Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 77
Текст из файла (страница 77)
а) Докажите, что построенное отображение инъективно. Ь) Покажите, что для любой системы у1,..., у~ линейно независимых векторов пространства У в Х найдутся такие векторы х',..., х", что х'(у ):= = Цх', у ) = б', где б' = 0 при г ~ у и б' = 1 при г = у. с) Проверьте, что построенное отображение Х -+ У* является изоморфизмом линейных пространств Х и У*. с1) Покажите, что первая и вторая теоремы де Рама означают в совокупности, что с точностью до изоморфизма Н"(М) = Н„*(М).
ГЛАВА ХУ1 РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД РЯДАМИ И СЕМЕЙСТВАМИ ФУНКЦИЙ ~ 1. Поточечная и равномерная сходимость 1. Поточечная сходимость Определение 1. Говорят, что последовательность (~„; п Е И) функций ~„: Х -+ К сходится в точке х е Х, если сходится последовательность (~„(х); п Е И) значений этих функций в точке х.
Определение 2. Множество Е с Х точек, в которых последовательность (~„; п Е И) функций Д„: Х -+ К сходится, называется множеством сходимости последовательности функций. Определение 3. На множестве сходимости последовательности функций (~„; п Е И) естественно возникает функция ~: Е -+ К, задаваемая соотношением ~(х):= 1пп Ях). Эта функция называется и — ~ос предельной функцией последовательности (~„; п е И) или пределом последовательности функций (~„; и Е И). Определение 4.
Если ~: Е -+ К предельная функция последовательности (~„; п е И), то говорят, что эта последовательность функций сходится (или сходится поточечно) к функции ~ на множестве Е. В этом случае пишут ~(х) = 1пп ~„(х) на Е или ~„-+ ~ на Е при и — +оо п ~ оо. 1 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 429 Пример 1. Пусть Х = (х Е К ~ х > 0), а функции Д„: Х -+ К заданы соотношением Ях) = х", и Е И. множеством сходимости этой последовательности функций, очевидно, является отрезок 1 = [О, Ц, а предельной является функция ~: 1 -+ К, задаваемая условиями О, если 0<х<1, ~(х) = 1, если х = 1. Пример 2.
Рассматриваемая на К последовательность функций 2 Ях) = ~'"„" * сходится на К к функции ~: К -+ О, тождественно равной нулю. Пример 3. Последовательность Ях) = 8'""* тоже имеет своим п~ пределом функцию ~: 2 — ~ О, тождественно равную нулю. Пример 4. Рассмотрим на отрезке 1 = [О, 1] последовательность функций ~„(х) = 2(п+ 1)х(1 — х )". Поскольку пд" -+ 0 при ~д~ < 1, эта последовательность на всем отрезке 1 стремится к нулю. Пример 5. Пусть т,п е И, и пусть Дт(х):= 1пп (соат.'тх)~".
и — +оо Если т. 'х целое, то ~т(х) = 1, если же т! х ф У, то, очевидно, Дт(х) = = О. РассмотРим тепеРь послеДовательность (1т; т Е И) и покажем, что на всей числовой оси она сходится к функции Дирихле О, если хфЯ, Ю(х) = 1, если х ЕЯ. Действительно, если х ф Я, то т'. х ф У, и Дт(х) = 0 при любом значении т Е И, значит, ~(х) = О. Если же х = ~~, где р Е У, д Е И, то уже при т ) д будет т. 'х Е У и ~т(х) = 1, что влечет ~(х) = 1. Итак, 1пп ~т = Ю(х). т — ~со 2.
Постановка основных вопросов. Предельный переход встречается в анализе на каждом шагу и часто бывает важно знать, какими функциональными свойствами обладает предельная функция. Главные из таких свойств для анализа непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость. Значит, важно выяснить, будет ли предельная функция непрерывной, дифференцируемой или интегрируемой, если соответствующим свойством обладали допредельные функции.
При этом 430 ГЛ. ХУ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ особенно важно найти достаточно удобные в работе условия, при выполнении которых из сходимости функций следует сходимость производных или интегралов от этих функций к производной или интегралу от предельной функции. Как показывают разобранные выше простейшие примеры, без каких-либо дополнительных условий соотношение «~„-+ ~ на [а, Ь~ при и — ~ оо», вообще говоря, не влечет ни непрерывности предельной функции, даже при непрерывности функций ~„, ни соотношений Д вЂ” ~ ~' Ь Ь или / ~„(х) Ох -+ / ~(х) йх, даже если все указанные производные и а а интегралы определены.
Действительно, в примере 1 предельная функция разрывна на отрезке [0,1~, хотя допредельные функции непрерывны на нем; в примере 2 производные псовп2х допредельных функций вообще не сходятся, а значит, не сходятся и к производной от предельной функции, которая в данном случае тождественно равна нулю; 1 в примере 4 имеем / ~„(х) Их = 1 при любом значении и Е И, в то О 1 время как / ~(х) Йх = 0; о в примере 5 каждая из функций ~,„равна нулю всюду, кроме конеч'а ного числа точек, поэтому / ~,„(х) Их = 0 на любом отрезке [а, Ь] Е К, а в то время как предельная функция Ю вообще не интегрируема ни на каком отрезке числовой оси.
Вместе с тем: в примерах 2, 3, 4 непрерывны как допредельные, так и предельные функции; в примере 3 предел производных ~~'„"~ функций последовательности совпадает с производной от предельной функции этой последова- 2 тельности; 1 1 в примере 1 имеем / ~„(х) Их -+ / ~(х) Их при и -+ оо. О О Наша основная цель выяснить, в каких же случаях предельные переходы под знаком интеграла или под знаком дифференцирования законны. Рассмотрим в этой связи еще 11. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 431 Пример 6. Мы знаем, что при любом х Е К 3 5 ( ) 2т+1 в1пх=х — — х + — х —...+ х +..., 3! 5! ' ' (2т+ 1)! но после приведенных примеров мы понимаем, что соотношения 2т+1 ( 1)т (2т+ 1)1 Ь Г ( 1)т а!пхЫх= 2 х + Ых, (2т+ 1)! а т=О а (2) (3) вообще говоря, нуждаются в проверке.
В самом деле, если равенство 5(Х) = а1(Х) + а2(Х) +... + ат(Х) + .. а'(х) = 2 а (х), т=1 Ь Г '*" =~/-~.)' т=1 а в силу линейности операций дифференцирования и интегрирования равносильны равенствам У(х) = 1пп 5„'(х), Ь Ь Я(х) Их = 1пп Яи(х) Их, и — +оо к которым мы теперь должны относиться с осторожностью. В данном случае оба соотношения (2), (3) легко проверяются, поскольку известно, что при любом х Е К 2 1 4 ( 1) 2т совх=1 — — х + — х —...+ х +..
2! 4! (2т) ! понимать в том смысле, что 5(х) = 1пп Яи(х), где Яи(х) = ~~); ат(х), и — ~оо т=1 то соотношения ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 432 Однако представьте себе, что равенство (1) является определением функции япх. Ведь именно так обстояло дело с определением функций я1п я, сов я, е' для комплексных значений аргумента. Тогда нам нужно было бы свойства возникшей новой функции (ее непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость), как и законность равенств (2), (3), извлекать непосредственно из того, что эта функция является пределом последовательности частичных сумм написанного ряда. Главным понятием, с помощью которого в ~ 3 будут получены достаточные условия законности указанных предельных переходов, является понятие равномерной сходимости. 3. Сходимость и равномерная сходимость семейства функций, зависящих от параметра. При обсуждении постановки вопросов мы ограничились выше рассмотрением предела последовательностей функций.
Последовательность функций — это важнейший частный случай семейства функций Л(х), зависящих от параметра 8, когда ~ е И. Последовательности функций, таким образом, занимают здесь то же место, какое в теории предела функций занимает теория предела последовательности. О пределе последовательности функций и связанной с ней теорией сходимости рядов функций мы будем подробно говорить в ~ 2, а здесь обсудим основные для всего дальнейшего понятия сходимости и равномерной сходимости семейства функций, зависящих от параметра. Нам, как правило, придется в этой книге рассматривать такие семейства функций, для которых областью параметров Т являются множества И, К, С натуральных, действительных или комплексных чисел соответственно или их подмножества, хотя, вообще говоря, множество Т может быть любой природы.
Так, в рассмотренных выше примерах 1 — 5 было Т = И. В примерах 1 — 4 при этом можно было бы без потери их содержательности считать, что параметр п есть любое по- Определение 5. Функцию (х, 1) ~-+ Р(х, 1) двух переменных х, 1, определенную на множестве Х х Т, называют семейством функций, зависящих от параметра 1, если по тем или иным причинам переменная 1 Е Т выделяется и называется параметром.
Множество Т при этом называют множеством или областью значений параметра, а само семейство часто записывают в виде Ях) или (~~, 1 Е Т), явно выделяя параметр. 1 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 433 ложительное число, а предел берется по базе и -+ оо, и Е Я+. Определение 7. Говорят, что семейство функций сходится на множестве Е С Х при базе В, если оно сходится при этой базе в каждой точке х Е Е.
Функция ~(х):= 1ппЯх) на Е называется предельной функцией В или пределом семейства функций ~г на множестве Е при базе В. Пример 7. ПустьЯх) =е ~*~~1, хЕХ=К, 1еТ=К~О, В база 1 — ~ О. Это семейство сходится на всем множестве К, причем 1, если х=О, 1пп Ях) = ~-+со О, если х у~ О. Теперь дадим два основных определения. Определение 8. Говорят, что семейство (~~, 1 Е Т) функций ~г. Х -+ К сходится поточечно (или просто сходится) на множестве Е с Х при базе В к функции ~: Š— ~ К, если 1ппЯх) = ~(х) в В любой точке х Е Е.
В этом случае мы часто будем писать ® — ~ ~ на Е). В Определение 9. Говорят, что семейство Я; 1 Е Т) функций Л. Х -+ К сходится равномерно на множестве Е С Х при базе В к функции ~: Е -+ К, если для любого е > О найдется такой элемент В базы В, что при любом значении 1 Е В в любой точке х Е Е выполняется неравенство ~~(х) — Ях)~ < е.
В этом случае мы часто будем писать ®::4 ~ на Е). В Определение 6. Пусть (~г. Х -+ К; 1 Е Т) — семейство функций, зависящих от параметра, и пусть В база в множестве Т значений параметра. Если существует предел 1пп Ях) при фиксированном значении х е В Е Х, то говорят, что семейство функций сходится в точке х. Множество всех таких точек сходимости называется множеством сходимости семейства функций при данной базе В. ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 434 Приведем еще формальную запись этих важных определений: ® — +Х наЕ):= = Че > О Чж Е Е ЗВ Е В Ч8 Е В Я(х) — Ях)~ < е), ®~~ наЕ):= = Че > 0 ЭВ е В Чх е Е Ч~ е В Я(х) — Ях)) < е). ® — + ~ на Е):= Чх Е Е (Ь|(х) -+ 0 при о'), ф:~ ~ на Е):= (Ь| -+ 0 при о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
