Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 100
Текст из файла (страница 100)
ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 580 гдеа) О,х ЕК, Й~~, 2~~ 1 Е Ц Х вЂ” функция Хевисайда, удовлетворяет уравнению ( — а )е=б, в котором д = д(х,8) есть д-функция пространства З ~ д2 д2 Пусть у Е Р(К ), полагая для краткости 2 П:= — — а~, находим (П,Е,~р) = (Е,П„у) = Их Е(х,1)П„~р(х,1) сИ = Й. % +со +со +со — И~ сЫ вЂ” сИ вЂ” Их— 00 о +со +со 1 Иф — — — (а8,1) сЫ вЂ” — — ( — а1,8) сЫ = 2а ./ сЫ ' 2 о о 1 — -~р(0 0) + ~р(0 0) — ~р(0 0) — (д ~р). 2 х+а(Ф вЂ” т) и(х,8) = — Йт Д~,т) И~ 1 2а о х — а(Ф вЂ” т) В 8 4 мы достаточно подробно изложили роль аппаратной функции оператора и роль свертки в задаче определ еления вхо ного воздействия и д по выходу й линейного оператора Ац = й, сохраняющего сдвиги.
се изложенное там по этому поводу без изменений р " пе еносится на многомерныи случай. ". Значит если нам известно фундаментальное решение Е оператора А, т.е. если АЕ = д то можно предъявить и решение и и уравнения Аи = ~ в виде свертки и = ~ * Е. Пример 17. Используя функцию Е(х, 1) примера 16, можно, таким образом, предъявить решение 581 ~ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА уравнения ди ди — — а — =~, д~2 дх2 являющееся сверткой 1" * Е функций 1" и Е, заведомо существующеи в предположении, например, непрерывности функции 1. Непосредственным дифференцированием возникшего интеграла по параметрам легко проверить, что и(х, 1) — действительно решение уравнения П„и = 1.
Пример 18. Аналогично на основе результата примера 15 находим решение ~~2 и(х 8) = Йт е 4' (' )Й~ [2а;/и (о — тя" О Ки уравнения ~~ — Ьи = 1, например, в предположениях непрерывности и ограниченности функции 1", обеспечивающих существование написанной свертки 1 э Е. Отметим, что эти предположения делаются для примера и далеки от обязательных. Так, с точки зрения обобщенных функций можно было бы ставить вопрос о решении уравнения ~" — Ьи = 1" допуская в качестве Дх, 1) обобщенную функцию у(х) 0(1), — и —,д где у Е З(~к), а о Е З'(К). Формальная подстановка такой функции 1" под знак интеграла приводит к соотношению и(х,й) = ю® 4а Ф (~~ [2а~~]" Применяя правила дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, можно убедиться, что эта функция является решением уравнения " — а~Ли = 0 при 1 ) О. Отметим, что и(х,1) -+ ~р(х), когда Ж 1 -+ +О.
Это вытекает из результата примера 7, где была установлена н о-образность встретившегося здесь семеиства функции. Пример 19. Наконец, вспоминая полученное в примере 14 фундаментальное решение оператора Лапласа, в трехмерном случае находим решение и(,) Ы) К~ ~х — ~) ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 582 уравнения Пуассона Ьи = — 4т1", которое с точностью до обозначений и перенормировки совпадает с рассмотренным нами ранее потенциалом (4) распределенного в пространстве с плотностью 1" заряда. Если в качестве функции 1" взять и(х)б5, где Я вЂ кусоч гладкая поверхность в ~~, то формальная подстановка в интеграл приводит к функции являющейся, как мы знаем, потенциалом простого слоя, точнее, потен- циалом заряда, распределенного по поверхности Я С К с поверхност- ной плотностью и(х).
Задачи и упражнения 1. а) Рассуждая, как и в примере 3, где была установлена непрерывность объемного потенциала (4), докажите непрерывность потенциала простого слоя (8). Ь) Проведите полное доказательство утверждений 4 и 5. 2. а) Покажите, что для любого множества М с К" и любого я ) 0 можно построить функцию ~ класса С~'о~ (К", К), удовлетворяющую следующим трем условиям одновременно: Чх 6 К" ~О ( Дх) ( (1); Чх Е М ®х) = 1); тпрр ~ С С М„где М, — я-раздутие (т. е.
я-окрестность) множества М. Ь) Докажите, что для любого замкнутого в К" множества М существует такая неотрицательная функция ~ е С~~~(К", К), что ®х) = 0) ~ (х е М). 3. а) Решите задачи 6 и 7 из ~ 4 применительно к случаю пространства К" произвольной размерности. Ь) Покажите, что обобщенная функция б~ (простой слой) не является регулярной.
4. Используя свертку, докажите следующие варианты аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. а) Любую непрерывную на компактном п-мерном промежутке 1 С К" функцию ~: 1 -+ К можно равномерно приблизить на нем алгебраическим многочленом от п переменных. Ь) Предыдущее утверждение остается в силе, даже если заменить 1 произвольным компактом Л С К и считать, что ~ б С(Л, С).
с) Для любого открытого в К" множества С с К" и любой функции ~ Е С~~~(С, К) найдется такая последовательность (Р~) алгебраических многочленов от п переменных, что при любом мультииндексе а = (а1,...,а„) таком, что ~а~ ( т, на каждом компакте Л с С будет Р~ ~ ~ ~~'"~ при й -~ оо. ~5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 583 с1) Если С вЂ” ограниченное открытое подмножество К" и ~ е С~'о~(С, К), то существует такая последовательность (Р~) алгебраических многочленов от п переменных, что при любом а = (а1,...,а„) Р, ~ ~ ~~ ~ на С, когда к -~ оо. е) Любую периодическую с периодами Т„Т2,..., Т„по переменным х',..., х" функцию ~ е С(К", К) можно в К" равномерно аппроксимировать тригонометрическими многочленами от п переменных, имеющими те же периоды Т1, Т2,..., Т„по соответствующим переменным.
5. Эта задача содержит дальнейшие сведения об усредняющем действии свертки. а) На основе числового неравенства Минковского в свое время при р > 1 мы получили интегральное неравенство Минковского 1/р 1/р 1/р < ~а(р(х) Их + (Ь~р(х) Их х х х Оно в свою очередь позволяет предугадать следующее обобщенное интегральное неравенство Минковского: 1/р 1/р Дх, д) Ид Их ( Ц~" (х, д) Их Ид. 1 Х Х 1 Докажите это неравенство, считая что р > 1, что Х, У вЂ” измеримые множества (например, промежутки в К"' и К" соответственно) и что правая часть неравенства конечна. Ь) Применив обобщенное неравенство Минковского к свертке ~ * д, покажите, что при р > 1 имеет место соотношение Ц * д~~р ( ~~Д1 ~~д~~р, где, как 1/р всегда, )~и)~р — — / )и~р(х) ах р,и с) ПУсть У Е Со (К",К), пРичем О < У(х) ( 1 на К" и 1 ~Р(х) Их = 1. Положим у,(х):= — у ( — ) и ~,:= ~ * у, при с > О.
Покажите, что если ~ Е 1 х Е Ер(К") (т. е. если существует интеграл / фр(х) ах), то ~, Е С~~~(К", К) и Отметим, что функцию ~, часто называют усреднением функции ~ с ядром у,. й) Сохраняя предыдущие обозначения, проверьте, что на любом промежутке 1 с К" справедливо следующее неравенство: )~~, — Яр,г < в11Р ~~т~~ — Ярг, )й(<е ГЛ.
ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 584 1/р где ЦиЦр1 — — / ~и/Р(х) их, а тР,~(х) = Дх — Й). 1 О2У О2У д /' (О~1 + Я~)ясояагб~) + ~~~ — ) сояа1бя. дх'дх1 дх'дх1 дх1 г ~ ~дхг) Ь) Покажите, что сумма ~, ~~~) сова, равна скачку ~~ ~ ~ нормальд дГ1 ,,~ д.1 И я ной производной от функции ~ в соответствующей точке х 6 Я, причем этот скачок не зависит от направления нормали и равен сумме ~~ — +~- — ~ (х) нормальных производных от 1, взятых в точке х с обеих сторон поверхности Я. с) Проверьте соотношение ~У = (~Л+ à — Ь+ — И.ГУ)ябя), ОУ д Оп Оп где» вЂ” — нормальна» производна» (т.е. (~,,Г,р):= — (Г, р~ ~), а (1Ļ— д скачок функции 1 в точке х Е Я в направлении нормали и.
с1) Используя полученное выражение для Ь~, докажите справедливость е) Покажите, что если ~ Е Яр(К"), то Ять~ — Пру ~ О пРи Й ~ О. 1') Докажите, что для любой функции ~ Е Яр(К"), р > 1 справедливы соотношения ~ф~~р < ~~Яр и ~~~, — Лр ~ О при е ~ +О. я) Пусть Я (С) — векторное с нормой ~~ ~~р ~ пространство абсолютно интегрируемых на открытом множестве С с К" функций. Покажите, что функции класса С1ао1(С) и Ир(С) обРазУют всюдУ плотное подмножество Я (С) и что это же верно и для множества Со (С) П Ир(С).
1оо) 11) Случаю р = оо в предыдущей задаче можно сопоставить следующее утверждение: любую непрерывную на С функцию можно в С равномерно аппроксимировать функциями класса С~оа1 (С). Ц Если ~ — Т-периодическая локально абсолютно интегрируемая на К фун- а+Т 1/р кция, то, полагая ~~Я~рт = / ~ДР(х) йх, будем через Я~~ обозначать а линейное пространство с указанной нормой. Докажите, что ~~~, — Яр,т ~ О при е ~+О. ~) Пользуясь тем, что свертка двух функций, из которых одна периодическая, сама периодична, покажите, что гладкие периодические функции класса С1"о~ всюду плотны в Я~~. 6. а) Сохраняя обозначения примера 11 и используя формулу (12), проверьте, что если 1 Е С~~1(К" ~ Я), то з 5.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 585 классической формулы Грина Цйр — рЬ|) Их = ~ — — у — йт Оп Оп с1ит = 4яб, йч ~ = 4ядб, йчягас1 ~ — = 4яб. х дх / (у цз ~ цз Исходя из этого, объясните, почему надо полагать, что функция Г(х) = р(~1 Н~ ~ должна удовлетворять уравнению ЬГ = — 4яр. Проверьте, что она Рз действительно удовлетворяет написанному уравнению Пуассона. Ь) Физическое следствие формулы Гаусса — Остроградского, известное в теории электромагнитного поля как теорема Гаусса, состоит в том, что поток через замкнутую поверхность Я напряженности электрического поля, создаваемого распределенными в пространстве Кз зарядами, равен я/ео (см. с.
329), где Я вЂ” полный заряд в области, ограниченной поверхностью Я. Докажите эту теорему Гаусса. 8. Проверьте следующие равенства, понимаемые в смысле теории обобщенных функций. а) ЬЕ = б, если А1 11 /Х/ — (и — 2) 2и п 2(и 2) при хЕК2, при хейи, п)2. Е(х) = в предположении, что С вЂ” конечная область в К", ограниченная кусочно гладкой поверхностью Я; ~, ~р Е С~~) (С) П С®(С), а стоящий слева интеграл существует хотя бы как несобственный. е) Покажите, что если б-функция соответствует единичному заряду, помещенному в начале координат О пространства К, и функция — — отвечает и дб дх1 диполю с электрическим моментом +1, расположенному в точке О и ориентированному вдоль оси х (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
