Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 81
Текст из файла (страница 81)
'Теорема 1. Пусть Я; 1 Е Т)1 — семейство функций Р!.. Х -+ С, зависящих от параметра 1; Бл- — база в Х, Бг — база в Т. Если при базе Бт семейство сходится равномерно на Х к функции Р: Х вЂ” ~ С, а при каждом 1 Е Т существует предел 1ипЯх) = А~, то существуют Бх оба повторных предела 1пп 1ипР~(х), 1пп 1ппР~(х) и имеет место Бх Бт ' Бт Б~ равенство 1пп 1пп Р~(х) = 1пп 1пп Р~(х) (2) Бх Бт Бт Бх В левой части этого соотношения сначала делается предельный переход по базе п -+ оо, а затем предельный переход по базе х -+ хо, а в правой части предельные переходы по тем же базам проводятся в другом порядке.
Изучая функции нескольких переменных, мы видели, что равенство (1) имеет место далеко не всегда. Видели мы это и на разобранных в предыдущих двух параграфах примерах, показывающих, что предел последовательности непрерывных функций не всегда является функцией непрерывной. Дифференцирование и интегрирование являются некоторыми специальными операциями предельного перехода. Значит, вопрос о том, получим ли мы одно и то же, если сначала продифференцируем (проинтегрируем) функции семейства, а затем перейдем к пределу по параметру семейства, или сначала найдем предельную функцию семейства, а затем будем ее дифференцировать (интегрировать), снова сводится к проверке возможности изменения порядка двух предельных переходов.
13. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 451 Эту теорему удобно записать в виде следующей диаграммы: Р~(х):::~ Р(х) Вт Вх Э Вт А' — ~ А, ~ Поскольку Р~ ~ Р на Х при базе Бт, по критерию Коши для любого я ) О найдется такой элемент ВТ базы Бт, что при любых 11, 12 Е ВТ и любом х Е Х будет выполнено неравенство ~РФ,(х) — РФ,(х)~ < я. (4) Переходя в этом неравенстве к пределу по базе Бл-, получим соот- ношение (5) ~А~, — А~,~ < я, справедливое для любых 11, 12 Е ВТ.
По критерию Коши существования предела функции отсюда следует, что функция А~ имеет некоторый предел А по базе Бт. Проверим теперь, что А = 1пп Р(х). Вх Фиксировав 12 Е Ву, найдем такой элемент Вл- базы Бл-, что при любом х Е Вл- имеет место неравенство ~Р~,(х) — А~,~ < ~. (6) Не меняя 12, совершим в (4) и (5) предельный переход по базе Бт относительно параметра 11.
Тогда получим, что (7) (8) причем неравенство (7) справедливо при любом х е Х. в которой над диагональю указаны условия, а под диагональю их следствия. Равенство (2) означает, что эта диаграмма коммутативна, т. е. окончательный результат А не зависит от того, выполнить ли сначала операции, отвечающие переходу по верхней и правой стороне диаграммы, или в том же смысле сначала пройти по левой, а затем по нижней ее стороне. Докажем сформулированную теорему. ГЛ. ХЧ1.
РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 452 Сопоставляя соотношения (6) — (8), пользуясь неравенством треугольника,получаем,что ~Р(х) — А) < Зе при любом х Е Вх. Тем самым проверено, что А = 1ип Р(х). ~ 1~х Замечание 1. Как видно из приведенного доказательства, теорема 1 остается в силе для функций Р~. Х -+ У со значениями в любом полном метрическом пространстве К Замечание 2. Если к условиям теоремы 1 добавить требование существования предела 1пп А~(х) = А, то, как видно из доказательства, Вт равенство 1пп Р(х) = А можно получить, даже не предполагая полноту Нх пространства У значений функций Р~.
Х -+ К 3. Непрерывность и предельный переход. Покажем, что если непрерывные в некоторой точке множества функции сходятся равномерно на этом множестве, то и предельная функция непрерывна в этой точке. Теорема 2. Пусть Я; 1 Е Т) — семейство функций ~~. .Х -+ С, зависящих от параметра 1;  — база в Т. Если ~~ ~ 1" на Х при базе В и функции 1~ непрерывны в точке хо Е Х, то функция 1": Х -+ С тоже непрерывна в зтой точке. ~ В нашем случае диаграмма (3) приобретает следующий конкретный вид: Ях) ~,1 (х) 8 х+хо х+хо Л(хо) — ~ Йхо) Здесь все предельные переходы, кроме правого вертикального, заданы самими условиями теоремы 2. Нетривиальное нужное нам следствие теоремы 1 состоит именно в том, что 1ип ~(х) = ~(хо).
~ х~хо Замечание 3. Мы не конкретизировали природу множества Х. На самом деле это может быть любое топологическое пространство, лишь бы в Х была определена база х — ~ хо. Значения функций Д~ могут ~3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 453 лежать в любом метрическом пространстве, которое, как следует иэ замечания 2, даже не обязано быть полным. Следствие 1. Если последовательность функций, непрерывных на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция тоже непрерывна на зтом множестве. В качестве иллюстрации возможного использования полученных результатов рассмотрим Пример 1. Метод Абеля суммирования рядов.
Сопоставляя следствие 2 со второй теоремой Абеля (утверждение 4 из 3 2), приходим к заключению, что справедливо утверждение 1. Если степенной ряд ',~, 'с„(~ — ~О)" сходится в п=О некоторой точке ~, то он сходится равномерно на отрезке [яО, ~], идущем из яО в точку ~, и сумма ряда непрерывна на этом отрезке. В частности, это означает, что если числовой ряд ~ сп сходится, п=О то степенной ряд ~~~, 'спхп сходится равномерно на отрезке О < х < 1 п=О действительной оси и его сумма в(х) = ~~~, спхп непрерывна на этом п=О отрезке. Поскольку в(1) = ~~~; с„, можно, таким образом, сказать, что п=О если ряд ~~~, сп сходится,то справедливо равенство п=О с„= 1!т 2 с„х".
х-+1 — О п=О п=О (9) Интересно, что в соотношении (9) правая часть порой может иметь смысл даже тогда, когда ряд, стоящий слева, в традиционном его понимании является расходящимся. Например, ряду 1 — 1+ 1 —... соответствует ряд х — х + х3 —..., который при ~х~ < 1 сходится к функции х/(1+ х). При х — ~ 1 эта функция имеет предел 1/2. Следствие 2.
Если ряд из функций, непрерывных на некотором множестве, сходится на нем равномерно, то сумма ряда тоже непрерывна на зтом множестве. ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 454 Метод суммирования ряда, называемый методом Абеля, состоит в приписывании левой части равенства (9) значения правой части этого равенства, если последнее значение определено. Мы видели, что если ряд ,'>, 'сп в традиционном смысле сходится, то по методу Абеля ему п=О будет сопоставлена его же классическая сумма. Вместе с тем, например, расходящемуся в традиционном смысле ряду '> , '( — 1)п метод Абеля п=О сопоставляет естественную усредненную величину 1/2. Дальнейшие вопросы в связи с разобранным примером 1 можно найти в задачах 5 — 8. Пример 2. В свое время, обсуждая формулу Тейлора, мы показали, что при ~х~ < 1 имеет место разложение (1+ х) — ~(~ — 1)...
(~ — + 1) =1+ — х+ х +...+ хп+... 2! п1 Можно проверить, что при а > 0 числовой ряд (1 — ~) =1 — — ~ + 2 а ~ 2 с~(с~ 1) 4 11 2! ( „а(а — 1)... (а — и+ 1) п и этот ряд сходится к функции (1 — 8~)~ равномерно на отрезке [ — 1, 1]. Полагая в (11) а = ~ и ~~ = 1 — х при ~х~ < 1, получаем, что 1 ~х~ =1 — — (1 — х )+ (1 — х ) 2 2 2(2 ) 22 1.' 21 (12) и стоящий справа ряд многочленов сходится к функции ~х~ равномерно на отрезке [ — 1, 1]. Полагая Рп(х):= Яп(х) — Яп(0), где Яп(х) есть и-я сходится. Значит, по теореме Абеля, если с~ > О, ряд (10) сходится равномерно на отрезке 0 < х < 1.
Но функция (1+ х) ~ непрерывна в точке х = 1, поэтому можно утверждать, что если а > О, то равенство (10) имеет место и при х = 1. В частности, можно утверждать, что при а > 0 ~ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 455 частичная сумма этого ряда, находим, что какую бы точность е ) О ни задать, найдется такой многочлен Р1х), что Р(О) = О и п1ах ~)х) — Р(х)) < е. — 1(х(1 Вернемся теперь к общей теории. Мы показали, что непрерывность функций сохраняется при равномерном предельном переходе.
Условие равномерности предельного перехода является, однако, только достаточным для того, чтобы пределом непрерывных функций была непрерывная же функция (см. по этому поводу примеры 8, 9 из 8 1). Вместе с тем имеется конкретная ситуация, в которой из сходимости непрерывных функций к непрерывной же следует, что эта сходимость является равномерной. Утверждение 2 (теорема Дини1)). Если последовательность непрерывных на компакте функций сходится на нем монотонно и к непрерывной же функции, то эта сходимость равномерная.
~ Пусть для определенности 1"„стремятся к 1" не убывая. Фиксируем произвольное е ) О и для любой точки х компакта Л найдем такой номер и, что О < Дх) — ~„. (х) < е. Поскольку функции 1 и ~„. непрерывны на Л, неравенства О < Д~) — 1„. (~) < е останутся в силе и в некоторой окрестности У(х) точки х Е Л. Из покрытия компакта К такими окрестностями можно извлечь конечное покрытие У(х1),..., У(х1С) и затем фиксировать номер п(е) = п1ах(п „..., и „).
тогда при любом и ) п(е) в силу неубывания последовательности ~~„; и Е И) будем иметь О < Д~) — Я~) < е в любой точке ~ Е Л. ~ Следствие 3. Если члены ряда '>, 'а„(х) суть неотрицательные п=1 непрерывные на компакте Л функции а„: Л -+ К и ряд сходится на К к непрерывной функции, то он сходится на Л равномерно. ~ Частичные суммы в„(х) = ~, асс(х) данного ряда удовлетворяют В=1 условиям теоремы Дини. ~ Пример 3. Покажем, что последовательность функций ~„(х) = 1 = п(1 — х~~") при и -+ +ос сходится к функции Дх) = 1п — равномерно ~~У.
Дйни 11845 — 1918) — итальянский математик, наиболее известные его работы относятся к теории функций. ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 456 на каждом отрезке [а, Ь], лежащем в промежутке О < х < оо. Отметим что при этом например, на промежутке О < х < 1 рав) 7 7 1 номерной сходимости, очевидно, нет, поскольку функция 1п — неограничена на нем, в то время как каждая из функций Д„(х) ограничена на этом промежутке (зависящей от и константой).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
