Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 87
Текст из файла (страница 87)
д~ ду а (5) Формулу (5) дифференцирования собственного интеграла (2) по параметру часто называют формулой или правилом Лейбница. ~ Проверим непосредственно, что если уо Е [с, а), то Р'(уо) можно вычислить по формуле (5): ~ (УО + У"') ~Р(УО) (~з УО) а~ д~ ду а Я~, Уо+ 6) — У(~, Уо) — — (~, Уо)6 сЬ д~ ду У(~ уо+~) — 1(~ уо) — — (х,уо)ь сь < дУ у а ~иР— (~, Уо + ~6) — — (~, Уо) дх~6~ = ~Р(УО, 6) ~Ь~.
д~ д~ о<в«1 ду ду а Замечание 2. Непрерывность исходной функции 1 использована в доказательстве лишь как достаточное условие существования всех участвующих в нем интегралов. Замечание 3. Проведенное доказательство и использованная в нем форма теоремы о конечном приращении показывают, что утверждение 2 остается в силе, если вместо отрезка [с, д] взять выпуклый По условию р~ е С(Р,УО, поэтому ~~~(т,р) ~ ~~~(т ре) ив отрезке а < х < о при у — У уо, откуда следует, что ~р(уо, 6) — ~ О при 6 — ~ О.
> 484 ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ствующего эллиптпического интпеграла, связаны соотношениями дŠŠ— К дК Е К с0с й ' с0с й(1 — й2) й Проверим, например, первое из них. По формуле (5) уу/2 — = — „т Йв1п у (1 — Й Вш у) ду = 2 2 2 — 1/2 л о уу/2 уу/2 1 2 ° 2 1 2 2 2 — 1/2 й — (1 — й 81п у) / ду — — (1 — й 81п у) ' амбр = й й Пример 4. Иногда применение формулы (5) позволяет даже вычислить интеграл. Пусть Р(и) = 1п(и — вш ~р) д~р (и > 1).
Согласно формуле (5) у у/2 Е"'(ст) = аз — в1пз уз ие з — 1 откуда Р(а) = к1п1а .риеаз — Ц р с. Величину с тоже легко найти, если заметить, что при и -+ +ос, с одной стороны, Р(и) = тт1пи+ тт1п2+ с+ о(1), а, с другой стороны, из определения Р(а) с учетом равенства 1п(о2 — в1п2 у) = 21па+ о(1) при а — э +ос получается, что Р(о) = ~г 1п и + о(1). Значит, ~г 1п 2 + с = О и Р1аз = т1п у1а.Р ч'аз — Ц. Утверждение 2 можно несколько усилить.
Утверждение 2'. Пустпь на прямоугольнике Р = 1(х,у) Е ~~ а ( х ( о Л с ( у ( д) функция /: Р -+ И непрерывна и имеетп непрерььвкую частную производную ~~; пусть далее а1у1 и Д(у) такие непрерывно дифференцируемые на [с, д~ функции, что при любом у Е [с, д~ ~1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 485 их значения лежат на отрезке [а, о). Тогда интеграл ,вЬ) г'(у) = У(х,у) дх (7) Ь) определен при любом у Е [с,д], принадлежит классу С(1)([с,а),К) и справедлива формула ,вЬ) Р'(у) = ~(Яу), у) ~3'(у) — У(а(у), у) .
и'(у) + — ~х, у) дх. (8) ду Ь) Ф(а, ~3, у) = Дх, у) сЬ при условиях, что и,,В Е [а,о) и у Е [с,а), имеет следующие частные производные: дФ дФ д~ — = — Ди, у), — = — (х, у) ах. ди ' ' ду ду дФ д,о С учетом утверждения 1 заключаем, что все частные производные функции Ф непрерывны в ее области определения. Значит, Ф непрерывно дифференцируемая функция.
Теперь формула (8) получается дифференцированием сложной функции г'(у) = Ф(и(у),,3(у), у). ~ Пример 5. Пусть где п Е И, а ~ — непрерывная на промежутке интегрирования функция. Проверим, что Р„(х) = ~(х). (о) ~ В соответствии с правилом дифференцирования интеграла по пределам интегрирования и с учетом формулы (5) можно сказать, что функция ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 486 При п = 1 Р1(х) = / Д8) Ж и Р'(х) = Дх). О По формуле (8) при п > 1 нах дим х 1 ~'„'(х) = (х — х)" 1Дх) + (х — ~)" 2Д~) сК = Е"„1(х). (и — 1)! (и — 2)! о н (о) По принципу индукции заключаем, что, деиствительно, Р„(х) = = 1"(х) при любом п Е И. 4. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра 'Утверждение 3.
Если функция 1: Р -+ К непрерывна в прямоугольнике Р = ~(х, у) Е К2 ~ а ( х ( о Л с ( у ( д), то интеграл (2) интегрируем на отрезке [с,д~ и имеет место равенство с~ Ь Ь с~ ~(х, У) дх ИУ = 1" (х, У) дУ дх. (9) ~ С точки зрения кратных интегралов равенство (9) есть простейший вариант теоремы Фубини. Приведем, однако, доказательство соотношения (9), позволяющее обосновать его независимо от теоремы Фубини. Рассмотрим функции и Ь Ь и <р(и) = Дх,у) дх ду, ф(и) = ~(х,у) ду дх.
Ввиду того, что ~ Е С(Р, К) на основании утверждения 1 и непрерывной зависимости интеграла от верхнего предела интегрирования, заключаем, что у,ф е С([с,с~],К). Далее, ввиду непрерывности функ- Ь ции (2), находим, что ~р'(и) = / 1(х, и) ах, а по формуле (5) получаем, а Ь что ф'(и) = / Дх,и) дх при и Е [с,с~]. Таким образом, у'(и) = ф'(и) и, а значит, <р(и) = ф(и) + с на отрезке [с,с~]. Но поскольку ~р(0) = ф(0) = О, то на отрезке [с, с~] имеет место равенство ~р(и) = ф(и), из которого при и = д получается соотношение (9).
~ ~1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 487 Задачи и упражнения 1. а) Объясните, почему функция Е(у) из соотношения (2) имеет предел ь / ~р(х) пх, если зависящее от параметра у Е У семейство функций ~рд(х) = а = 1(х, у), интегрируемых на отрезке а ( х ( 6, равномерно сходится на нем к функции ~р(х) при некоторой базе В в У (например, при базе у — ~ уо). Ь) Докажите, что если Š— измеримое множество в К™, а функция 1: Е х х 1" -+ К, определенная на прямом произведении Е х 1" = ((х, 1) Е К +" ~ х Е Е Л 1 Е 1"1 множества Е и и-мерного промежутка 1", непрерывна, то определенная равенством (1) при Е1 — — Е функция Е непрерывна на 1". с) Пусть Р = ((х,у) Е К ~ а < х < 6Л с ( у ( д1, и пусть 1 Е С(Р,К), а,,9 е С([с, с~], [а, 6]).
Докажите, что тогда функция (7) непрерывна на отрезке [с, д]. 2. а) Покажите, что если 1 Е С(К, К), то функция Г(х) = ~- /' 1(х + ~) Ж вЂ” а не только непрерывна, но и дифференцируема на К. Ь) Найдите производную указанной функции Е(х) и убедитесь, что Е Е е С~ц(К, К). 3.
Используя дифференцирование по параметру, покажите, что при ~т~ < 1 Р(т) = 1п(1 — 2т соя х + т ) дх = О. о 4. Проверьте, что следующие функции удовлетворяют уравнению Бесселя, указанному в примере 2. Л а) и = х" / соя(х соя ~р) яп~" ~р сйр. о И +' 1 Ь1 1„(х1 = ~ * „~11 — 1~Г а соахай.
с) Покажите, что отвечающие различным значениям ть е И функции,7„ связаны соотношением,У„+1 — —,1„1 — 21„'. 5. Ры~иииаа пример 3 и полагая Й:= ог1 — Йа, Е(Й1:= ЕР1а'1, фР):= Е1Й1, покажите, вслед за Лежандром, что а) ~~(ЕК+ ЕК вЂ” КК) = О. Ь) ЕК + ЕК вЂ” КК = ~г/2. 6. Вместо интеграла (2) рассмотрим интеграл ~(у) = У(х,у)д(х) « а где д — интегрируемая на отрезке [а, 6] функция (д е 1с[а,6]).
ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 488 с) Если функция ~ удовлетворяет условиям утверждения 3, то У интегрируема на [с, д] (У Е %[с, д]), причем И ь ы Г ~(у) у= Х( у)а( )ду 7. Формула Тейлора и лемма Адамара. а) Покажите, что если ~ — гладкая функция и ДО) = О, то Дх) = х~р(х), где ~р — непрерывная функция и ~р(0) = ~~(0).
Ь) Покажите, что если 1 Е С~") и ~® = 0 при й = 0,1,...,и — 1, то Д(х) = х"~р(х), где ~р непрерывная функция и ~р(0) = -„-т~~">(0). с) Пусть ~ — определенная в окрестности нуля функция класса С~"1. Проверьте, что справедлива следующая формула Тейлора с остаточным членом в форме Адамара: где ~р — функция, непрерывная в окрестности нуля, и ~р(0) = — ~®(О). 1 (и Й) Обобщите результаты задач а), Ь), с) на случай, когда 1 — функция нескольких переменных. Запишите основную формулу Тейлора в мультииндексных обозначениях и заметьте в дополнение к сказанному в задачах а), Ь), с), что если 1 Е С~"+~~, то ~р,„б С®. Повторив приведенные вьппе доказательства утверждений 1 — 3, последовательно проверьте, что а) Если функция ~ удовлетворяет условиям утверждения 1, то функция У непрерывна на отрезке [с, д] (У е С[с,а)).
Ь) Если функция ~ удовлетворяет условиям утверждения 2, то функция У непрерывно дифференцируема на [с, д] (У е С~~~[с, а)), причем ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 489 ~ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относительно параметра а. Основное определение и примеры. Пусть при каждом значении у Е У сходится несобственный интеграл ы г'(у) = ~(х, у) ах а Определение.
Говорят, что несобственный интеграл (1), зависящий от параметра у Е У, сходится равномерно на множестве Е С У, если для любого числа е ) 0 существует такая окрестность У~„„,~(ы) точки ы в множестве [а, ы[, что при любом Ь Е У(„„~(ы) и любом значении у е Е имеет место следующая оценка Г Дх, у) ах ь (2) остатка интеграла (1). Если ввести обозначение ~ь(у):= Пх, у) 4х а для собственного приближения несобственного интеграла (1), то приведенное основное определение этого параграфа можно (и, как будет видно из дальнейшего, весьма полезно) переформулировать также в иной, равносильной прежней, форме: равномерная сходимость интеграла (1) на множестве Е С У по определению означает, что Рь(у) =~ Р(у) на Е при Ь -+ ы, Ь Е [а,ы[.
(4) по промежутку [а,я[С К. Для определенности будем считать, что ин- теграл (1) имеет единственную особенность, связанную с верхним пре- делом интегрирования (т. е. или ы = +оо или функция ~ неограничена как функция х в окрестности точки ы). ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 490 Действительно, ведь Р(у) = Дх,у) дх:= 1пп Дх,у) дх = 1пп Рь(у), ЬЕ[а,ю[ <~ ЬЕ[а,м[ поэтому соотношение (2) можно переписать в виде (5) Пример 1. Интеграл +00 дх х2 + у2 1 сходится равномерно на всем множестве И значений параметра у Е К, поскольку при любом у Е К +00 +00 х2+ у2 х2 Ь ь ь как только Ь ) 1/я. Пример 2. Интеграл +со Г хУ Дх о очевидно, сходится, лишь когда у ) О.