Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Напомним (в случае необходимости см. гл. У1, ~2, п. 3) следующее тождество, называемое преобразованием Абеля: аьЬь = А Ь вЂ” А„~Ь„~- ~ Аь(Ьь — Ьь<.,), (4) где аь, = Аь, — Аь, 1, й = и,..., т. Если Ь„, Ь„+1,..., Ь,„— монотонная последовательность вещественных чисел, то, даже если а„,а„+1,..., а„, комплексные числа или векторы какого-то нормированного пространства, на основании тождества (4) можно получить следующую нужную нам оценку: тп аЬЬЬ ( 4 шах ~А1, ) шах()6„~, ~Ьт„Ц. ть — 1(й(тть (5) ~ В самом деле, тть — 1 ~,АЬ(ЬЬ вЂ” ЬЬ~~) < й=ть )А,„Ь )+ )А„16„)+ < тах /Аь) /Ь / ~- )Ь„) ~- А ~Ьь — Ьь...) ть-1(й(тть ных компонент рассматриваемых рядов.
Но эти условия тоньше, чем признак Вейерштрасса, поскольку они позволяют исследовать и такие ряды, которые сходятся, но неабсолютно. ~2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 445 1Ч 06 1+ И+16 — Ь 1) < и — 1<й<т < 4 П1аХ )А1,) . П1аХ((6„), )Ь,п)). и — 1<й<тп В участвующем в этой выкладке равенстве как раз и использована монотонность последовательности чисел Ь~. 1~ или а2) ряд ~~~, 'а„(х) равномерно сходится на Е; п=1 ,82) последовательность функций Ьп(х) монотонна и равномерно ограничена на .Е.
~ Монотонность последовательности Ьп(х) позволяет при каждом х е Е записать аналогичную (5) оценку а~)х)Б~(х) ( 4 тах ~А~(х)~ . тах)~Ь„(х)), ~Ь (х))), (5') и-1(й(тп где в качестве А~(х) возьмем в~(х) — вп 1(х). Если выполнена пара условий а1), Д), то, с одной стороны, существует такая постоянная М, что ~А~(х) ~ < М при любом й Е И и любом х Е Е, а с другой стороны, каково бы ни было число е > О, при всех достаточно больших значениях п и т и любом х Е Е будет выполнено неравенство шах(~Ьп(х)~, ~Ьтп(х)~) < ~~~~. Значит, из (5) следует, что при всех достаточно больших значениях п и т и любом х Е Е будет ,т'тверждение 3 (признак Абеля — Дирихле равномерной сходимости ряда).
Для равномерной сходимости на множестве Е ряда ~)' ,ап(х)Ьп(х), члены которого являются произведениями комплексноп=1 значных функций ап: Х -+ С и вещественнозначных функций Ьп: Х -+ -+ К, достаточно, чтобы выполнялась любая пара следующих условий: й ОО а1) частичные суммы в1,(х) = ~~)' ,ап1х) ряда ~~)„ап1х) равномерно п=1 п=1 ограничены на Е; Д) последовательность функций Ьп(х) монотонна и равномерно стремится к нулю на множестве Е; ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 446 ~~, айаг(х)Ь1г(х) < Я, т. е. ДлЯ РассматРиваемого РЯДа выполнен кРитей=п ий Коши авноме ной схо имости.
Р Р Р д В случае пары условий а2),,82) ограниченной оказывается величина шах(~Ьп(х) ~, ~Ьпг(х) ~). В то же время, ввиду равномерной сходимости ряда ,'~, 'ап(х), по критерию Коши для любого я ) О при любых доп=1 статочно больших значениях и и Й ) и и любой точке х Е Е будет ~А1г(Х)~ = ~81г(Х) — 8п 1(Х) ~ < Я. УЧИтЫВаЯ ЭтО, ИЗ НЕРаВЕНСтВа (5) ВНОВЬ заключаем, что для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости.
~ Замечание 4. В случае, когда функции ап и Ьп постоянные, утверждение 3 превращается в признак Абеля — Дирихле сходимости числовых рядов. Пример 7. Исследуем при х Е К сходимость ряда п=1 (6) Поскольку гпх — е и" (7) и" то при а < О для ряда (6) не выполнено необходимое условие сходи- мости, и он расходится при любом значении х Е К. Таким образом, в дальнейшем можно считать, что а ) О. Если а ) 1, то из (7) на основании признака Вейерштрасса заключаем, что ряд (6) сходится абсолютно и равномерно на всей числовой оси К. Для исследования сходимости при О < а < 1 воспользуемся признаком Абеля — Дирихле, полагая ап(х) = е'и* и Ьп(х) = — . Поскольку 1 при а ) О постоянные функции Ьп(х) монотонно и, очевидно, равномерно относительно х Е К стремятся к нулю, то остается исследовать частичные суммы ряда ~~~, е'и*.
п=1 Для удобства дальнейших ссылок мы рассмотрим суммы ~~~, 'е'"*, 1г=О отличающиеся от частичных сумм нашего ряда только начальным слагаемым 1. ~ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 447 Используя формулу геометрической прогрессии и формулу Эйлера, последовательно находим при х ф 2гт, т Е Ж, е 2 г — х гг+ 1 1 яп — х гг+1 2 яп— х 2 г(гг+Цх ~йх егх 1г=О х е'2 ЯП2ХП..П и+1 соя — х + г яп — х~ . (8) 81П вЂ” * 2 2 2 l яп — х гг+ 1 2 г — х яп— х 2 Значит, для любого п Е И й~ 1г=О (9) <— хг яп— 2 гггх гтггх + .
+ и т Но это в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда означает, что на указанном множестве Е ряд (6) не может сходиться равномерно. В дополнение к сказанному можно отметить, что, как видно из равенства (7), ряд (6) сходится неабсолютно при О < а < 1. откуда по признаку Абеля — Дирихле вытекает, что ряд (6) при О < < сг < 1 сходится равномерно на любом множестве Е С К на котором 1пГ ~яп ~~~ ) О. В частности, ряд (6) просто сходится при любом хЕЕ х ф 2гтт, т, Е У.
Если же х = 2гтт, то е'"~ ~ = 1, и ряд (6) превращается в числовой ряд ~~㠄— ~, который при О < а < 1 расходится. 1 гг=1 и Покажем, что из сказанного уже можно заключить, что при О < < а < 1 ряд (6) не может сходиться равномерно ни на каком множестве Е, замыкание которого содержит точки вида 2тт, т Е У. Положим для определенности, что О Е Е. Ряд ~~г„— ~ при О < а < 1 расходит- 1 =1 ся. По критерию Коши найдется число ео ) О такое, что, какое бы гг' Е И ни взять, можно будет подобрать числа т ) п ) М так, что +...
+ — ~ ) ео ) О. В силу непрерывности функций е'"х на К отсюда следует, что в Е можно выбрать точку х, столь близкую к нулю, что ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 448 Замечание 5. Для дальнейшего полезно заметить, что, отделяя в (8) действительную и мнимую части, получаем следующие соотношения: и сов — х а1п 2 х и и+1 сов кх— 81п -* й=О 2 и и ° и~1 а1п кх— а1п -* В=О 2 (10) справедливые при х Ф 2тт, т Е Ж. В качестве еще одного примера использования признака Абеля— Дирихле докажем следующее утверждение 4 (так называемая вторая теорема Абеля о степен- ных рядах).
Если степенной ряд ~~~, 'с„(г — яО)" сходится в некоторой и=О точке 1, Е С, то он сходится равномерно на отрезке с концами яО, 1,. ~ Точки указанного отрезка представим в виде я = яО + (~ — яО)1, где О < ~ < 1. Подставив это выражение для я в данный степенной ряд, получим ряд ~~~, 'си(~ — яО)"Р. По условию числовой ряд ~~~, 'си(~ — яО)и и=О и=О сходится, а последовательность функций 1" монотонна и равномерно ограничена единицей на отрезке [О, 1]. Значит, выполнены условия а2), ,82) признака Абеля — Дирихле и утверждение 4 доказано. ~ Задачи и упражнения 1.
Исследуйте характер сходимости на множествах Е С К при различных значениях действительного параметра а следующих рядов: п=1 Ь) Е -'-'"„-Р. п=1 2. Докажите, что следующие ряды сходятся равномерно на указанных множествах: а) ~, ~ — „-) — хп при О < х < 1. п=1 Ь) ~, ~ф — е "* при О < х < +ос. п=1 с) ~; ~+~ — при О < х < +ос. п=1 ~3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 449 3. Покажите, что если ряд Дирихле ", ф сходится в точке хо е К, то он п=1 сходится равномерно на множестве х > хо, причем, если х > хо + 1, то ряд сходится абсолютно.
— 1п 1х2 4. Проверьте, что ряд " , '2 * сходится равномерно на К, а ряд (1+ х )и х2 хотя и сходится на К, но неравномерно. 2)п 5. а) На примере рядов из задачи 2 покажите, что признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда является достаточным, но не необходимым условием равномерной сходимости ряда. Ь) Постройте ряд ", а„(х) с неотрицательными непрерывными на отрезке п=1 О ( х < 1 членами, который сходится равномерно на этом отрезке, и в то же вРемЯ РЯД ~, Мп, составленный из величин Мп = п1ах ~а„(х)~, РасхоДитсЯ.
п=1 0(х(1 б. а) Сформулируйте упомянутый в замечании 4 признак Абеля — Дирихле сходимости ряда. Ь) Покажите, что условие монотонности (6„) в нем можно несколько ослабить, потребовав, чтобы последовательность 16„) была монотонна лишь с точностью до поправок (Д„), образующих абсолютно сходящийся ряд. 7.
В дополнение к утверждению 4 покажите вслед за Абелем, что если степенной ряд сходится в некоторой точке границы круга сходимости, то его сумма имеет в этом круге предел по любому не касательному к граничной окружности направлению, идущему в эту точку. ~ 3. Функциональные свойства предельной функции 1. Конкретизация задачи. В этом параграфе будут даны ответы на поставленные в ~ 1 вопросы о том, когда предел семейства непрерывных, дифференцируемых или интегрируемых функций является функцией, обладающей тем же свойством, и когда предел производных или интегралов от функций семейства совпадает с производной или интегралом от предельной функции этого семейства, Чтобы разъяснить математическое содержание обсуждаемых вопросов, рассмотрим, например, связь непрерывности и предельного перехода. Пусть ~п(х) -+ ~(х) на К при и -+ оо, и пусть все функции последовательности (~п; и Е Ы) непрерывны в точке хо Е К.
Мы интересуемся непрерывностью предельной функции ~ в той же точке хо. Для ответа на этот вопрос нам нужно проверить равенство 1пп ~(х) = ~(хо), кох+хо ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 450 торое в терминах исходной последовательности переписывается в виде соотношения 1пп ( 1пп ~„(х)~ = 1пп ~„(хо) или, с учетом данной нам х — +хо ~и — +ос / и — +со непрерывности функций ~„в точке хо, записывается в форме следующего подлежащего Щ>оверке соотношения: 1!т ( 1!т !„1х)) = 11т (!!т ~„(х)). 2. э'словия коммутирования двух предельных переходов. Покажем, что если из последовательно выполняемых предельных переходов хотя бы один равномерен, то предельные переходы перестановочны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
