Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Теперь ясно, что ф:~Х наЕ) => ® — +Х наЕ), В Н т.е. если семейство ~~ сходится равномерно к функции Х на множестве Е, то оно и поточечно сходится к ~ на этом множестве. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Пример 8. Рассмотрим семейство функций ~~. Х -+ К, определенных на отрезке Х = (х Е К ~ 0 < ж < 1) и зависящих от параметра 8 Е]0, 1]. График функции у = Ях) изображен на рис.99. Ясно, что в любой точке х Е Х 1пп~~(т) = О, т. е. Л -+ ~ при 8 -+ О.
Вместе с тем й — эО Соотношение между сходимостью и равномерной сходимостью напоминает соотношение между непрерывностью и равномерной непрерывностью функции на множестве. Чтобы лучше уяснить взаимоотношение сходимости и равномерной сходимости семейства функций, введем величину Ь|(х) = ~~~х) — Ях) ~, измеряющую отклонение значения функции ~~ от значения функции Х в точке х Е Е. Рассмотрим также величину Ь| — — впр Ь|(х), характе- хЕЕ ризующую, грубо говоря, максимальное (хотя его может и не быть) по всем точкам ж Е Е отклонение значений функции ~~ от соответствующих значений функции Х.
Таким образом, в любой точке х Е Е имеем А(х) < ЛФ. В этих обозначениях приведенные определения, очевидно, можно записать следующим образом; 31. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 435 Ь~ — — япр )~(х) — Ях) ) = япр ~Ях) ) = 1, т. е. Ь| уЬ О при й -+ О, и значит, х61 х61 семейство сходится,но не сходится равномерно. Будем для удобства в таких случаях говорить, что семейство сходится к предельной функции неравномерно. Если параметр ~ интерпретировать как время, то сходимость семейства функций ~~ на множестве Е к функции ~ означает, что при любой заданной точности е > О для любой точки х Е Е можно указать момент 8„ х начиная с которого, т.
е. при 8 > 8„значения Рис. 99. всех функций ~~ в точке х будут отличаться от значения ~(х) меньше чем на е. Равномерная же сходимость означает, что наступит момент 1„начиная с которого, т. е. при 8 > 8„уже сразу во всех точках х Е Е будет выполнено соотношение ~~(х) — Ях)~ < е. Для неравномерной сходимости типична изображенная на рис.99 картина бегущего горба большого уклонения. Пример 9. Последовательность заданных на отрезке О < х < 1 функций ~„(х) = х" — х2", как легко видеть, в любой точке х этого отрезка стремится к нулю при и -+ оо.
Чтобы выяснить, равномерная ли эта сходимость, найдем величину Ь„= шах ~~„(х)~. Посколь- 0(х(1 ку Д(х) = их" 1(1 — 2х") = О при х = О и х = 2 1~", то ясно, что Ь„= ~„(2 '1") = 1/4. Таким образом, Ь„уЬ О при и -+ оо, и наша последовательность сходится к предельной функции ~(х): — О неравномерно. Пример 10. Рассмотренная в примере 1 последовательность функций ~„= х" на отрезке О < х < 1 сходится к функции О, если О<х<1, ~(х) = 1, если х= 1 неравномерно, так как при любом и Е И япр ~~(х) — ~„(х)~ = япр ~~(х) — ~„(х)~ = 0(х(1 О<х<1 япр )~„(х)~ = япр (х" ( = 1.
О<х<1 О<х<1 ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 43б Пример 11. Рассмотренная в примере 2 последовательность фун- 2 кций Ях) = „* сходится к нулю равномерно на всем множестве К при п -+ оо,так как в данном случае вш п2х ~~(х) — ~„(х)~ = ~~„(х)~ = ( —, п т. е. Ь„< 1/и и, значит, Ь„-+ О при п -+ оо. 4. Критерий Коши равномерной сходимости. В определении 9 мы сказали, что значит, что семейство функций ~~ равномерно на некотором множестве сходится к заданной на этом множестве функции.
Обычно, когда задается семейство функций, предельная функция еще неизвестна, поэтому разумно принять Определение 10. Будем говорить, что семейство Я; ~ Е Т) функций ~~. Х -+ К сходится на множестве Е С Х равномерно при базе В, если оно сходится на этом множестве и сходимость к возникающей при этом на Е предельной функции 1": Е -+ К является равномерной в смысле определения 9. Теорема (критерий Коши равномерной сходимости). Пусть Я; 8 Е Т) — семейство функций ~~. Х вЂ” з К, зависящих от параметра ~ е Т, и о база в Т. Для тово, чтобы семейство Я; ~ е Т) сходилось на множестве Е С Х равномерно при базе В, необходимо и достаточно, чтобы для любоео е > О нашелся такой злемент В базы В, что при любых значениях параметров 81,82 Е В в любой точке х е Е было выполнено неравенство )~~,(х) — ~с,(х)) < е.
В формальной записи это означает, что ~~ сходится равномерно на Е прибазео ~=- Че > О ЗВ Е о Ч81,~2 Е В Чх Е Е Я~,(х) — ~~,(х)~ ( е). ~~~,(х) — ~~,(х)~ < ~~(х) — ~с,(х)~ + ~~(х) — ~~,(х)~ < е/2+ е/2 = е. Достаточность. При каждом фиксированном значении х Е Е величину Ях) можно рассматривать как функцию переменной 8 Е Т. ф Н е о б х о д и м о с т ь приведенных условий очевидна, ибо если 1": Е -+ К предельная функция и ~~ -4 1 на Е при о, то найдется элемент В базы о такой, что при любом 8 Е В и любом х Е Е будет ~~(х) — Ях) ~ < е/2.
Тогда при любых ~1, 82 Е В и любом х Е Е будет ~ 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 437 Замечание 1. Определения сходимости и равномерной сходимости, которые мы привели для семейств вещественнозначных функций ~~. Х -+ К, разумеется, остаются в силе для семейств функций ~~. Х -+ — ~ У со значениями в любом метрическом пространстве У. Естественное изменение, которое при этом следует сделать в приведенных определениях, состоит в замене ~~(х) — Ях)] на ду (~(х), Ях)), где ду означает метрику в пространстве У.
Для векторных нормированных пространств У, в частности для У = С, или У = К™, или У = С™, не приходится делать даже этих формальных изменений. Замечание 2. Критерий Коши, конечно, тоже остается в силе для семейств функций ~~. Х -+ У со значениями в метрическом пространстве У, если У полное метрическое пространство. Как видно из доказательства, условие полноты У нужно лишь в пункте, относящемся к достаточности условий критерия. Задачи и упражнения 1. Выясните, равномерно ли сходятся рассмотренные в примерах 3 — 5 последовательности функций. 2.
Докажите равенства (2), (3). 3. а) Покажите, что рассмотренная в примере 1 последовательность функций сходится равномерно на любом отрезке ~0, 1 — о] С ~0, 1], но на множестве (О, 1] сходится неравномерно. Ь) Покажите, что это же справедливо и для последовательности, рассмотренной в примере 9. с) Покажите, что рассмотренное в примере 8 семейство функций ~~ при 8 -+ О сходится равномерно на любом отрезке ~Б, 1] с ~0, 1], но на множестве Если выполнены условия теоремы, то для этой функции выполнены условия критерия Коши существования ее предела при базе В. Значит, семейство Я; 8 Е Т) по крайней мере поточечно сходится к некоторой функции ~: Š— ~ К на множестве Е при базе В.
Если теперь перейти к пределу в неравенстве ~~~,(х) — ~~,(х)~ < я, справедливом при любых 11,82 Е В и любых х Е Е, то можно получить, что ]~(х) — ~~,(х)] < е' при любом 82 Е В и любом х Е Е, а это с точностью до несущественных переобозначений и замены строгого неравенства нестрогим как раз совпадает с определением равномерной сходимости семейства Я; ~ Е Т) к функции ~: Е -+ К на множестве Е при базе В. ~ ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 438 ~ 2. Равномерная сходимость рядов функций 1. Основные определения и критерий равномерной сходи- мости ряда Определение 1.
Пусть (а„: Х -+ С; п е И) — последовательность комплекснозначных (в частности, вещественнозначных) функций. Говорят, что ряд ~, а„(х) сходится или равномерно сходится на п=1 множестве Е С Х, если на Е сходится или соответственно равномерно сходится последовательность т в„,(х) = ~ а„(х); т Е И п=1 10,1] сходится неравномерно. й) Исследуйте на сходимость и равномерную сходимость семейство функций ~~(х) = яп 1х при ~ -+ О, а затем при 1 — ~ оо. Фх2 е) Охарактеризуйте сходимость семейства функций ~~(х) = е '* при ~ — ~ — ~ +ос на произвольном фиксированном множестве Е С К.
4. а) Проверьте, что если семейство функций сходится (сходится равномерно) на множестве, то оно сходится (сходится равномерно) и на любом подмножестве этого множества. Ь) Покажите, что если семейство функций ~~, Х -+ К сходится (сходится равномерно) на множестве Е при базе В, ад: Х -+ К ограниченнаяфункция, то и семейство д ~~. Х вЂ” ~ К тоже будет сходиться (равномерно сходиться) на Е при базе В. с) Докажите, что если семейства функций ~~. Х -+ К, д~. Х -+ К равномерно сходятся на множестве Е С Х при базе В, то и семейство 6~ — — а~~+,Вд~, где а„д Е К, тоже сходится равномерно на множестве Е при базе В.
5. а) При доказательстве достаточности условий критерия Коши мы совершили предельный переход 11ш~~,(х) = 1(х) по базе В в Т. Но ~1 Е В, В а В база в Т, а не в В. Можем ли мы совершить этот предельный переход так, чтобы ~1 оставалось в В? Ь) Поясните, где в доказательстве критерия Коши равномерной сходимости семейства функций ~~. Х вЂ” ~ К использована полнота К. с) Заметьте, что если все функции семейства Я: Х -+ К; 1 Е Т) постоянные, то доказанная теорема в точности дает критерий Коши существования предела функции ~р: Т -+ К при базе В в Т.
6. Докажите, что если семейство функций ~~ Е С(1, К), непрерывных на отрезке 1 = (х Е К ) а < х < Ь), сходится равномерно на интервале ]а, Ь~, то оно сходится, и причем равномерно, на всем отрезке (а, Ь]. ~2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 439 Определение 3. Суммой ряда называется предел последовательности его частичных сумм. Таким образом, запись я(х) = 2 о„(х) на Е п=1 означает, что 8„„(х) -+ 8(х) на Е при т -+ оо, а запись ряд 2 а„(х) равномерно сходится на Е означает, что 8,„(х) ~ 8(х) на Е при т -+ оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
