Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Чтобы не отвлекать внимание читателя от основного введенного здесь понятия равномерной сходимости интеграла, мы всюду подразумевали, что речь идет об интегрировании вещественнозначных функций. Вместе с тем, как теперь легко проанализировать, полученные результаты распространяются и на интегралы от векторнозначных функций, в частности, на интегралы от комплекснозначных функций. Здесь стоит только отметить, что, как всегда, в критерии Коши необходимо дополнительно предполагать, что соответствующее векторное пространство значений подынтегральной функции является полным (для 2, С, К", С" это выполнено), а в признаке Абеля— Дирихле, как и в соответствующем признаке равномерной сходимости рядов функций, надо считать вещественнозначным тот сомножитель произведения ~ д, относительно которого предполагается, что он является монотонной функцией.
Все сказанное в равной степени относится и к основным результатам последующих пунктов этого параграфа. ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 499 если на Е сходятся равномерно оба стоящие в правой части равенства интеграла. Легко проверить, что такое определение корректно, т. е. не зависит от выбора точки с Е]6о1,6о2[. 2. Предельный переход под знаком несобственного интеграла и непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра утверждение 4.
Пусть Дх, у) — семейство зависящих от параметра у Е У функций, интегрируемых хотя бы в несобственном смысле на промежутке а < х ( бо, и пусть Ву база в У. Если а) для любого 6 Е [а,бо[ ~(х, у) ~ р(х) на [а, 6~ при базе Ву 1пп ~(х, у) дх = р(х) дх. ор а а (8) ~ Доказательство сводится к проверке следующей диаграммы: [ р(х) ах . а [ р(х) ах а Левый вертикальный предельный переход следует из условия а) и теоремы о предельном переходе под знаком собственного интеграла (см. теорему 3 из ~ 3 гл. ХЧ1). Верхний горизонтальный переход есть запись условия Ь). Ь) интеграл [ ~(х, у) дх сходится равномерно на У, а то предельная функция р несобственно интегрируема на [а,бо[ и справедливо равенство ГЛ.
ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 500 По теореме о коммутировании двух предельных переходов отсюда следует существование и совпадение стоящих под диагональю пределов. Правый вертикальный предельный переход есть то, что стоит в левой части доказываемого равенства (8), а нижний горизонтальный предельный переход дает по определению несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (8) . ~ Следующий пример показывает, что в рассматриваемом случае несобственного интеграла одного условия а) для обеспечения равенства (8),вообще говоря, недостаточно. Пример 9. Пусть У = 1у Е 2 ~ у ) О), а У(х, у) = 1/у, если О < х < у, О, если у < х.
+со У У 1 ~(х, у) дх = 1 (х, у) дх = — дх = 1, у поэтому равенство (8) в данном случае не имеет места. Используя теорему Дини (утверждение 2 ~ 3 гл. ХЧ1), из только что доказанного утверждения 4 можно получить иногда весьма полезное Следствие 2. Пустпь при каждом значении вет4ественного пара- метпра у Е У С К ветцественнозначная функция 1 (х, у) неотрицатель- на и непрерывна на промежутке а ( х < ю. Ясли а) с ростпом у функции ~(х,у), монотпонно возрастпая, стпремятпся на [а, ы[ к функции р(х), Ь) ~р Е С([а,ы[,2) и с) интеграл [ р(х) с~х сходится, а тпо справедливо равенстпво (8).
~ Из теоремы Дини следует, что ~(х, у) ~ р(х) на каждом отрезке [а,о] С [а,ы[. Очевидно, 1 (х, у) ~ О на промежутке О ( х < +со при у -+ +оо. Вместе с тем, при любом у Е У ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 501 Пример 10. В примере 3 из ~ 3 гл. ХЧ1 мы проверили, что последовательность функций ~и(х) = п(1 — х1~") является монотонно возрастающей на промежутке О < х < 1, причем ~и(х) ~ 1п 1 при п — ~ +со. Значит, по следствию 2 1пп п(1 — х ~") с~х = 1п — с~х. 1 и и — +оо х Утверждение 5.
Если а) функция Дх, у) непрерывна на множестве ((х, у) Е К ~ а < х < <ыЛс<у<д), Ь) интеграл Р(у) = / Дх,у) дх сходится равномерно на [с,д], то а функция Р(у) непрерывна на [с, д]. ~ Из условия а) следует, что при любом 6 Е [а,ы[ собственный интеграл Ь Рь(у) = У(х,у) ах а является функцией, непрерывной на [с, д] (см. утверждение 1 ~ 1). По условию Ь) Рь(у) ~ Р(у) на [с, а] при 6 -+ ы, 6 Е [а, ы[, откуда теперь и следует непрерывность на [с, а) функции Р(у).
1ь Пример 11. В примере 8 было показано, что интеграл В1ПХ Р(у) = — е *"ах х (9) сходится равномерно на промежутке О < у < +ос. Значит, на основании утверждения 5 можно заключить, что функция Р(у) непрерывна на каждом отрезке [О, д] С [О, +ос[, т. е.
непрерывна и на всем промежутке Из неравенств О < ~(х, у) < р(х) и мажорантного признака равномерной сходимости вытекает равномерная относительно параметра у сходимость интеграла от ~(х, у) по промежутку а < х < ы. Таким образом, оба условия утверждения 4 выполнены и, значит, имеет место равенство (8). ~ ГЛ. ХЧ11. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 502 О ( у ( +со. В частности, отсюда следует, что в1п х в1п х 1пп ху цх ах. у++О х х (10) 3. Дифференцирование несобственного интеграла по пара- метру утверждение 6.
Если а) функции Дх,у), ~„'(х, у) непрерывны на множестве ((х,у) Е 2 а<х<ыЛс<у<а), Ь) интеграл Ф(у) = / Д(х,у) дх сходится равномерно на множеса тве У = [с,а1, а с) интеграл Р(у) = [ 1(х, у) дх сходится хотя бы при одном значеа нииуоЕУ, то он сходится, и даже равномерно, на всем множестве У; при этом функция Р(у) оказывается дифференцируемой и справедливо ра- венство Р'(у) = Дх, у) ах.
а ~ В силу усювия а) при любом 6 Е [а, ы[ функция Рь(у) = У(х,у) дх а (Рь)ц(у) = ~„'(х, у) ах. а В силу усювия Ь) семейство зависящих от параметра 6 е [а, ы[ функций (Рь)'„(у) сходится равномерно на [с,д] к функции Ф(у) при 6-+ ы, 6 Е [а,ы[. определена и дифференцируема на промежутке с ( у ( а, и по правилу Лейбница 'о 32. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 503 По условию с) величина Р~(уо) имеет предел при 6 -+ ы, 6 е [а, ы[. Отсюда следует (см. теорему 4 3 3 гл. ХЧ1), что само семейство функций Р~(у) сходится на [с, д] равномерно к предельной функции Р(у), когда 6 -+ ы, 6 Е [а, ы[, при этом функция Р оказывается дифференцируемой на промежутке с ( у ( д и имеет место равенство Р'(у) = Ф(у).
Но это как раз то, что и требовалось доказать. ь Пример 12. При фиксированном значении а ) О интеграл Г х е *"дх о сходится равномерно относительно параметра у на любом промежутке вида 1у Е К ~ у ) уо ) 01: это следует из оценки О ( х е *" < х~е *"' < — х-я < е * ~, справедливои при всех достаточно больших значениях х Е Я.
Значит, по утверждению 6, функция Р(у) = е *"дх бесконечно дифференцируема при у ) О и Р®(у) = ( — 1)" х е *"дх. Но Р(у) = —, поэтому Р("~ (у) = ( — 1)" — „"+г, и, следовательно, можно заключить,что +со Г и.' х"е *"дх = и+1 ' о В частности, при у = 1 получаем Г + со х"е дх = и.' о Пример 13. Вычислим интеграл Дирихле Г а1пх дх. х о ГЛ. ХУП.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 504 Для этого вернемся к интегралу (9) и заметим, что при у > 0 Р'(у) = — япхе *"Ох, поскольку интеграл (11) сходится равномерно на любом множестве вида (у Е К ) у > уо > О). Интеграл (11) легко вычисляется через первообразную подынтегральной функции и получается, что 1 Р'(у) = — при у > О, 2 откуда следует, что (12) Р(у) = — агсф~у+ с при у > О. При у -+ +ос, как видно из соотношения (9), Р(у) -+ О, поэтому из (12) следует, что с = ~г/2. Теперь из (10) и (12) получается, что Р(О) = ~г/2. Итак, яп х Уг Их = — . х 2 (13) хо я' *,„Г я' *,„„Г е Их=( е х+ ~ е х х х ,/ х хо и, если задано е > О, то сначала выберем хо столь близко к нулю, что япх > 0 при х Е [О, хо~ и хо хо япх япх е 0< е "Их< и'х <— х х 2 о о при любом у > О, а затем, фиксировав хо, на основании утверждения 4, устремляя у к +ос, сделаем интеграл по промежутку [хо, +ос[ тоже по модулю меньшим, чем е/2.
о Заметим, что использованное при выводе равенства (13) соотношение «Р(у) -+ 0 при у -+ +ос» не является прямым следствием утверждения 4, поскольку ~— '" х е х":4 0 при у -+ +ос лишь на промежутках вида (х Е К ~ х > хо > 0), а на промежутках вида 0 < х < хо равномерной сходимости нет: ведь — "" хе х~ -+ 1 при х -+ О. Но при хо > 0 ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 505 утверждение 7.
Если а) функция Дх, у) непрерывна на множестве ((х, у) Е К ~ а < х < <ыЛс<у<а) и Ь) интеграл Р(у) = / Дх, у) Их сходится равномерно на промежута ке [с,д], то функция Р интегрируема на [с, с~ и справедливо равенство Иу Дх,у)дх = дх ~(х,у)ду. (14) ~ При 6 е [а,ы[ на основе условия а) и утверждения 3 из ~1 для собственных интегралов можно записать, что ь ь сну ~(х, у) дх = дх Дх, у) сну. (15) Используя условие Ь) и теорему 3 ~ 3 гл.
ХЧ1 о предельном переходе под знаком интеграла, в левой части равенства (15) делаем предельный переход при 6 -+ ы, 6 Е [а,ы[ и получаем левую часть равенства (14). Правая часть равенства (14) по самому определению несобственного интеграла является пределом при 6 -+ ы, 6 Е [а,ы[ правой части равенства (15). Таким образом, благодаря условию Ь) из (15) при 6 -+ а~, 6 е [а, ы[, получаем равенство (14). ~ Следующий пример показывает, что, в отличие от случая перестановки двух собственных интегралов, одного условия а), вообще говоря, недостаточно для справедливости равенства (14).
Пример 14. Рассмотрим функцию Дх,у) = (2 — ху)хуе *" на множестве ((х,у) Е К2 ~ 0 < х < +ос Л 0 < у < 1). Используя первообразную и2е " функции (2 — и)ие ", легко подсчитать непосредственно, что 0 = Иу (2 — ху)хуе *"Их ~ Их (2 — ху)хуе *"Иу = 1. о о о о 4. Интегрирование несобственного интеграла по пара- метру ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 506 Следствие 3. Если а) функция Дх, у) непрерывна на множестве Р = ((х, у) Е ~~ [ а < <х<ыЛс<у<И), Ь) неотрицательна на Р и с) интеграл Р(у) = / Дх,у) ах как функция у непрерывен на промежутке [с, с~, то имеет место равенство (14). ~ Из условия а) следует, что при любом 6 Е [а, ы[ интеграл Рь(у) = Дх,у) Их а является непрерывной по у функцией на отрезке [с, с~. Из условия Ь) вытекает, что Рь, (у) < г'"ь,(у) при 61 < 62.
На основании теоремы Дини и условия с) теперь заключаем, что Рь ~ Р на [с, с~ при 6 -+ ь~, 6 Е [а, ь~[. Таким образом, выполнены условия утверждения 7 и, следовательно, в рассматриваемом случае равенство (14) действительно имеет место. В утверждение 8. Если а) функция ~(х, у) непрерывна на множестве ((х, у) Е К ~ а < х < <ыЛс<у<й), Ь) оба интеграла Р(у) = ~(х, у) Их, Ф(х) = Дх, у) Иу а с сходятся равномерно, первый — относительно у, на любом отрезке [с,с~ С [с,Й[, а второй — относительно х на любом отрезке [а,6~ с С [а,ы[, Следствие 3 показывает, что пример 14 связан с тем, что в нем функция Дх, у) не является знакопостоянной. В заключение докажем теперь одно достаточное условие перестановочности двух несобственных интегралов.
~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 507 с) существует хотя бы один из двух повторных интеералов Иу ф(х, у) Их, Их ~Д(х, у) Иу, с а а с то имеет место равенство Иу Дх,у) Их = Их Дх,у) Иу. с а а с (16) Ф~(х):= Дх, у) ау. с При любом фиксированном И Е [с, Ы[ функция Фд определена и, ввиду непрерывности ~, непрерывна на промежутке а < х < ы В силу второго из условий Ь) на любом отрезке [а, б~ С [а,ы[ Фд(х)::~ ~ Ф(х) при И -+ й, И Е [с, й[. Поскольку ~Фд(х)~ < / ~Д(х, у) ау =: С(х), а интеграл / С(х) Их, сос а впадающий со вторым из интегралов условия с), по предположению сходится, на основе мажорантного признака равномерной сходимости заключаем, что интеграл / Фд(х) ах относительно параметра а сходится а равномерно.