Главная » Просмотр файлов » Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А.

Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 88

Файл №1238793 Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А.) 88 страницаУчебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793) страница 882020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 88)

При этом на любом множестве 1у Е И ~ у ) у0 ) О) он сходится равномерно. Последнее неравенство справедливо при любом Ь Е У~ ц(ы) и любом у Е Е, что и указано в соотношении (4). Итак, соотношения (2), (4), (5) означают, что если интеграл (1) сходится равномерно на некотором множестве Е значений параметра, то с любой наперед заданной точностью и одновременно для всех у е Е этот несобственный интеграл (1) можно заменить некоторым собственным интегралом (3), зависящим от того же параметра у. ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 491 В самом деле, если у > у0 ) О, то — Ь 1 — Ь 0 0 ( е *"дх = — е Ь" ~( — е Ь"' -+ 0 при Ь-++ос.

у уо Ь Вместе с тем на всем множестве 2~ = 1у Е И ~ у > 0) равномерной сходимости нет. Действительно, отрицание равномерной сходимости интеграла (1) на множестве Е означает, что ) ео В нашем случае в качестве е0 можно взять любое действительное число, поскольку à — Ь е *"дх = — е Ь" -++ос, когда у -++О, у Ь каково бы ни было фиксированное значение Ь Е [О, +ос[. Рассмотрим еще один менее тривиальный пример, которым мы в дальнейшем воспользуемся. Пример 3. Покажем, что каждый из интегралов ф(х) х у +0+1е — ь+ )~е1у 0 +со р~ ) ~ а+~3+1 — (1+х)у в которых а и,В фиксированные положительные числа, сходится равномерно на множестве неотрицательных значений параметра.

Эе,>О ЧВ~ [и,.[ ЭЬ~[В,.[ ЧуеЕ Г Дх,у) дх Ь ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 492 Для остатка интеграла Ф(х) сразу получаем, что О < ~ х"у"+~+1е (1+~)Ус~у = (ху) е *Ууе+ е " ду < М уе+ е У ду, где М = шах и~е ". Поскольку последний интеграл сходится, то 0(и<+со при достаточно больших значениях Ь Е К он может быть сделан меньше любого наперед заданного числа е > О.

Но это и означает равномерную сходимость интеграла Ф(х). Теперь рассмотрим остаток второго интеграла Р(у): О < х у +а+ е ~~+*~У дх = = у~е " (ху) е *уудх = у~е " и е "ди. Ь ьу Поскольку при у > О и е "ди< и е "ди<+оо, ьу а у~е " -+ О при у — ~ О, то для е ) О, очевидно, найдется такое число у0 ) О, что при любом у Е [О, у0~ остаток интересующего нас интеграла будет меньше е независимо даже от значения Ь е [О, +оо[.

Если же у > у0) О, то, учитывая, что Ме = шах у~е у <+оо, а 0(у<+со +со +со О < / и е "ди < / и~е "ди -+ О при Ь -+ +оо, заключаем, что при ьу Ьуо всех достаточно больших значениях Ь Е [О, +оо[ одновременно для всех значений у > у0 > О остаток интеграла Р(у) можно сделать меньшим, чем е. ~ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 493 Объединяя участки [О, уо], [ув, +ос[, заключаем, что, действительно, по любому е > О можно так подобрать число В, что при любом Ь ) В и любом у > О соответствующий остаток интеграла Р(у) будет меньше, чем е. Ь.

Критерий Коши равномерной сходимости интеграла ;Утверждение 1 (критерий Коши). Для того, чтпобы несобственный интеграл (1), зависящий от параметпра у д= .т', сходился равномерно на множестве Е д У, необходимо и достатпочно, чтобы для любого е ) О сущестпвовала такая окрестность У~„~~~до) точки до, что при любых Ь1, Ь2 д= У~„„~(до) и любом у д= Е выполняется неравенство Ь2 Ьд ~ неРавенство (6) Равносильно соотношению ~Рь,(У) — Рьд(У) ~ ( е, поэтому утверждение 1 является прямым следствием записи (4) определения равномерной сходимости интеграла (1) и критерия Коши равномерной сходимости на Е семейства функций РЬ(у), зависящих от параметра Ь д= [а,до[.

~ В качестве иллюстрации использования этого критерия Коши рассмотрим следующее иногда полезное его Следствие 1. Если функция ~ в интеграле (1) непрерывна на множестве [а,до[х[с,с~], а сам интеграл (1) сходитпся при любом у е е]с,д[, но расходитпся при у = с или у = д, то он сходитпся неравномерно на интервале ]с, д[, равно как и на любом множестпве Е С]с, д[, замыкание которого содержитп точку расходимости. ~ Если при у = с интеграл (1) расходится, то на основании критерия Коши сходимости несобственного интеграла существует число ев ) О такое, что в любой окрестности У~„„~(до) найдутся числа Ь1, Ь2, для которых Ь2 (7) Ьд ГЛ.

ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 494 Собственный интеграл Ь2 Ь является в нашем случае непрерывной функцией параметра у на всем отрезке [с, д] (см. утверждение 1 из ~ 1), поэтому при всех значениях у, достаточно близких к с, вместе с неравенством (7) будет выполняться неравенство Ь2 Г 1(х,д) дх >ео Ьд На основании критерия Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, теперь заключаем, что рассматриваемый интеграл не может сходиться равномерно ни на каком подмножестве Е С]с, д[, замыкание которого содержит точку с.

Аналогично рассматривается случай, когда интеграл расходится приу=д. 1ь Пример 4. Интеграл Г ~ .2 е' дх о 1 е ~~ дх= — е " ди — ~+ос при 1 — ~+О. ~Л Подчеркнем, что тем не менее на любом отделенном от нуля множестве (8 Е К ~ 8 ) 8о ) 0) наш интеграл сходится равномерно, поскольку 1 1 0 < — е " ди < — е " ди — ~ 0 при 6 — ~ +ос. ~Л Фо Ьъ% сходится при 8 ) 0 и расходится при 8 = О, поэтому он заведомо сходится неравномерно на любом множестве положительных чисел, имеющем нуль предельной точкой. В частности, он сходится неравномерно на всем множестве ~8 Е К ~ 8 ) 0) положительных чисел. В данном случае сказанное легко проверить и непосредственно: ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 495 с.

Достаточные условия равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра Г д(х, у) ах а сходится равномерно на У, то интеграл Г ~(х, у) ах а сходится абсолютно при каждом у е У и равномерно на множест- ве У. ~ Это следует из оценок ь, ь, ь2 < )~(х,у)) ах < д(х,у) ах ь, ь, ь и критерия Коши равномерной сходимости интеграла (утвержде- ние 1). Ь Наиболее часто встречается тот случай утверждения 2, когда функция д вообще не зависит от параметра у. Именно в этом случае доказанное утверждение 2 обычно называют мажорантным признаком Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла.

Пример 5. Интеграл Г сов ах ах 1+х2" о сходится равномерно на всем множестве К значений параметра а, по- ~ <2, а интеграл ~ сходится. 1 г 0х 1+х о 1+* соя ах скольку 1+х утверждение 2 (признак Вейерштрасса). Пусть функции Дх, у), д(х,у) интегрируемы по х на любом отрезке [а, б~ С [а,ы[ при каждом значении у Е У. Если при каждом значении у е У и любом х Е [а, ы[ имеет место неравенство ~~(х, у) ~ < д(х, у), а интеграл ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 49б — ~х2 — ~х~ Пример 6.

Ввиду неравенства ~в1пхе '* ~ < е '* интеграл à — ~х~ в1пхе '* ах, о как следует из утверждения 2 и результатов примера 3, сходится равномерно на любом множестве вида ~1 Е К ~ 1 > 1в > 01. Поскольку при 8 = О интеграл расходится, на основании следствия критерия Коши заключаем, что он не может сходиться равномерно ни на каком множестве Е, имеющем нуль своей предельной точкой.

утверждение 3 (признак Абеля — Дирихле). Предположим, что функции 1 (х, у), д(х, у) при каждом значении у Е У интегрируемы по х на любом отрезке [а,б] С [а, ы[. Для равномерной сходимости интеграла (~ д)(х, у) ах а на множестве У достаточно, чтобы была выполнена любая из следующих двух пар условий: а1) Существует постоянная М е К такая, что при любом о Е Е [а, ы[ и любом у Е У выполнено неравенство Ь Г ~(х, у) ах а <М; Д) при каждом у е У функция д(х, у) монотонна по х на промежутке [а,ы[ и д(х,у) ~ О на У при х -+ ы, х е [а,ы[. а2) Интеграл ~д(х,у)~ < М.

сходится равномерно на множестве У; ,В~) при каждом у е У функция д(х,у) монотонна по х на промежутке [а, ы[ и существует постоянная М Е 2 такая, что при любом х е [а,ы[ и любом у е У выполнено неравенство ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 497 ~ Применяя вторую теорему о среднем для интеграла, запишем, что Ь2 Ь2 Ь Ь1 где ~ Е [бд,62]. Если бд и 62 брать в достаточно малой окрестности У~ ~(ы) точки ы, то правую часть написанного равенства можно сде- 1 лать по модулю меньшей любого наперед заданного числа я > О, причем сразу для всех значений у Е У. В случае первой пары условий ад), Д) это очевидно.

В случае второй пары а2),,02) это становится очевидным, если воспользоваться критерием Коши равномерной сходимости интеграла (утверждение 1). Таким образом, вновь ссылаясь на критерий Коши, заключаем, что исходный интеграл от произведения ~ д по промежутку [а, ы[ действительно сходится равномерно на множестве У значений параметра. 1ь Пример 7. Интеграл как следует из критерия Коши и признака Абеля — Дирихле сходимости несобственных интегралов, сходится лишь при а > О. Полагая ~(х,а) = вдпх, д(х, а) = х ~, видим, что при а > а0 > 0 для рассматриваемого интеграла выполнена пара ад), Д) условий утверждения 3. Следовательно, на любом множестве вида 1а Е К ~ а > а0 > 0) данный интеграл сходится равномерно. На множестве (а Е 2 ~ а > 0) всех положительных значений параметра интеграл сходится неравномерно, поскольку он расходится при а = О.

Пример 8. Интеграл Г вдпх х сходится, и притом равномерно, на множестве 1у Е К ~ у > 0). ~ Прежде всего, на основании критерия Коши сходимости несобственного интеграла легко заключить, что при у ( 0 данный интеграл ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 498 вообще расходится. Считая теперь у > О и полагая 1"(х,у) д(х,у) = е ~", видим, что выполнена вторая пара а2),,02) условий утверждения 3, откуда и вытекает равномерная сходимость рассма- триваемого интеграла на множестве ~у Е К ~ у > О).

~ Итак, мы ввели понятие равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, и указали некоторые наиболее важные признаки такой сходимости, вполне аналогичные соответствующим признакам равномерной сходимости рядов функций. Прежде, чем переходить к дальнейшему, сделаем два замечания. Замечание 2. Мы рассмотрели несобственный интеграл (1), единственная особенность которого была связана с верхним пределом интегрирования ы Аналогично определяется и исследуется равномерная сходимость интеграла, единственная особенность которого связана с нижним пределом интегрирования. Если же интеграл имеет особенности на обоих концах промежутка интегрирования, то его представляют в виде (~~2 с ~'~2 Г 1(х,У) дх = 1(х, У) дх+ 1(х, У) дх, Ю~ Ш1 с где с Е ]ы1, ы~[, и считают сходящимся равномерно на множестве Е С У, Замечание 1.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,07 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее