
