Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Ь. Симметричность. Проверим, что В(а„В) = В(,В,а). < Для доказательства достаточно в интеграле (1) сделать замену переменной х = 1 — 8. ~ В этом и следующем параграфах будет продемонстрировано приложение развитой выше теории к некоторым важным для анализа конкретным интегралам, зависящим от параметра. Эйлеровыми интегралами первого и второго рода соответственно называют, следуя Лежандру, две следующие специальные функции: ГЛ.
ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 516 с. <Формула понижения. Если а ) 1, то имеет место равенство В(а„8) = В(а — 1„8). (4) а+,8 — 1 < Выполняя при а ) 1 и,8 ) 0 интегрирование по частям и тождественные преобразования, получаем 1 В(а,,8) = — — х~ 1(1 — х)8 + х~ 2(1 — х)8дх = ,8,8 / х~ 2((1 — х)8 1 — (1 — х)~ 1х) сЬ = а — 1 а — 1 В(а — 1„8) — В(а„8), ,8 откуда и следует формула понижения (4).
~ и — (и — 1) В( 1) а+ и — (и — 1) (5) а(а + 1).... (а + и — 1) и — 1 и — 2 В(а, и)— а+и — 1 а+и — 2 В частности, при т, и е И (т — 1)! (и — 1)! В(т, и) (6) й. Другое интегральное представление функции В. Иногда бывает полезно следующее представление бета-функции: +о~ У В(а„8) = Иу. о < Оно получается из (1) заменой переменной х = ~+ — „. ~ (7) Учитывая формулу (3), можно теперь записать формулу понижения В(а„8) = В(а„8 — 1) (4') а+,8 — 1 по параметру,8, считая, разумеется, что,8 ) 1. Непосредственно из определения функции В видно, что В(а, 1) = ~, поэтому при и Е И получаем ~ 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 517 2.
Гамма-функция а. Область определения. Из формулы (2) видно, что задающий функцию Г интеграл сходится в нуле лишь при а ) О, а на бесконечности, за счет быстро убывающего множителя е *, сходится при любом значении а Е 2. Таким образом, функция Г определена при а ) О. Ь. Гладкость и формула для производных. Функция Г бесконечно дифференцируема, причем Г®(а) = х~ 11п" хе *Их.
(8) ~х~ 1п" хе *~ < х2 при 0 < х < с„. Значит, на основании мажорантного признака равно- мерной сходимости можно заключить, что интеграл Г Сд х~ 11п" хе *Их о сходится равномерно по а на промежутке [а, +ос[. Если же а < 6 < +ос, то при х ) 1 )х 11п" хе *) < х~ ~)1п" х)е *, и аналогично заключаем, что интеграл сходится равномерно по а на промежутке 10, 61. < Проверим сначала, что при любом фиксированном значении и Е Е 1Ч интеграл (8) сходится равномерно относительно параметра а на каждом отрезке [а, 6] С10, +ос[.
Если 0 < а < а, то (поскольку х'"~2 1пп х + 0 при х -+ +0) найдется число с„) 0 такое, что ГЛ. Х'Л1. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 518 с. ~Формула понижения. Имеет место соотношение (9) Г(а+ 1) = аГ(а), называемое формулой понижения для гамма-функции. < Интегрируя по частям, находим, что при а ) 0 +со +со Г(а+1) '= х е *йх= — х е *~0+ +а х~ 1е *Их= 0 0 +со = а х е хдх = аг(а) 1 +со М Поскольку Г(1) = ~ е *сЬ = 1, заключаем, что при и Е 0 (10) Г(и+ 1) = и~ Таким образом, функция Г оказалась тесно связаннои с теоретикочисловой арифметическои функциеи и.
й. <Формула Эйлера — Гаусса. Так обычно называют следующее равенство: (и — 1)! Г(а) = 1пп и ~-~со а(а+ 1) ... (а+ и — 1) ' < Для его доказательства сделаем в интеграле (2) замену перемении Г: ной х = 1п — и получим новое интегральное представление функции й 1 Г(а) = 1п~ — Ии. 0 (12) Совмещая эти выводы, получаем, что интеграл (8) сходится равномерно на любом отрезке [а, о] С]0, +ос[. Но при этих условиях дифференцирование под знаком интеграла (1) законно. Значит, на любом таком отрезке [а, о], а следовательно и на всем промежутке 0 ( а, функция Г бесконечно дифференцируема и справедлива формула (8). ~ ~ 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 519 1 1 1п~ — Ии = 1пп пп (1 — и ~~)~ Ии.
и  — ~ОО о о (13) Сделав в последнем интеграле замену переменной и = о", из (12), (13), (1), (3) и (5) получаем 1 Г(а) = 1пп и и" (1 — и)~ сЬ = о = 1пп п~В(п, а) = 1пп п~В(а, п) = (и — 1)! = 11шп о — ~со а(а+1).... (а+ п — 1) Применяя к доказанному для а > 1 соотношению Г(а) = 1пп п~В(а, п) формулы понижения (4) и (9), убеждаемся в справедливости форму- лы (11) при всех а > О. ~ е. <Формула дополнения.
При 0 < а < 1 значения а и 1 — а аргумента функции Г называют взаимно дополнительными, поэтому ра- венство Г(а).Г(1 — а) = . (0<а<1) нп ~та (14) называют формулой дополнения для еамма-функции. < Используя формулу Эйлера — Гаусса (11), после простых тождественных преобразований находим, что (п — 1)! Г(а)Г(1 — а) = 1пп (и х — ( (,) В примере 3 ~ 3 гл. Х'Ч1 было показано, что последовательность функций ~„(и) = п(1 — и 1"), монотонно возрастая, сходится на промежутке 0 < и < 1 к функции 1п ~ц при п -+ оо. Используя следствие 2 из ~ 2 /1~ (см. также пример 10 из ~ 2), заключаем, что при и > 1 ГЛ.
ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 520 Итак,приО<а<1 (15) Но имеет место классическое разложение ОО „2 яп ~та = ~та 1 —— п2 я=1 (16) Из формулы (14), в частности, следует, что Г( — ) =~/т. (17) Заметим, что (Сейчас мы не останавливаемся на его доказательстве, поскольку позже, при рассмотрении рядов Фурье, оно будет получено в качестве простого примера использования общей теории; см. гл.
ХЧШ, ~ 2, пример 6.) Сопоставляя соотношения (15) и (16), приходим к формуле (14). ~ 521 ~ З. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 1 е "Ии= — ~Я. 2 3. Связь между чун функциями В и Г. Сопоставляя формулы (6) и (10), можно заподозрить следующую взаимосвязь: Г(а) Г(,В) В( „В) = Г( +Р) между функциями В и Г.
Докажем эту формулу. < Заметим, что при у ) 0 Г(а) = у~ х -1е-хУйх поэтому справедливо также равенство ~1~+ Р) ' У „~-1 +Р-1 -(1+у)*,~ О+У).+ о используя которое, с учетом формулы (7), получаем Г(а+ 8)у~ 11+„)-+~ "= 0У = о +со у ~ х е +8 ~ +")* Ц,х о Г о — 1 о+Д вЂ” 1 — (1+у) х у х е Г(а +,8) . В(а„В) = +со О н и таким образом, мы вновь получаем значение интеграла Эилера— 7 Пуассона: ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 522 х8 ~е * (ху) е ~*У~хИу сЬ = х~ е * ~и ~е "Ии сЬ = Г(а) Г(В). Нам остается объяснить отмеченное восклицательным знаком равенство. Но именно оно было рассмотрено в примере 16 из ~ 2.
> 4. Некоторые примеры. Рассмотрим в заключение небольшую группу взаимосвязных примеров, в которых встречаются введенные здесь специальные функции В и Г. Пример 1. ~г/2 1 а,В~ яп гр сов- гр игр = — В ° ~ — 1 2 2'2,/ (19) < Для доказательства достаточно в интеграле сделать замену переменной яп2 гр = х.
$» Используя формулу (18), интеграл (19) можно выразить через функцию Г. В частности, с учетом (17) получаем ~г/2 ~г/2 Г яп~ у с~гр = сов~ гр с~гр =— о-1 о — 1 1~ (2) 2 Г(+) (20) ~г/2 т Ъг~(т) = Сг~ 1(Т вЂ” Х ) ~ ИХ = — т С„1 СОВ" гР С6Р т", — ~г/2 Пример 2. Одномерный шар радиуса т это попросту отрезок, а его (одномерный) объем ~~(т) — это длина 2т такого отрезка. Итак, Ъ'1(т) = 2т. Если считать, что ((и — 1)-мерный) объем (и — 1)-мерного шара радиуса т выражается формулой К, 1(т) = с„1т", то, интегрируя по сечениям (см.
пример 3 ~4 гл. Х1), получаем ~ 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 523 т.е. У„'(т) = с„т", где ~г/2 с„= 2сп 1 сов" ~рсфср. таким образом, „, г( ) г(-) г(-) ( ) Г(п+2) Г(п+1) ''' Г(4) или,короче, Г (3) Сп = 7Г ~ ( 2)С1. Но с1 = 2, а Г ~~~ = ~Г ~ц = -~~~, поэтому Г (п~2) ' Следовательно, или, что то же самое, -",Г ® (21) Пример 3. Иэ геометрических соображений ясно, что сК,(т) = = Яп 1(т) Йт, ГДЕ Яп 1(т) (П вЂ” 1)-МЕРНаЯ ПЛОЩаДЬ СФЕРЫ, ОГРаНИЧИВающей в 5Р и-мерный шар радиуса т. Таким образом, Яп 1(т) = -~(т), и с учетом формулы (21), полу<~оп чаем 11 Яп 1(т) = „т" Г 2 Благодаря соотношениям (20), последнее равенство можно перепи- сать в виде Г (п+1) Сп ~, +2)Сп1 г(" ( г ГЛ.
ХЪ'П. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 524 Задачи и упражнения 3. Формула Эйлера Е:= П Г ® = 2-~- —. уу — 1 а) Покажите, что Ее = П Г (Е) Г (" „"). й=1 с) Исходя из тождества ~ —:~- — — П ~г — е' ), получите при г -+ 1 й=1 1.
Покажите, что: а) В(1/2,1/2) = ~г. Ъ) В(а,1 — а) = ]'-х+ — Их. о 1 с) ~~~ (а, /У) = / х 1(1 — х) ~ ' 1п х сКх. о о +ос ИХ йу И лйи Их 2йу 1+ х~ з~Гз +ос -"-1 — ~ — -*- —— ,—, (О < а < Ц. о +' о 1) Длина кривой, задаваемой в полярных координатах уравнением т"' = = а" сов п~р, где и Е И и а ) О, выражается формулой аВ 2. Покажите, что: а) Г(1) = Г(2); Ъ) производная Г' функции Г в некоторой точке хо е]1,2[ обращается в нуль; с) функция Г' является монотонно возрастающей на промежутке ]О, +оо[; с1) функция Г монотонно убывает на промежутке ]О, хо] и возрастает на промежутке [хо, +со[; е) интеграл / ~1п „вЂ” ) 1п1п — „с1и равен нулю при х = хо,.