Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Заметим, что при !у — уо! ( е у( ) Р(х)~х !х-и! ' р(х) ах Х~В(у,е))ПВ(уо 2с) Х~В(уо,2я) Первый из этих двух интегралов при условии, что !у — уо! ( е, непрерывен по у (как собственный интеграл с фиксированной областью интегрирования). Второй же интеграл по абсолютной величине не пре- восходит Мах = 8яМе . !х — у! В(уо,2с) Разобранные примеры дают основание принять следующее общее Определение 1. Пусть интеграл (1) является несобственным и как таковой сходится при каждом значении у Е У.
Пусть Х, часть множества Х, полученная удалением из Х е-окрестности множества особых точек интеграла1), а Р,(у) = / Дх, у) сЬ. Будем говорить, что интеграл (1) сходится равномерно на множестве У, если Р,(у)::~ Р(у) на У при е -+ +О. Из этого определения и соображений, аналогичных тем, которые были продемонстрированы в примере 3, немедленно вытекает следующее полезное 'Утверждение 4. Если функция ~ в интеграле (1) допускает оценку !Дх,у)! (, где М Е К, х Е Х С К', у Е У С К' и х — у а ( и, то интеграл сходится равномерно на множестве У.
цСм. сноску на стр.562. Значит, при всех значениях у, достаточно близких к уо, будет выполнено неравенство !У,(у) — У,(ув)! ( е + 16яХе2, устанавливающее непрерывность У,(у) в точке уо Е 2 . Таким образом, показано, что потенциал У(у) является непрерывной функцией во всем пространстве Кз. ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 566 Пример 4. В частности, на основании утверждения 4 заключаем, что интеграл х полученный формальным дифференцированием потенциала (4) по переменной у' (2 = 1,2,3), сходится равномерно на множестве У = Кз, поскольку х х' — у' М 3 2' х — у)з )х — у Как и в примере 3, отсюда следует непрерывность функции г'г(р) на 2~. Убедимся теперь в том, что на самом-то деле функция У(у) — потенциал (4) — имеет частную производную — и что — (у) = г'г(у).
дУ дУ дуг дуг Для этого, очевидно, достаточно проверить, что 6 гМ,Н,Н) М = г~М,Н,Н)1 а Но действительно, 6 6 ~( ) ~г уг )-"( )(* У) у а а Х 6 6 н(*)~*, Ф' = н( ) ь, Ф' = х а х а и(*) ~* 1* — Ы = г~Ь)/', Х у'=а Единственное нетривиальное место в этой выкладке †изменен порядка интегрирований. В общем случае для перестановки несобственных интегрирований достаточно иметь абсолютно сходящийся по совокупности переменных кратный интеграл. В нашем случае зто условие удовлетворено, поэтому выполненная перестановка законна. Ее, конечно, можно обосновать и непосредственно благодаря простоте рассматриваемой функции.
~5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 567 Итак, показано, что потенциал У(у), порожденный распределенным в пространстве ~~ зарядом ограниченной плотности, является функцией, непрерывно дифференцируемой во всем пространстве. Использованные в примерах 3 и 4 приемы и рассуждения позволяют вполне аналогично рассмотреть следующую более общую ситуацию. Пусть Р(у) = К(у — у(х))ф(х, у) Их, (5) х и = т, ~р(х) = х, ф(х, у) = р(х), К(х) = ~х~ Нетрудно проверить, что при указанных ограничениях на функцию ~о определение 1 равномерной сходимости для интеграла (5) означает, что по любому а > О можно выбрать в > О так, что при любом у Е У будет (б) <а, ~у — р(х)~<с где интеграл берется по множеству1) (х Е Х ) )у — у(х) ) < в).
Для интеграла (5) справедливы следующие утверждения. 'Утверждение 5. Если интеграл (5) с указанными ири его оиисании условиями на функции у, ф, К сходится равномерно на У, то Р е С(У,В). ц Здесь мы считаем, что само множество Х ограничено в К". В противном случае к неравенству (6) надо еще приписать аналогичное неравенство, в котором интеграл берется по множеству (х Е Х ~ )х) > 1/я).
где Х вЂ” ограниченная измеримая область в Р"; параметр у пробегает область У С Р", причем и < т; у: Х -+ ~~ гладкое отображение, удовлетворяющее условиям ганя ~р'(х) = и, и ))~р'(х) ~! > с > О, т.е. <р задает и-мерную параметризованную поверхность, точнее, и — путь в ~~; К Е С(~~ \ О,К), т.е. функция К(х) непрерывна в К™ всюду, кроме точки х = О, около которой она может быть и неограниченной; ф: Х х У -+ 2 — ограниченная непрерывная функция.
Будем считать, что при каждом у Е У интеграл (5) (вообще говоря, несобственный) существует. В рассмотренном нами выше интеграле (4), в частности, было з 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 569 р е Я представить Я в виде ж = у(8), где 8 Е ~~ С ~~ и ганя р' = 2. Тогда *4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные функции в многомерном случае а. Свертка в 2Р Определение 2. Свертка и * о определенных на 1Г' вещественно или комплекснозначных функций и, и задается соотношением (и ~ п)(ж):= и(у)о(ж — у) иу.
(9) Пример 6. Сопоставляя формулы (4) и (9), можно заключить, что, например, потенциал У распределенного в пространстве 2 с плотз постыл р(ж) заряда есть свертка (р ~ Е) функции и и потенциала Е з единичного заряда, помещенного в начало координат пространства К . Соотношение (9) есть прямое обобщение рассмотренного в ~ 4 определения свертки. По этой причине все разобранные в ~4 для случая п = 1 свойства свертки вместе с их выводами остаются в силе, если там всюду заменить К на К". Дельтаобразное семейство в 2Р определяется так же, как и в К с заменой К на 2Р и с пониманием У(О) как окрестности в К' точки Обэп. Понятие равномерной непрерывности функции ~: С -+ С на множестве Е С С, а вместе с ним и основное утверждение 5 ~ 4 о сходимости и применяя утверждение 2, убеждаемся еще и в том, что интеграл (8) Ъ з представляет функцию У(у), непрерывную во всем пространстве К .
Вне носителя заряда, как уже отмечаюсь, объемный потенциал (4) и потенциал простого слоя (8) бесконечно дифференцируемы. Проводя зто дифференцирование под знаком интеграла, единообразно убеждаемся в том, что вне носителя заряда потенциал, как и функция 1/!ж — у!, в Ф удовлетворяет уравнению Лапласа ЬУ = О, т,е. является в указанной области гармонической функцией. ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 570 свертки 1 ~ Ь к 1, тоже со всеми деталями и следствиями переносится на многомерный случай.
Отметим лишь, что в примере 3 и доказательстве следствия 1 из ~ 4 при определении функций Ь„(ж) и ~р(ж) соответственно следует заменить ж на ~ж~. Небольшие видоизменения 0-образного семейства, приведенного в примере 4 ~ 4, потребуются для доказательства теоремы Вейерштрасса об аппроксимации периодических функции тригонометрическими полиномами. В этом случае речь идет о приближении функции Дж~,..., ж"), непрерывной и периодической с периодами Т~, Т2,..., Т„по переменным ж~, х~,..., х" соответственно.
Утверждение состоит в том, что для любого я ) 0 можно предьявить тригонометрический полином от и переменных с соответствующими периодами Т1, Т2,...,Т„, который равномерно с точностью до я приближает 1 на Р'. Мы ограничимся этими замечаниями. Самостоятельная проверка доказанных в ~4 для и = 1 свойств свертки (9) в случае произвольного и Е И будет для читателя простым, но полезным упражнением, способствующим адекватному пониманию изложенного в ~ 4. Ь. Обобщенные функции многих переменных. Остановимся теперь на некоторых многомерных элементах введенных в ~ 4 понятий, связанных с обобщенными функциями.
Пусть, как и прежде, С~~)(С) и С0 ~(С) — соответственно обозначения множеств бесконечно дифференцируемых и финитных бесконечно дифференцируемых в области С с К' функций. Если С = К", то будем применять сокращения С~0~) и С0~ ) соответственно. Пусть т:= (т1,..., т„) — мультииндекс, а В С0 (С) вводится сходимость функции; как и в определении 7, ~ 4 (оо) считается, что у~ -~ у в С0 (С) при й -~ оо, если носители всех фун(оо) кций последовательности ~~ру,) содержатся в одном и том же лежащем (т) в С компакте и для любого мультииндекса т <р~ --1 ~р(~) на С при Й -+ оо, т.е. имеет место равномерная сходимость функций и всех их производных.
После этого принимается 571 ~ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение 3. Линеиное пространство С~ (С) с введенн н (оо) ой сходимостью обозначается через Ю(С) (при С = К' через Ю) и называется пространством основных или пробных функции. Линейные непрерывные функционалы на Ю(С) называются обобщенными функциями или распределениями. Они образуют линеиное пространство обобщенных функций, обозначаемое через '0 (С) (или если С ~п) Сходимость в Ю'(С), как и в одномерном случае, определяется как слабая (поточечная) сходимость функционалов (см.
~ 4, определение 6). Определение регулярной обобщенной функции дословно переносится на многомерный случай. Остается прежним и определение Д-функции и смещенной в точку хв Е С о-функции, обозначаемой через д(хв) или чаще, но не всегда удачно, через д(х — ха). Рассмотрим теперь некоторые примеры. Пример 7. Положим 1~ ~2 Ь~(х):= е 4а'с, (2а~/Б)" где а > О, 8 > О, х Е К'. Покажем, что эти функции, рассматриваемые как регулярные распределения в Г', сходятся в Ю' при 1 -+ +О к в-функции УР. Для доказательства достаточно проверить, что семейство функций Ь~ является о-образным в Р' при 1 -+ +О. Используя замену переменной, сведение кратного интеграла к повторному и значение интеграла Эйлера — Пуассона, находим Ща Ща Далее при любом фиксированном значении т > О Ь~(х) сЬ = 1 е И~-+1, — Ы'! (/ )и В(О,т) в(о,, "д) когда 8 -+ +О.
ГЛ. ХУ11. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 572 Учитывая, наконец, неотрицательность функций Ь|(х), заключаем, чъп что они действительно составляют о-образное семеиство функции в К . Пример 8. Обобщением 6-функции (отвечающей, например, единичному заряду, помещенному в начало координат пространства ~") является следующая обобщенная функция д~ (отвечающая распределению заряда по кусочно гладкой поверхности Я с единичнои поверхностной плотностью распределения). Действие д~ на функции ~р Е Ю определяется соотношением Распределение д~, так же как и распределение о, не является регулярной обобщенной функцией. Умножение распределения на функцию из Ю определяется в 2 так же, как и в одномерном случае. н Пример 9. Если р Е Ю, то рд~ есть обобщенная функция, деиствующая по закону (,ид~, ~р) = ~р(х)и(х) Ио.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
