Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 95
Текст из файла (страница 95)
За упомянутые работы на Международном математическом конгрессе 1950 г. удостоен Филдсовской премии, присуждаемой молодым математикам. ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 548 Это соотношение, справедливое для регулярных обобщенных функций, лежит в основе следующего определения распределения Р д, получаемого умножением распределения Р Е Р' на функцию д Е С(~~: (14) (е" д,И:= (Г,д ю) Правая часть равенства (14) определена, и тем самым задается значение функционала Р д на любой функции ~р Е Ю, т.е. задается сам функционал Р д.
Пример 11. Посмотрим, как действует распределение о д, где д Е С(оо~. В соответствии с определением (14) и определением распределения о получаем (~ д, р):= (~ д р):= (д р)(0):= д(0) р(0). с. Дифференцирование обобщенных функций. Если ~ е С(ц, а ~р Е Св, то интегрированием по частям получаем равенство (со) ~'(х) ~р(х) дх = — 1" (х) ~р'(х) с~х. (15) Это равенство является отправной точкой для следующего основного определения дифференцирования обобщенной функции Р е Ю'. (Р' Ф:= — (Р ~'). (16) Пример 13.
Возьмем функцию ХевисайдаЦ ~ 0 при х<0, 1 при х>0, Ц О. Хевисайд (1850 — 1925) — английский физик и инженер, разработавший на символическом уровне важный математический аппарат, который теперь называется операииокным исчислением. Пример 12. Если ~ Е С(Ц, то производная от ~ в классическом смысле совпадает с производной от ~ в смысле теории распределений (разумеется, если, как всегда, отождествлять классическую функцию с соответствующей ей регулярной обобщенной функцией).
Это следует из сопоставления соотношений (15) и (16), в которых правые части совпадают, если распределение Р порождается функцией 1'. ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 550 и распределение, определяемое функцией, которая равна обычной производной от 1' при х ( 0 и х ) О. При х = 0 последняя функция не определена, но это и не важно для интеграла, которым она определяет регулярное распределение (~'). В примере 1 мы отмечали, что если 1" Е С(ц, то 1' = (~').
Покажем, что в общем случае это не так, а справедлива следующая важная формула: (17) М Действительно, (У', <Р) = — (У, <р') = — Дх)~р'(х) с~х = о + = — ( / -~- / ) Яж)у'(ж))ккх = — ((~ у)(х)/~~ — со о — У'(х)ср(х) сХх + (1" *ср)(х)ф~ — ~'(х)ср(х) сХх = (Я-~-О) — Д вЂ” О)) У(0) -'; / ~ (х)У(х) кКх = = (ГУ(0) А р)+(УЪ р), в (т) У(т)~ + ~ ~(0) ~(т — 1) + ~ ~~(0) ~(т — 2) + . + ГУ(~ ~(0) д. (18) Укажем теперь некоторые свойства операции дифференцирования обобщенных функций. утверждение 6. а) Любая обобщенная функция Р Е Ю' бесконечно дифференцируема.
Если все производные до порядка т функции 1": К вЂ” ~ С на промежутках х ( 0 и х ) 0 существуют, непрерывны и имеют односторонние пределы при х = О, то, повторяя проведенное при выводе формулы (17) рассуждение, получим ~4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 551 Ь) Операция Р: Ю' — ~ Р' дифференцирования линейна. с) Если г' Е Ю', д Е С~оо), то (Р д) Е Ю' и справедлива формула Лейбница т (» )(~) ~ ~й ~ (й) (~-й) Й=О ((Е д)',Ю):= — (Е"д,А:= — Яд Ю') = — (~",(д Ю)' — д' Ю) = = (Е"',Ю)+ Яд' Ю) = (~' д,Ф+(Е".д',И = (Е"' д+Е д',Ю) В общем случае формулу можно получить теперь методом индукции.
сЦ Пусть Г„„— ~ Р в Р' при т — ~ оо, т. е. для любой функции у б е Ю(Х",„,~р) — 3 (Р,ф при т — 3 оо. Тогда е) При указанных условиях сумма Я(х) ряда как равномерный на т компактах предел локально интегрируемых функций Я,„(х) = ~ ~~,(х) й=1 сама является локально интегрируемой.
Остается заметить, что для любой функции ~р Е Ю (т. е. финитной и бесконечно дифференцируемой) имеет место соотношение (Я~д, ф) = Я~д(х)ф ах — Ф Я(х)ф(х) ах = (Я, ~0). Теперь на основании доказанного в й) заключаем, что 5" — ~ У при т — ~ оо. $» сЦ Операция Р: Р' — ~ Ю' дифференцирования непрерывна. е) Если ряд ~ Я(х) = Я(х), составленный из локально интегрируй=1 емых функций ~~. К вЂ” ~ С, сходится равномерно на каждом лежащем в М компакте, то в смысле обобщенных функций его можно дифференцировать почленно любое число раз, и получаемые при зтом ряды будут сходиться в Ю'. ,~~ а) ($ (т) ф . (]7(т — 1) ф) .
( 1)т(р (т)) Ь) Очевидно. с) Проверим формулу при т = 1: ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 552 Мы видим, что, сохраняя важнейшие свойства классического дифференцирования, операция дифференцирования обобщенных функций приобретает ряд новых замечательных свойств, открывающих большую оперативную свободу, которой не было в классическом случае изза наличия там недифференцируемых функций и неустойчивости (отсутствия непрерывности) классического дифференцирования относительно предельных переходов. тх+Йх =О, (19) которое следует решать при начальных данных х(0) = О, х(0) = 1/т. Такое решение единственно и немедленно выписывается: 1 . й хф = яп — 1, 1>0.
т д. Фундаментальное решение и свертка. Мы начали этот пункт с интуитивных представлений о единичном импульсе и аппаратной функции прибора. В примере 7 была указана простейшая механическая система, которая естественным образом порождает линейный оператор, сохраняющий сдвиги по времени. Рассматривая ее, мы пришли к уравнению (11), которому должна удовлетворять аппаратная функция Е этого оператора. Мы закончим пункт, снова вернувшись к этим вопросам, но теперь с целью продемонстрировать их адекватное математическое описание на языке обобщенных функций. Начнем с осмысления уравнения (11).
В правой его части стоит обобщенная функция 0, поэтому соотношение ~11) следует трактовать как равенство обобщенных функций. Поскольку нам известны операция дифференцирования обобщенных функций и линейные операции над распределениями, то левая часть уравнения (11) теперь тоже понятна, даже если ее трактовать в смысле обобщенных функций. Попробуем решить уравнение (11).
При ~ < 0 система находилась в покое. При ~ = 0 точка получила единичный импульс, поэтому в момент 1 = 0 она приобрела такую скорость о = о(0), что то = 1. При 1 ) 0 на систему не действуют внешние силы и ее закон движения х = х® подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению ~ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ Поскольку в нашем случае при 1 ( 0 система покоится, то можно заключить, что (20) е(х) = Х(х) (21) удовлетворяет в смысле теории распределений уравнению +и~ е=Б. (22) Действительно, с< и Нянях г „яп их / = Н + 2Х сових — ыХ(х) 81пых+ ,япых + ыН(х) япих = о' + 26 сов ых. Далее, для любой функции ~р Е Ю < , в1п их , япых д' +2дсовых,у = д', ~р + (6,2(сових)(р) = — — "" *д +2р(0) = япых — (сов ых) ~р(х) + ~р'(х) +2ср(0) = ср(0) = (6,ср), х=О тем самым проверено, что функция (21) удовлетворяет уравнению (22). Введем, наконец, следующее где Н вЂ” функция Хевисайда (см.
пример 13). Проверим теперь, пользуясь законами дифференцирования обобщенных функций и результатами рассмотренных выше примеров, что задаваемая равенством (20) функция Е(1) удовлетворяет уравнению (11). Для упрощения записи проверим, что функция ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 554 Определение 9. Фундаментальным решением или функцией Грина (аппаратной функцией или функцией влияния) оператора А: Ю' -+ Ю' называется такая обобщенная функция Е е Ю', которая под действием оператора А переходит в функцию о е Ю', т. е.
А(Е) = о. Пример 17. В соответствии с этим определением функция (21) / ~г является фундаментальным решением для оператора А = ~ — + ы (, Их поскольку она удовлетворяет уравнению (22). Функция (20) удовлетворяет уравнению (11), т. е. является функци,1г ей Грина для оператора А = т — + й . Фундаментальная роль ап- ,1 г паратной функции оператора, сохраняющего сдвиги, уже обсуждалась в п.1, где была получена формула (1), на основании которой можно теперь записать соответствующее указанным в примере 7 начальным условиям решение уравнения (10): +ОО ГГ в1п»~ — т х~~) = (~ * Е)(~) = Д~ — т)Н(т) йт, ~~Ют (19) 1 . й х(1) = Д1 — т) в1п — тйт. ъ~~т т (20) Учитывая продемонстрированную важную роль свертки и фундаментального решения, ясно, что желательно определить также свертку обобщенных функций.
Это делается в теории распределений, но мы на этом останавливаться не будем. Отметим лишь, что в случае регулярных распределений определение свертки обобщенных функций равносильно рассмотренному выше классическому определению свертки функций. Задачи и упражнения а — 1 Нл(х):= Н(х) ел*, где а) О, а Л е С. Покажите, что Н,, » Н, = Н, 1. а) Проверьте ассоциативность свертки: и» (и» ш) = (и» и)» ш. Ь) Пусть, как всегда, Г(а) — гамма-функция Эйлера, а Н(х) — функция Хевисайда. Положим ~4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
