Главная » Просмотр файлов » Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А.

Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 87

Файл №1238793 Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А.) 87 страницаУчебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793) страница 872020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 87)

д~ ду а (5) Формулу (5) дифференцирования собственного интеграла (2) по параметру часто называют формулой или правилом Лейбница. ~ Проверим непосредственно, что если уо Е [с, а), то Р'(уо) можно вычислить по формуле (5): ~ (УО + У"') ~Р(УО) (~з УО) а~ д~ ду а Я~, Уо+ 6) — У(~, Уо) — — (~, Уо)6 сЬ д~ ду У(~ уо+~) — 1(~ уо) — — (х,уо)ь сь < дУ у а ~иР— (~, Уо + ~6) — — (~, Уо) дх~6~ = ~Р(УО, 6) ~Ь~.

д~ д~ о<в«1 ду ду а Замечание 2. Непрерывность исходной функции 1 использована в доказательстве лишь как достаточное условие существования всех участвующих в нем интегралов. Замечание 3. Проведенное доказательство и использованная в нем форма теоремы о конечном приращении показывают, что утверждение 2 остается в силе, если вместо отрезка [с, д] взять выпуклый По условию р~ е С(Р,УО, поэтому ~~~(т,р) ~ ~~~(т ре) ив отрезке а < х < о при у — У уо, откуда следует, что ~р(уо, 6) — ~ О при 6 — ~ О.

> 484 ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ствующего эллиптпического интпеграла, связаны соотношениями дŠŠ— К дК Е К с0с й ' с0с й(1 — й2) й Проверим, например, первое из них. По формуле (5) уу/2 — = — „т Йв1п у (1 — Й Вш у) ду = 2 2 2 — 1/2 л о уу/2 уу/2 1 2 ° 2 1 2 2 2 — 1/2 й — (1 — й 81п у) / ду — — (1 — й 81п у) ' амбр = й й Пример 4. Иногда применение формулы (5) позволяет даже вычислить интеграл. Пусть Р(и) = 1п(и — вш ~р) д~р (и > 1).

Согласно формуле (5) у у/2 Е"'(ст) = аз — в1пз уз ие з — 1 откуда Р(а) = к1п1а .риеаз — Ц р с. Величину с тоже легко найти, если заметить, что при и -+ +ос, с одной стороны, Р(и) = тт1пи+ тт1п2+ с+ о(1), а, с другой стороны, из определения Р(а) с учетом равенства 1п(о2 — в1п2 у) = 21па+ о(1) при а — э +ос получается, что Р(о) = ~г 1п и + о(1). Значит, ~г 1п 2 + с = О и Р1аз = т1п у1а.Р ч'аз — Ц. Утверждение 2 можно несколько усилить.

Утверждение 2'. Пустпь на прямоугольнике Р = 1(х,у) Е ~~ а ( х ( о Л с ( у ( д) функция /: Р -+ И непрерывна и имеетп непрерььвкую частную производную ~~; пусть далее а1у1 и Д(у) такие непрерывно дифференцируемые на [с, д~ функции, что при любом у Е [с, д~ ~1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 485 их значения лежат на отрезке [а, о). Тогда интеграл ,вЬ) г'(у) = У(х,у) дх (7) Ь) определен при любом у Е [с,д], принадлежит классу С(1)([с,а),К) и справедлива формула ,вЬ) Р'(у) = ~(Яу), у) ~3'(у) — У(а(у), у) .

и'(у) + — ~х, у) дх. (8) ду Ь) Ф(а, ~3, у) = Дх, у) сЬ при условиях, что и,,В Е [а,о) и у Е [с,а), имеет следующие частные производные: дФ дФ д~ — = — Ди, у), — = — (х, у) ах. ди ' ' ду ду дФ д,о С учетом утверждения 1 заключаем, что все частные производные функции Ф непрерывны в ее области определения. Значит, Ф непрерывно дифференцируемая функция.

Теперь формула (8) получается дифференцированием сложной функции г'(у) = Ф(и(у),,3(у), у). ~ Пример 5. Пусть где п Е И, а ~ — непрерывная на промежутке интегрирования функция. Проверим, что Р„(х) = ~(х). (о) ~ В соответствии с правилом дифференцирования интеграла по пределам интегрирования и с учетом формулы (5) можно сказать, что функция ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 486 При п = 1 Р1(х) = / Д8) Ж и Р'(х) = Дх). О По формуле (8) при п > 1 нах дим х 1 ~'„'(х) = (х — х)" 1Дх) + (х — ~)" 2Д~) сК = Е"„1(х). (и — 1)! (и — 2)! о н (о) По принципу индукции заключаем, что, деиствительно, Р„(х) = = 1"(х) при любом п Е И. 4. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра 'Утверждение 3.

Если функция 1: Р -+ К непрерывна в прямоугольнике Р = ~(х, у) Е К2 ~ а ( х ( о Л с ( у ( д), то интеграл (2) интегрируем на отрезке [с,д~ и имеет место равенство с~ Ь Ь с~ ~(х, У) дх ИУ = 1" (х, У) дУ дх. (9) ~ С точки зрения кратных интегралов равенство (9) есть простейший вариант теоремы Фубини. Приведем, однако, доказательство соотношения (9), позволяющее обосновать его независимо от теоремы Фубини. Рассмотрим функции и Ь Ь и <р(и) = Дх,у) дх ду, ф(и) = ~(х,у) ду дх.

Ввиду того, что ~ Е С(Р, К) на основании утверждения 1 и непрерывной зависимости интеграла от верхнего предела интегрирования, заключаем, что у,ф е С([с,с~],К). Далее, ввиду непрерывности функ- Ь ции (2), находим, что ~р'(и) = / 1(х, и) ах, а по формуле (5) получаем, а Ь что ф'(и) = / Дх,и) дх при и Е [с,с~]. Таким образом, у'(и) = ф'(и) и, а значит, <р(и) = ф(и) + с на отрезке [с,с~]. Но поскольку ~р(0) = ф(0) = О, то на отрезке [с, с~] имеет место равенство ~р(и) = ф(и), из которого при и = д получается соотношение (9).

~ ~1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 487 Задачи и упражнения 1. а) Объясните, почему функция Е(у) из соотношения (2) имеет предел ь / ~р(х) пх, если зависящее от параметра у Е У семейство функций ~рд(х) = а = 1(х, у), интегрируемых на отрезке а ( х ( 6, равномерно сходится на нем к функции ~р(х) при некоторой базе В в У (например, при базе у — ~ уо). Ь) Докажите, что если Š— измеримое множество в К™, а функция 1: Е х х 1" -+ К, определенная на прямом произведении Е х 1" = ((х, 1) Е К +" ~ х Е Е Л 1 Е 1"1 множества Е и и-мерного промежутка 1", непрерывна, то определенная равенством (1) при Е1 — — Е функция Е непрерывна на 1". с) Пусть Р = ((х,у) Е К ~ а < х < 6Л с ( у ( д1, и пусть 1 Е С(Р,К), а,,9 е С([с, с~], [а, 6]).

Докажите, что тогда функция (7) непрерывна на отрезке [с, д]. 2. а) Покажите, что если 1 Е С(К, К), то функция Г(х) = ~- /' 1(х + ~) Ж вЂ” а не только непрерывна, но и дифференцируема на К. Ь) Найдите производную указанной функции Е(х) и убедитесь, что Е Е е С~ц(К, К). 3.

Используя дифференцирование по параметру, покажите, что при ~т~ < 1 Р(т) = 1п(1 — 2т соя х + т ) дх = О. о 4. Проверьте, что следующие функции удовлетворяют уравнению Бесселя, указанному в примере 2. Л а) и = х" / соя(х соя ~р) яп~" ~р сйр. о И +' 1 Ь1 1„(х1 = ~ * „~11 — 1~Г а соахай.

с) Покажите, что отвечающие различным значениям ть е И функции,7„ связаны соотношением,У„+1 — —,1„1 — 21„'. 5. Ры~иииаа пример 3 и полагая Й:= ог1 — Йа, Е(Й1:= ЕР1а'1, фР):= Е1Й1, покажите, вслед за Лежандром, что а) ~~(ЕК+ ЕК вЂ” КК) = О. Ь) ЕК + ЕК вЂ” КК = ~г/2. 6. Вместо интеграла (2) рассмотрим интеграл ~(у) = У(х,у)д(х) « а где д — интегрируемая на отрезке [а, 6] функция (д е 1с[а,6]).

ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 488 с) Если функция ~ удовлетворяет условиям утверждения 3, то У интегрируема на [с, д] (У Е %[с, д]), причем И ь ы Г ~(у) у= Х( у)а( )ду 7. Формула Тейлора и лемма Адамара. а) Покажите, что если ~ — гладкая функция и ДО) = О, то Дх) = х~р(х), где ~р — непрерывная функция и ~р(0) = ~~(0).

Ь) Покажите, что если 1 Е С~") и ~® = 0 при й = 0,1,...,и — 1, то Д(х) = х"~р(х), где ~р непрерывная функция и ~р(0) = -„-т~~">(0). с) Пусть ~ — определенная в окрестности нуля функция класса С~"1. Проверьте, что справедлива следующая формула Тейлора с остаточным членом в форме Адамара: где ~р — функция, непрерывная в окрестности нуля, и ~р(0) = — ~®(О). 1 (и Й) Обобщите результаты задач а), Ь), с) на случай, когда 1 — функция нескольких переменных. Запишите основную формулу Тейлора в мультииндексных обозначениях и заметьте в дополнение к сказанному в задачах а), Ь), с), что если 1 Е С~"+~~, то ~р,„б С®. Повторив приведенные вьппе доказательства утверждений 1 — 3, последовательно проверьте, что а) Если функция ~ удовлетворяет условиям утверждения 1, то функция У непрерывна на отрезке [с, д] (У е С[с,а)).

Ь) Если функция ~ удовлетворяет условиям утверждения 2, то функция У непрерывно дифференцируема на [с, д] (У е С~~~[с, а)), причем ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 489 ~ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относительно параметра а. Основное определение и примеры. Пусть при каждом значении у Е У сходится несобственный интеграл ы г'(у) = ~(х, у) ах а Определение.

Говорят, что несобственный интеграл (1), зависящий от параметра у Е У, сходится равномерно на множестве Е С У, если для любого числа е ) 0 существует такая окрестность У~„„,~(ы) точки ы в множестве [а, ы[, что при любом Ь Е У(„„~(ы) и любом значении у е Е имеет место следующая оценка Г Дх, у) ах ь (2) остатка интеграла (1). Если ввести обозначение ~ь(у):= Пх, у) 4х а для собственного приближения несобственного интеграла (1), то приведенное основное определение этого параграфа можно (и, как будет видно из дальнейшего, весьма полезно) переформулировать также в иной, равносильной прежней, форме: равномерная сходимость интеграла (1) на множестве Е С У по определению означает, что Рь(у) =~ Р(у) на Е при Ь -+ ы, Ь Е [а,ы[.

(4) по промежутку [а,я[С К. Для определенности будем считать, что ин- теграл (1) имеет единственную особенность, связанную с верхним пре- делом интегрирования (т. е. или ы = +оо или функция ~ неограничена как функция х в окрестности точки ы). ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 490 Действительно, ведь Р(у) = Дх,у) дх:= 1пп Дх,у) дх = 1пп Рь(у), ЬЕ[а,ю[ <~ ЬЕ[а,м[ поэтому соотношение (2) можно переписать в виде (5) Пример 1. Интеграл +00 дх х2 + у2 1 сходится равномерно на всем множестве И значений параметра у Е К, поскольку при любом у Е К +00 +00 х2+ у2 х2 Ь ь ь как только Ь ) 1/я. Пример 2. Интеграл +со Г хУ Дх о очевидно, сходится, лишь когда у ) О.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,07 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее