Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 92
Текст из файла (страница 92)
1 о 1') Г(а) - — при а -++О; +со д) 1пп / е * о,х=1. УУ+ОФ О ~ 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 527 а) Раскладывая функцию (1 — 1х) ~1 в ряд, покажите, что при а ) О, 7 — а ) ) О и О < х < 1 интеграл Р(х) = ~ '(1 — ~)'- '(1 — ~х)-~ а о можно представить в виде Р(х) = ~) Р„х", о=о где Є— Ъ) Покажите, что Г(а) . Г(7 — а) а(а + 1)... (а + и — 1)3(3+ 1)... (3 + и — 1) Г(7) и!7(7+ 1) ° (7+ и — 1) с) Докажите теперь, что при а ) О, 7 — а ) О и О < х < 1 (*) ="',(() ' (,~,7,*) Г(7) Г(а) Г(7 — а —,В) Г(а) Г(7 — а) Г(7 — Р) Г(7) откуда и следует формула Гаусса.
10. Формула Стирлинга.'~ Покажите, что: а) 1п 1+ *— = 2х ~ ~, '2-* — — 1 при ~х~ < 1. т=о 11 Г 11 1 1 1 1 1 1 й) у« ", — '-," —. (" =')""" ,~~+17 Н! еуа е) о„= — — '-7-у — монотонно уоыаающае пооаедоаательнооть. '1Дж. Стирлинг (1б92 — 1770) — шотландский математик. й) При дополнительном условии 7 — а —,о ) О обоснуйте возможность перехода к пределу при х -+ 1 — О в обеих частях последнего равенства и покажите, что ГЛ. ХЧ11. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 528 1 1) 6„= а„е и' — монотонно возрастающая последовательность. я) и! = сп"+'~~е "+12, где О < В„< 1, а с = 11ш а„= 1пп 6„. л +оо о +оо Ь) Из соотношенияв1пях = ях П ~1 — — *2~ прих = 1/2вытекаетформула и Валлиса (и!)222л л-+со (2п)! ~й 1) Имеет место формула Стирлинга гп~~ в и! = ~/2яп ~ — ) етй, е Д) Г(х + 1) ° ~/2тх ( — *) при х — ~ +со.
( 11и 1 11. Покажите, что Г(х) = ~~; ~+ -„-т о=О позволяет определить Г(я) для комплексных + / ~* 1е ' й. Это соотношение 1 ~ Е С вне точек 0,-1,-2,... ~4. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функциях 1. Свертка в физических задачах (наводящие соображения). Разнообразные приборы и системы живой и неживой природы осуществляют свои функции, отвечая соответствующим сигналом 1 на воздействие 1.
Иными словами, каждый такой прибор или система является оператором А, преобразующим входной сигнал 1 в сигнал 1 = А1 на выходе. Разумеется, у каждого такого оператора своя область воспринимаемых сигналов (область определения) и своя форма ответа на них (область значений). Удобной математической моделью для большого класса реальных процессов и аппаратов является линейный оператор А, сохраняющий сдвиги.
Говорят, что оператор А инвариантен относительно сдвигов (или сохраняет сдвиги), если для любой функции 1 из области определения оператора А справедливо равенство А(Т„У) = Т„(АУ). Определение 1. Пусть А — линейный оператор, действующий на линейном пространстве определенных на Й вещественно- или комплекснозначных функций. Обозначим через Т~, оператор сдвига, действующий на том же пространстве по закону ~ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 529 Определение 2. Отклик ЕЯ прибора А на единичное импульсное воздействие о называют аппаратной функцией прибора (в оптике) или импульсной переходной функцией прибора (в электротехнике). Ы с«! ! ! ! ! ! ! ! ! ! о (~) Мы будем, как правило, пользоваться более коротким термином «аппаратная функция».
Не вдаваясь пока в детали, скажем, что 0 а импульс имитируется, например, функцией 6 (1), изображенной на рис. 100, причем эта Рис. 100. имитация считается все более точной по мере уменьшения длительно1 сти а «импульса» при сохранении его общеи «энергии» а — = 1.
Вместо ступенчатых функций для имитации импульса можно использовать гладкие функции (рис. 101) с соблюдением естественных условий: ! ! ! ~,„> О, Д,„(1)сЫ = 1, Д,„(1)сЫ-+ 1 при а -+О, где с!'(0) произвольная окрестность точки 1 = О. Откликом прибора А на идеальный единичный импульс (обозначаемый вслед за Дираком через о) следует считать функцию Е(1), к которой стремятся отклики прибора А на имитирующие импульс о входные Если 1 время, то соотношение А о Т~ — — Т~ о А можно трактовать как предположение о том, что свойства прибора А неизменны во времени: реакции прибора на сигналы Д1) и Д1 — 1о) отличаются только сдвигом на 1о по времени и больше ничем. Для любого прибора А возникают две следующие основные задачи: во-первых, предугадать реакцию ~ прибора на произвольное входное воздействие ~ и, во-вторых, зная сигнал ~ на выходе прибора, определить, если это возможно, поступивший на прибор входной сигнал ~.
Сейчас на эвристическом уровне мы решим первую из этих двух задач применительно к инвариантному относительно сдвигов линейному оператору А. Простой, но очень важный факт состоит в том, что оказывается для описания отклика ~ такого прибора А на любой входной сигнал ~ достаточно знать отклик Е прибора А на импульсное воздействие о. ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 530 сигналы по мере того, как эта имитация улучшается. Разумеется, при этом подразумевается некоторая (не уточняемая пока) непрерывность оператора А, т.е. непрерывность изменения отклика 1 прибора при непрерывном изменении входного воздействия 1. 7; 7;+1 Рис. 101. Рис.
102. Например, если взять последовательность (Ьи(1)) ступенчатых функций Ьи(1):= б~~„(1) (рис.100), то, полагая АЬи =: Еи, получаем Ао:= Е = 1пп Еи = 1пп АЬ„. и — ьоо и — +оо Рассмотрим теперь входной сигнал 1, рис. 102 и изображенную на этом же рисунке кусочно постоянную функцию 1~(1) = ~~~ 1 (т;)6~,($— г — т;)Ь. Поскольку 4 ~ 1 при 6 ~ О, то надо считать, что 4, = А1~ -+ А~ = ~ при 6 — ~ О.
Но если оператор А линейный и сохраняющий сдвиги, то 1~,ф = ~ ~(тДЕ~,(1 — т;)Ь, 2 где Е~ = А6~. Таким образом, при 6 ~ 0 окончательно получаем ~(1) = ~(т)Е(1 — т) Й7.. Формула (1) решает первую из двух указанных выше задач. Она представляет отклик ~(1) прибора А в виде специального интеграла, зависящего от параметра 1. Этот интеграл полностью определяется входным сигналом ~(~) и аппаратной функцией ЕЯ прибора А. С математической точки зрения прибор А и интеграл (1) просто одно и то же.
~ 4 СВЕРТКА ФУНКЦИИ 531 Определение 3. Сосрткой функций и: К вЂ” > С и и: К вЂ” ~ С называется функция и * и: 88'. — + С, определяемая соотношением (и * и) (х):= и(у)и(х — у) Иу, в предположении, что указанный несобственный интеграл существует при всех х Е К. Таким образом, формула (1) утверждает, что отклик линейного прибора А, сохраняющего сдвиги, на входное воздействие, задаваемое функцией ~, является сверткой ~ * Е функции ~ и аппаратной функции Е прибора А. 2. Некоторые общие свойства свертки. Рассмотрим теперь с математической точки зрения основные свойства свертки.
а. Достаточные условия существования. Напомним сначала некоторые определения и обозначения. Пусть ~: С вЂ” ~ С вещественно или комплекснозначная функция, определенная на открытом множестве С с К. Функция ~ называется локально интегрируемой на С, если любая точка х е С имеет окрестность Г(х) С С, в которой функция ~~ц ~ интегрируема. В частности, если С = К, условие локальной интегрируемости функции ~, о нвидно, равносильно тому, что ~~1„Ь~ Е Я[а,б] для любого отрезка [а, б]. Носителем функции ~ (обозначение впрр~) называется замыкание в С множества ~х Е С ~ ~(х) ~ 01. Функция ~ называется финитной (в С), если ее носитель компакт. Множество функций ~: С вЂ” ~ С, имеющих в С непрерывные производные до порядка т (О ( т ( оо) включительно, принято обозначать символом С~~)(С), а его подмножество, состоящее из финитных функций, символом Со (С).
В случае, когда С = К, вместо С~~~(К) и Со~ ~(Щ принято употреблять сокращения С~~) и Со~ ~ соответственно. Отметим заодно, что задача определения входного сигнала по выходу ~ сводится теперь к решению относительно ~ интегрального уравнения (1). ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 532 Укажем теперь наиболее часто встречающиеся случаи свертки функций, в которых без труда обосновывается ее существование. Утверждение 1.
Каждое из перечисленных ниже тпрех условий являетпся достаточным для существования свертки и~и локально интегрируемых функций и: К -+ С и и: К -+ С. 1) Функции ~и~2 и ~и~2 интегрируемы на К. 2) Одна из функций ~и~, ~и~ интпегрируема на К, а другая ограничена на К. 3) Одна из функций и, и финитна. 1) По неравенству Коши — Буняковского г ~и(у)и(х — у) ~ ау < ~и~ (у) ду ~и~ (х — у) ду, откуда и следует существование интеграла (2), поскольку 2) Если, например, ~и) — интегрируемая на К функция, а ~и~ < М на2, то 3) Пусть впрри С [а, Ь~ С К.
Тогда, очевидно, Поскольку и и и локально интегрируемы, последний интеграл существует при любом значении х Е К. Случай, когда финитной является функция о, сводится к разобранному заменой переменной х — у = г. ф. 34. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 533 Ь. Симметричность Утверждение 2. Если свертка идти существует, то существует также свертка и ж и и имеет место равенство и*о = и*и. ~ Выполнив в интеграле (2) замену переменной х — у = ю, получаем и ~ и(х):= и(у)и(х — у) Иу = и(з)и(х — ~) сЬ =: и * и(х).
> с. Сохранение сдвигов. Пусть, как и выше, Т, оператор сдвига, т.е. ~Т„)~(х) = ~(х — хв). Утверждение 3. Если свертка и ж и функций и и и существует, то справедливы следующие равенства: (4) Т~о (и ~ и) = Т~,и ж и = и ж Т~,и. ( Т„) ~и * и) (х):= (и * и) (х — хв):= и(у)и(х — хв — у) Иу = и(у — хв)и(х — у) ду = (Т~,и)(у)и(х — у) ау =: ((Т~,и) *и)(х). $ й. Дифференцирование свертки.
Свертка функций является интегралом, зависящим от параметра, и ее дифференцирование проводится в соответствии с общими законами дифференцирования таких интегралов, разумеется, при выполнении соответствующих условий, Условия, при которых свертка (2) функций и и и непрерывно дифференцируема, заведомо выполнены, если, например, и непрерывная, а и гладкая функция и одна из функций и, и финитна. ~ Если вспомнить физический смысл формулы (1), то первое из написанных равенств становится очевидным, а второе тогда получается из симметричности свертки.
Проведем, однако, формальную проверку первого равенства: ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 534 М Действительно, если ограничить изменение параметра любым конечным промежутком, то при указанных условиях весь интеграл (2) сведется к интегралу по некоторому, не зависящему от х, конечному отрезку. А такой интеграл уже можно дифференцировать по параметру в соответствии с классическим правилом Лейбница. ~ Вообще справедливо следующее ~ Когда и — непрерывная функция, утверждение непосредственно следует из только что доказанного выше. В общем виде оно получается, если еще принять во внимание наблюдение, сделанное в задаче 6 ~ 1. 1ь Замечание 1. Ввиду коммутативности свертки (формула (3)) утверждение 4, разумеется, останется в силе, если в нем поменять местами и и и, сохранив, однако, левую часть равенства (5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
