Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 88
Текст из файла (страница 88)
При этом на любом множестве 1у Е И ~ у ) у0 ) О) он сходится равномерно. Последнее неравенство справедливо при любом Ь Е У~ ц(ы) и любом у Е Е, что и указано в соотношении (4). Итак, соотношения (2), (4), (5) означают, что если интеграл (1) сходится равномерно на некотором множестве Е значений параметра, то с любой наперед заданной точностью и одновременно для всех у е Е этот несобственный интеграл (1) можно заменить некоторым собственным интегралом (3), зависящим от того же параметра у. ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 491 В самом деле, если у > у0 ) О, то — Ь 1 — Ь 0 0 ( е *"дх = — е Ь" ~( — е Ь"' -+ 0 при Ь-++ос.
у уо Ь Вместе с тем на всем множестве 2~ = 1у Е И ~ у > 0) равномерной сходимости нет. Действительно, отрицание равномерной сходимости интеграла (1) на множестве Е означает, что ) ео В нашем случае в качестве е0 можно взять любое действительное число, поскольку à — Ь е *"дх = — е Ь" -++ос, когда у -++О, у Ь каково бы ни было фиксированное значение Ь Е [О, +ос[. Рассмотрим еще один менее тривиальный пример, которым мы в дальнейшем воспользуемся. Пример 3. Покажем, что каждый из интегралов ф(х) х у +0+1е — ь+ )~е1у 0 +со р~ ) ~ а+~3+1 — (1+х)у в которых а и,В фиксированные положительные числа, сходится равномерно на множестве неотрицательных значений параметра.
Эе,>О ЧВ~ [и,.[ ЭЬ~[В,.[ ЧуеЕ Г Дх,у) дх Ь ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 492 Для остатка интеграла Ф(х) сразу получаем, что О < ~ х"у"+~+1е (1+~)Ус~у = (ху) е *Ууе+ е " ду < М уе+ е У ду, где М = шах и~е ". Поскольку последний интеграл сходится, то 0(и<+со при достаточно больших значениях Ь Е К он может быть сделан меньше любого наперед заданного числа е > О.
Но это и означает равномерную сходимость интеграла Ф(х). Теперь рассмотрим остаток второго интеграла Р(у): О < х у +а+ е ~~+*~У дх = = у~е " (ху) е *уудх = у~е " и е "ди. Ь ьу Поскольку при у > О и е "ди< и е "ди<+оо, ьу а у~е " -+ О при у — ~ О, то для е ) О, очевидно, найдется такое число у0 ) О, что при любом у Е [О, у0~ остаток интересующего нас интеграла будет меньше е независимо даже от значения Ь е [О, +оо[.
Если же у > у0) О, то, учитывая, что Ме = шах у~е у <+оо, а 0(у<+со +со +со О < / и е "ди < / и~е "ди -+ О при Ь -+ +оо, заключаем, что при ьу Ьуо всех достаточно больших значениях Ь Е [О, +оо[ одновременно для всех значений у > у0 > О остаток интеграла Р(у) можно сделать меньшим, чем е. ~ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 493 Объединяя участки [О, уо], [ув, +ос[, заключаем, что, действительно, по любому е > О можно так подобрать число В, что при любом Ь ) В и любом у > О соответствующий остаток интеграла Р(у) будет меньше, чем е. Ь.
Критерий Коши равномерной сходимости интеграла ;Утверждение 1 (критерий Коши). Для того, чтпобы несобственный интеграл (1), зависящий от параметпра у д= .т', сходился равномерно на множестве Е д У, необходимо и достатпочно, чтобы для любого е ) О сущестпвовала такая окрестность У~„~~~до) точки до, что при любых Ь1, Ь2 д= У~„„~(до) и любом у д= Е выполняется неравенство Ь2 Ьд ~ неРавенство (6) Равносильно соотношению ~Рь,(У) — Рьд(У) ~ ( е, поэтому утверждение 1 является прямым следствием записи (4) определения равномерной сходимости интеграла (1) и критерия Коши равномерной сходимости на Е семейства функций РЬ(у), зависящих от параметра Ь д= [а,до[.
~ В качестве иллюстрации использования этого критерия Коши рассмотрим следующее иногда полезное его Следствие 1. Если функция ~ в интеграле (1) непрерывна на множестве [а,до[х[с,с~], а сам интеграл (1) сходитпся при любом у е е]с,д[, но расходитпся при у = с или у = д, то он сходитпся неравномерно на интервале ]с, д[, равно как и на любом множестпве Е С]с, д[, замыкание которого содержитп точку расходимости. ~ Если при у = с интеграл (1) расходится, то на основании критерия Коши сходимости несобственного интеграла существует число ев ) О такое, что в любой окрестности У~„„~(до) найдутся числа Ь1, Ь2, для которых Ь2 (7) Ьд ГЛ.
ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 494 Собственный интеграл Ь2 Ь является в нашем случае непрерывной функцией параметра у на всем отрезке [с, д] (см. утверждение 1 из ~ 1), поэтому при всех значениях у, достаточно близких к с, вместе с неравенством (7) будет выполняться неравенство Ь2 Г 1(х,д) дх >ео Ьд На основании критерия Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, теперь заключаем, что рассматриваемый интеграл не может сходиться равномерно ни на каком подмножестве Е С]с, д[, замыкание которого содержит точку с.
Аналогично рассматривается случай, когда интеграл расходится приу=д. 1ь Пример 4. Интеграл Г ~ .2 е' дх о 1 е ~~ дх= — е " ди — ~+ос при 1 — ~+О. ~Л Подчеркнем, что тем не менее на любом отделенном от нуля множестве (8 Е К ~ 8 ) 8о ) 0) наш интеграл сходится равномерно, поскольку 1 1 0 < — е " ди < — е " ди — ~ 0 при 6 — ~ +ос. ~Л Фо Ьъ% сходится при 8 ) 0 и расходится при 8 = О, поэтому он заведомо сходится неравномерно на любом множестве положительных чисел, имеющем нуль предельной точкой. В частности, он сходится неравномерно на всем множестве ~8 Е К ~ 8 ) 0) положительных чисел. В данном случае сказанное легко проверить и непосредственно: ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 495 с.
Достаточные условия равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра Г д(х, у) ах а сходится равномерно на У, то интеграл Г ~(х, у) ах а сходится абсолютно при каждом у е У и равномерно на множест- ве У. ~ Это следует из оценок ь, ь, ь2 < )~(х,у)) ах < д(х,у) ах ь, ь, ь и критерия Коши равномерной сходимости интеграла (утвержде- ние 1). Ь Наиболее часто встречается тот случай утверждения 2, когда функция д вообще не зависит от параметра у. Именно в этом случае доказанное утверждение 2 обычно называют мажорантным признаком Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла.
Пример 5. Интеграл Г сов ах ах 1+х2" о сходится равномерно на всем множестве К значений параметра а, по- ~ <2, а интеграл ~ сходится. 1 г 0х 1+х о 1+* соя ах скольку 1+х утверждение 2 (признак Вейерштрасса). Пусть функции Дх, у), д(х,у) интегрируемы по х на любом отрезке [а, б~ С [а,ы[ при каждом значении у Е У. Если при каждом значении у е У и любом х Е [а, ы[ имеет место неравенство ~~(х, у) ~ < д(х, у), а интеграл ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 49б — ~х2 — ~х~ Пример 6.
Ввиду неравенства ~в1пхе '* ~ < е '* интеграл à — ~х~ в1пхе '* ах, о как следует из утверждения 2 и результатов примера 3, сходится равномерно на любом множестве вида ~1 Е К ~ 1 > 1в > 01. Поскольку при 8 = О интеграл расходится, на основании следствия критерия Коши заключаем, что он не может сходиться равномерно ни на каком множестве Е, имеющем нуль своей предельной точкой.
утверждение 3 (признак Абеля — Дирихле). Предположим, что функции 1 (х, у), д(х, у) при каждом значении у Е У интегрируемы по х на любом отрезке [а,б] С [а, ы[. Для равномерной сходимости интеграла (~ д)(х, у) ах а на множестве У достаточно, чтобы была выполнена любая из следующих двух пар условий: а1) Существует постоянная М е К такая, что при любом о Е Е [а, ы[ и любом у Е У выполнено неравенство Ь Г ~(х, у) ах а <М; Д) при каждом у е У функция д(х, у) монотонна по х на промежутке [а,ы[ и д(х,у) ~ О на У при х -+ ы, х е [а,ы[. а2) Интеграл ~д(х,у)~ < М.
сходится равномерно на множестве У; ,В~) при каждом у е У функция д(х,у) монотонна по х на промежутке [а, ы[ и существует постоянная М Е 2 такая, что при любом х е [а,ы[ и любом у е У выполнено неравенство ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 497 ~ Применяя вторую теорему о среднем для интеграла, запишем, что Ь2 Ь2 Ь Ь1 где ~ Е [бд,62]. Если бд и 62 брать в достаточно малой окрестности У~ ~(ы) точки ы, то правую часть написанного равенства можно сде- 1 лать по модулю меньшей любого наперед заданного числа я > О, причем сразу для всех значений у Е У. В случае первой пары условий ад), Д) это очевидно.
В случае второй пары а2),,02) это становится очевидным, если воспользоваться критерием Коши равномерной сходимости интеграла (утверждение 1). Таким образом, вновь ссылаясь на критерий Коши, заключаем, что исходный интеграл от произведения ~ д по промежутку [а, ы[ действительно сходится равномерно на множестве У значений параметра. 1ь Пример 7. Интеграл как следует из критерия Коши и признака Абеля — Дирихле сходимости несобственных интегралов, сходится лишь при а > О. Полагая ~(х,а) = вдпх, д(х, а) = х ~, видим, что при а > а0 > 0 для рассматриваемого интеграла выполнена пара ад), Д) условий утверждения 3. Следовательно, на любом множестве вида 1а Е К ~ а > а0 > 0) данный интеграл сходится равномерно. На множестве (а Е 2 ~ а > 0) всех положительных значений параметра интеграл сходится неравномерно, поскольку он расходится при а = О.
Пример 8. Интеграл Г вдпх х сходится, и притом равномерно, на множестве 1у Е К ~ у > 0). ~ Прежде всего, на основании критерия Коши сходимости несобственного интеграла легко заключить, что при у ( 0 данный интеграл ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 498 вообще расходится. Считая теперь у > О и полагая 1"(х,у) д(х,у) = е ~", видим, что выполнена вторая пара а2),,02) условий утверждения 3, откуда и вытекает равномерная сходимость рассма- триваемого интеграла на множестве ~у Е К ~ у > О).
~ Итак, мы ввели понятие равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, и указали некоторые наиболее важные признаки такой сходимости, вполне аналогичные соответствующим признакам равномерной сходимости рядов функций. Прежде, чем переходить к дальнейшему, сделаем два замечания. Замечание 2. Мы рассмотрели несобственный интеграл (1), единственная особенность которого была связана с верхним пределом интегрирования ы Аналогично определяется и исследуется равномерная сходимость интеграла, единственная особенность которого связана с нижним пределом интегрирования. Если же интеграл имеет особенности на обоих концах промежутка интегрирования, то его представляют в виде (~~2 с ~'~2 Г 1(х,У) дх = 1(х, У) дх+ 1(х, У) дх, Ю~ Ш1 с где с Е ]ы1, ы~[, и считают сходящимся равномерно на множестве Е С У, Замечание 1.