Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Тогда множество о Е = 1х Е [0,1] ] Дх) > а/2) содержит конечное число таких интервалов, сумма 1 длин которых не меньше, чем а/(4М). Докажите это, используя, например, интервалы такого разбиения Р отрезка [О, 1], которому отвечает нижняя сумма Дарбу в(~, Р), удовлетворяющая 1 соотношению О < / Дх) дх — в(~, Р) < а/4. о 10. а) Покажите на примерах из ~ 1, что не всегда из сходящейся на отрезке последовательности функций можно извлечь подпоследовательность, которая сходилась бы равномерно на этом отрезке.
Ь) Гораздо труднее непосредственно проверить, что из последовательности (~„; и Е И) функций ~„(х) = япих нельзя извлечь подпоследовательность, которая сходилась бы в любой точке отрезка [О, 2т]. Докажите, что это, однако,именно так (используйте результат задачи 9Ь) и то обстоятельство,что 2т ] (НППЬХ вЂ” я1Птц,+1Х) дХ = 2т ~ 0 ПрИ ИЬ < Иь+1). о с) Пусть ~~„; и Е И) — равномерно ограниченная последовательность функций ~„Е 7с[а, Ь]. Пусть х Г„(х) = ~„®Ж (а < х < Ь). а Покажите, что из последовательности (Г„; и Е И) можно извлечь подпоследовательность, равномерно сходящуюся на отрезке [а, Ь]. 15 — 4574 ГЛ.
ХУ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 468 11. а) Покажите, что если ~, ~„Е И([а, Ь], К) и ~„:4 1 на [а, Ь] при и ~ оо, то для любого числа в > О найдется такой номер Ю Е И, что при любом и > й будет выполнено соотношение ь (~ — ~„)(х) ах < я(Ь вЂ” а). а Ь) Пусть ~„е С~~~([а,Ь],К), и е И. Используя формулу ~„(х) = ~„(хо) + + ] Д(1) й, докажите, что если Д:4 ~р на отрезке [а, Ь] и существует точка ~о хо е [а, Ь], для которой последовательность (~„(хо); и е Щ сходится, то последовательность функций (~„; и е Щ сходится равномерно на [а, Ь] к некоторой функции ~ е С(Ц ([а, Ь], К), причем Д:4 ~' = ~р. * ~ 4.
Компактные и плотные подмножества пространства непрерывных функций Этот параграф посвящен более специальным вопросам, относящимся, однако, к вездесущему для анализа пространству непрерывных функций. Все эти вопросы, как, впрочем, и сама метрика пространства непрерывных функцийЦ, тесно связаны с понятием равномерной сходимости. 1.
Теорема Арцела — Асколи Для числовых функций или для функций ~: Х вЂ” + 2" это попросту означает существование такой константы М Е 2, что для любого х Е Х и любой функции 1 Е В будет ~~[х)~ < М. Определение 1'. Если множество Ъ' С У значений функций семейства У вполне ограничено [т. е. при любом г ) О для К в У найдется конечная г-сеть), то семейство У называется вполне ограниченным. ~~Если вы еще не вполне освоились с общими понятиями из главы 1Х, то без потери содержательности дальнейшего можете считать, что всюду речь идет о функциях, действующих из К в К, или из С в С, или из К™ в К . Определение 1. Семейство У функций ~: Х вЂ” + У, определенных на множестве Х и принимающих значения в метрическом пространстве У, называется равномерно ограниченным на множестве Х, если множество Ъ' = (у Е У ~ 3 1" Е У 3 х Е Х [у = ~[х))) значений функций семейства ограничено в У.
~ 4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 469 Для пространств У, где понятия ограниченного и вполне ограниченного множества совпадают (например для 2, С, ~", С™ и вообще в случае локально компактного пространства У), понятия равномерно ограниченного и вполне ограниченного семейства функций со значениями в У тоже совпадают. Определение 2. Пусть Х и У вЂ” метрические пространства.
Семейство У функций ~: Х вЂ” + У называется равностепенно непрерывным на множестве Х, если для любого е ) О существует о ) О такое, что при х1, х2 Е Х соотношение дл-(х1, х2) < о влечет ду(~(х1), ~(х2)) < е, какова бы ни была функция ~ семейства. Пример 1. Семейство функций (х"; п Е И1 не является равностепенно непрерывным на отрезке [О, 1], но оно равностепенно непрерывно на любом отрезке вида [О, д], где О < д < 1. Пример 2.
Семейство функций (яппх; п Е И1 не равностепенно непрерывно ни на каком невырожденном отрезке [а, Ь] С К. Пример 3. Если семейство (Д„: [а, Ь] — ~ К; а Е А1 дифференцируемых функций ~ таково, что семейство (~'; а Е А1 их производных Д равномерно ограничено постоянной,то,как следует из формулы конечных приращений, ~Д„(х2) — Д„(х1)~ < М~х2 — х1~, и, значит, исходное семейство равностепенно непрерывно на отрезке [а, Ь]. Связь введенных понятий с равномерной сходимостью непрерывных функций демонстрирует уже следующая Лемма 1.
Пусть К и У вЂ” метрические пространства, причем К вЂ” компакт. Для того, чтобы последовательность (~„; п Е И1 непрерывных функций ~„: К вЂ” ~ У сходилась на компакте К равномерно, необходимо, чтобы семейство (~„; п Е И) было вполне ограниченным и равностепенно непрерывным. ~ Пусть ~„~ ~ на К. По теореме 2 из ~3 заключаем, что ~ Е Е С(К, У).
Из равномерной непрерывности ~ на компакте К вытекает, что для любого е ) О найдется такое о ) О, что при х1, х2 Е К (дк(х1,х2) < о =~ ду®х1), ~(х2)) < е). По этому же е ) О найдем такой номер Я Е И, чтобы при п ) Я в любой точке х Е К иметь ду(~(х),~„(х)) < е. Сопоставляя эти неравенства, пользуясь неравенством треугольника, находим, что при любом п ) Я и х1, х2 Е К из дк(х1,х2) < о следует ду(~'„(х1),~„(х2)) < Зе. Значит, семейство ГЛ. ХУ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 470 (1„; и > Я~ равностепенно непрерывно. Добавляя к нему равностепенно непрерывное семейство (~1,..., ~у), состоящее из конечного числа непрерывных на компакте К функций, получим равностепенно непрерывное семейство (~„; и е И).
То, что оно вполне ограничено, вытекает из неравенства ау(~(х),~„(х)) < е, справедливого при х Е К и и ) Я, а также из М того, что ДК) и Ц ~„(К) компактны в У, и, значит, вполне ограниП=1 чены в У. ~ На самом деле справедлива следующая общая Теорема 1 (Арцела — Асколи). Пусть У вЂ” семейство функций 1: К вЂ” + У, определенных на метрическом компакте К со значениями в полном метрическом пространстве У.
Для того, чтобы любая последовательность (1„Е У; и Е Щ содержала равномерно сходяи~уюся подпоследовательность, необходимо и достаточно, чтобы семейство У было вполне ограниченным и равностепенно непрерывным. ~ Необходимость. Если бы У не было вполне ограниченным семейством, то, очевидно, можно было бы построить такую последовательность (~„; и Е И1 функций ~„Е У, которая не была бы вполне ограниченной и из которой (см. лемму) уже нельзя было бы извлечь равномерно сходящуюся последовательность.
Если семейство У не равностепенно непрерывно, то найдутся число ео ) О и такие последовательность функций (1„Е У; и Е И1 и последовательность ((х~„,х~~); и Е Щ пар (х„,х~„) точек х„, хп, сходящихся при и — + оо к некоторой точке хо Е К, что с1у®,(хп), 1„(х,",)) > ео ) О. Тогда из последовательности (1„; и Е И) уже нельзя извлечь сходящуюся равномерно подпоследовательность: ведь по лемме 1 функции такой подпоследовательности должны были бы составлять равностепенно непрерывное семейство. Достаточность. Компакт К будем считать бесконечным множеством, иначе утверждение тривиально.
Фиксируем в К счетное всюду плотное подмножество Е последовательность (х„е К; и е Щ. Такое множество Е легко получить, взяв, например, объединение точек конечных е-сетей в К, получаемых при е = 1, 1/2,..., 1/и,... Пусть (1„; и Е И) — произвольная последовательность функций се- ~4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 471 ду(д (х),д„(х)) < д1.(д„(х),д„®)) +Му(д Я,д„®)) + + ду(д (х), д (~,)) < е + е + е = Зя.
Но х произвольная точка компакта К, значит, по критерию Коши последовательность (д„; и Е Щ действительно равномерно сходится наК. 9 2. Метрическое пространство С(Х, Г). Одной из наиболее естественных метрик на множестве С(К, У) функций ~: К вЂ” ~ У, непрерывных на компакте К и принимающих значения в метрическом пространстве У, является следующая метрика равномерной сходимо- мейства У. Последовательность (~„(х1); и Е Щ значений этих функций в точке х1 по условию ограничена в У и, поскольку У полное пространство, из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность (~„„(х1); Й Е И1. Функции полученной последовательности, как будет видно, удобно обозначить через Д, и Е И.
Индекс 1 показывает, что это последовательность, построенная по точке х1. Из полученной последовательности извлечем подпоследовательность (Д„; Й Е И1, которую обозначим через (Я и Е И1, такую, что последовательность (Д„~х2); Й Е И1 является сходящейся. Продолжая этот процесс, получим серию (ф и Е И1, Й = 1,2,... последовательностей. Если теперь взять «диагональную» последовательность (д„= Д'; и Е И), то она, как легко видеть, будет сходиться в любой точке всюду плотного множества Е С К.
Покажем, что последовательность (д„; и Е И1 сходится в любой точке компакта К и что ее сходимость равномерная на К. Для этого фиксируем е ) О и подберем о ) О в соответствии с определением 2 равностепенной непрерывности семейства У. Пусть Е1 = (~1,..., ~~~— конечное подмножество Е, образующее о-сеть в К. Поскольку последовательности (д„®); и Е И1, з = 1, 2,..., Й сходятся, найдется такой номер Я, что при т, и ) Я будет д1.(д~п®), д„®)) < е' для г = 1, 2,..., й. Для каждой точки х е К найдется такая точка ~ Е Е, что дк(х,( ) < о.
В силу равностепенной непрерывности семейства У отсюда следует, что ду(д„(х),д„®)) < е' при любом и е И Используя полученные неравенства, теперь находим, что при любых т, и ) Я ГЛ. ХУ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 472 е~(~, д) = шах ду ®х), д(х) ), где 1", д Е С(К, У), а максимум существует, так как К вЂ” компакт. Происхождение названия метрики связано с тем, что, очевидно, д(~„, ~) -+ — ~ О Ф~ ~„:-~ ~ на К. Учитывая последнее соотношение, на основании теоремы 2 из ~3 и критерия Коши равномерной сходимости можно заключить, что метрическое пространство С(К, У) с метрикой равномерной сходимости является полным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
