Главная » Просмотр файлов » Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А.

Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 91

Файл №1238793 Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А.) 91 страницаУчебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793) страница 912020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 91)

Ь. Симметричность. Проверим, что В(а„В) = В(,В,а). < Для доказательства достаточно в интеграле (1) сделать замену переменной х = 1 — 8. ~ В этом и следующем параграфах будет продемонстрировано приложение развитой выше теории к некоторым важным для анализа конкретным интегралам, зависящим от параметра. Эйлеровыми интегралами первого и второго рода соответственно называют, следуя Лежандру, две следующие специальные функции: ГЛ.

ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 516 с. <Формула понижения. Если а ) 1, то имеет место равенство В(а„8) = В(а — 1„8). (4) а+,8 — 1 < Выполняя при а ) 1 и,8 ) 0 интегрирование по частям и тождественные преобразования, получаем 1 В(а,,8) = — — х~ 1(1 — х)8 + х~ 2(1 — х)8дх = ,8,8 / х~ 2((1 — х)8 1 — (1 — х)~ 1х) сЬ = а — 1 а — 1 В(а — 1„8) — В(а„8), ,8 откуда и следует формула понижения (4).

~ и — (и — 1) В( 1) а+ и — (и — 1) (5) а(а + 1).... (а + и — 1) и — 1 и — 2 В(а, и)— а+и — 1 а+и — 2 В частности, при т, и е И (т — 1)! (и — 1)! В(т, и) (6) й. Другое интегральное представление функции В. Иногда бывает полезно следующее представление бета-функции: +о~ У В(а„8) = Иу. о < Оно получается из (1) заменой переменной х = ~+ — „. ~ (7) Учитывая формулу (3), можно теперь записать формулу понижения В(а„8) = В(а„8 — 1) (4') а+,8 — 1 по параметру,8, считая, разумеется, что,8 ) 1. Непосредственно из определения функции В видно, что В(а, 1) = ~, поэтому при и Е И получаем ~ 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 517 2.

Гамма-функция а. Область определения. Из формулы (2) видно, что задающий функцию Г интеграл сходится в нуле лишь при а ) О, а на бесконечности, за счет быстро убывающего множителя е *, сходится при любом значении а Е 2. Таким образом, функция Г определена при а ) О. Ь. Гладкость и формула для производных. Функция Г бесконечно дифференцируема, причем Г®(а) = х~ 11п" хе *Их.

(8) ~х~ 1п" хе *~ < х2 при 0 < х < с„. Значит, на основании мажорантного признака равно- мерной сходимости можно заключить, что интеграл Г Сд х~ 11п" хе *Их о сходится равномерно по а на промежутке [а, +ос[. Если же а < 6 < +ос, то при х ) 1 )х 11п" хе *) < х~ ~)1п" х)е *, и аналогично заключаем, что интеграл сходится равномерно по а на промежутке 10, 61. < Проверим сначала, что при любом фиксированном значении и Е Е 1Ч интеграл (8) сходится равномерно относительно параметра а на каждом отрезке [а, 6] С10, +ос[.

Если 0 < а < а, то (поскольку х'"~2 1пп х + 0 при х -+ +0) найдется число с„) 0 такое, что ГЛ. Х'Л1. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 518 с. ~Формула понижения. Имеет место соотношение (9) Г(а+ 1) = аГ(а), называемое формулой понижения для гамма-функции. < Интегрируя по частям, находим, что при а ) 0 +со +со Г(а+1) '= х е *йх= — х е *~0+ +а х~ 1е *Их= 0 0 +со = а х е хдх = аг(а) 1 +со М Поскольку Г(1) = ~ е *сЬ = 1, заключаем, что при и Е 0 (10) Г(и+ 1) = и~ Таким образом, функция Г оказалась тесно связаннои с теоретикочисловой арифметическои функциеи и.

й. <Формула Эйлера — Гаусса. Так обычно называют следующее равенство: (и — 1)! Г(а) = 1пп и ~-~со а(а+ 1) ... (а+ и — 1) ' < Для его доказательства сделаем в интеграле (2) замену перемении Г: ной х = 1п — и получим новое интегральное представление функции й 1 Г(а) = 1п~ — Ии. 0 (12) Совмещая эти выводы, получаем, что интеграл (8) сходится равномерно на любом отрезке [а, о] С]0, +ос[. Но при этих условиях дифференцирование под знаком интеграла (1) законно. Значит, на любом таком отрезке [а, о], а следовательно и на всем промежутке 0 ( а, функция Г бесконечно дифференцируема и справедлива формула (8). ~ ~ 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 519 1 1 1п~ — Ии = 1пп пп (1 — и ~~)~ Ии.

и  — ~ОО о о (13) Сделав в последнем интеграле замену переменной и = о", из (12), (13), (1), (3) и (5) получаем 1 Г(а) = 1пп и и" (1 — и)~ сЬ = о = 1пп п~В(п, а) = 1пп п~В(а, п) = (и — 1)! = 11шп о — ~со а(а+1).... (а+ п — 1) Применяя к доказанному для а > 1 соотношению Г(а) = 1пп п~В(а, п) формулы понижения (4) и (9), убеждаемся в справедливости форму- лы (11) при всех а > О. ~ е. <Формула дополнения.

При 0 < а < 1 значения а и 1 — а аргумента функции Г называют взаимно дополнительными, поэтому ра- венство Г(а).Г(1 — а) = . (0<а<1) нп ~та (14) называют формулой дополнения для еамма-функции. < Используя формулу Эйлера — Гаусса (11), после простых тождественных преобразований находим, что (п — 1)! Г(а)Г(1 — а) = 1пп (и х — ( (,) В примере 3 ~ 3 гл. Х'Ч1 было показано, что последовательность функций ~„(и) = п(1 — и 1"), монотонно возрастая, сходится на промежутке 0 < и < 1 к функции 1п ~ц при п -+ оо. Используя следствие 2 из ~ 2 /1~ (см. также пример 10 из ~ 2), заключаем, что при и > 1 ГЛ.

ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 520 Итак,приО<а<1 (15) Но имеет место классическое разложение ОО „2 яп ~та = ~та 1 —— п2 я=1 (16) Из формулы (14), в частности, следует, что Г( — ) =~/т. (17) Заметим, что (Сейчас мы не останавливаемся на его доказательстве, поскольку позже, при рассмотрении рядов Фурье, оно будет получено в качестве простого примера использования общей теории; см. гл.

ХЧШ, ~ 2, пример 6.) Сопоставляя соотношения (15) и (16), приходим к формуле (14). ~ 521 ~ З. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 1 е "Ии= — ~Я. 2 3. Связь между чун функциями В и Г. Сопоставляя формулы (6) и (10), можно заподозрить следующую взаимосвязь: Г(а) Г(,В) В( „В) = Г( +Р) между функциями В и Г.

Докажем эту формулу. < Заметим, что при у ) 0 Г(а) = у~ х -1е-хУйх поэтому справедливо также равенство ~1~+ Р) ' У „~-1 +Р-1 -(1+у)*,~ О+У).+ о используя которое, с учетом формулы (7), получаем Г(а+ 8)у~ 11+„)-+~ "= 0У = о +со у ~ х е +8 ~ +")* Ц,х о Г о — 1 о+Д вЂ” 1 — (1+у) х у х е Г(а +,8) . В(а„В) = +со О н и таким образом, мы вновь получаем значение интеграла Эилера— 7 Пуассона: ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 522 х8 ~е * (ху) е ~*У~хИу сЬ = х~ е * ~и ~е "Ии сЬ = Г(а) Г(В). Нам остается объяснить отмеченное восклицательным знаком равенство. Но именно оно было рассмотрено в примере 16 из ~ 2.

> 4. Некоторые примеры. Рассмотрим в заключение небольшую группу взаимосвязных примеров, в которых встречаются введенные здесь специальные функции В и Г. Пример 1. ~г/2 1 а,В~ яп гр сов- гр игр = — В ° ~ — 1 2 2'2,/ (19) < Для доказательства достаточно в интеграле сделать замену переменной яп2 гр = х.

$» Используя формулу (18), интеграл (19) можно выразить через функцию Г. В частности, с учетом (17) получаем ~г/2 ~г/2 Г яп~ у с~гр = сов~ гр с~гр =— о-1 о — 1 1~ (2) 2 Г(+) (20) ~г/2 т Ъг~(т) = Сг~ 1(Т вЂ” Х ) ~ ИХ = — т С„1 СОВ" гР С6Р т", — ~г/2 Пример 2. Одномерный шар радиуса т это попросту отрезок, а его (одномерный) объем ~~(т) — это длина 2т такого отрезка. Итак, Ъ'1(т) = 2т. Если считать, что ((и — 1)-мерный) объем (и — 1)-мерного шара радиуса т выражается формулой К, 1(т) = с„1т", то, интегрируя по сечениям (см.

пример 3 ~4 гл. Х1), получаем ~ 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 523 т.е. У„'(т) = с„т", где ~г/2 с„= 2сп 1 сов" ~рсфср. таким образом, „, г( ) г(-) г(-) ( ) Г(п+2) Г(п+1) ''' Г(4) или,короче, Г (3) Сп = 7Г ~ ( 2)С1. Но с1 = 2, а Г ~~~ = ~Г ~ц = -~~~, поэтому Г (п~2) ' Следовательно, или, что то же самое, -",Г ® (21) Пример 3. Иэ геометрических соображений ясно, что сК,(т) = = Яп 1(т) Йт, ГДЕ Яп 1(т) (П вЂ” 1)-МЕРНаЯ ПЛОЩаДЬ СФЕРЫ, ОГРаНИЧИВающей в 5Р и-мерный шар радиуса т. Таким образом, Яп 1(т) = -~(т), и с учетом формулы (21), полу<~оп чаем 11 Яп 1(т) = „т" Г 2 Благодаря соотношениям (20), последнее равенство можно перепи- сать в виде Г (п+1) Сп ~, +2)Сп1 г(" ( г ГЛ.

ХЪ'П. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 524 Задачи и упражнения 3. Формула Эйлера Е:= П Г ® = 2-~- —. уу — 1 а) Покажите, что Ее = П Г (Е) Г (" „"). й=1 с) Исходя из тождества ~ —:~- — — П ~г — е' ), получите при г -+ 1 й=1 1.

Покажите, что: а) В(1/2,1/2) = ~г. Ъ) В(а,1 — а) = ]'-х+ — Их. о 1 с) ~~~ (а, /У) = / х 1(1 — х) ~ ' 1п х сКх. о о +ос ИХ йу И лйи Их 2йу 1+ х~ з~Гз +ос -"-1 — ~ — -*- —— ,—, (О < а < Ц. о +' о 1) Длина кривой, задаваемой в полярных координатах уравнением т"' = = а" сов п~р, где и Е И и а ) О, выражается формулой аВ 2. Покажите, что: а) Г(1) = Г(2); Ъ) производная Г' функции Г в некоторой точке хо е]1,2[ обращается в нуль; с) функция Г' является монотонно возрастающей на промежутке ]О, +оо[; с1) функция Г монотонно убывает на промежутке ]О, хо] и возрастает на промежутке [хо, +со[; е) интеграл / ~1п „вЂ” ) 1п1п — „с1и равен нулю при х = хо,.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,07 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее