Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 74
Текст из файла (страница 74)
дифференцированием ~ по вектору Х(р) ~ 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 411 поля Х. Поле Х на М называется гладким (класса С~~)), если для любой функции 1. Е С~~) (М, К) функция Х1. тоже принадлежит классу С1' )(М, К). Дайте локальную координатную запись векторного поля и эквивалентное приведенному, но координатное определение гладкого (класса С1~)) векторного поля на гладком многообразии. Ь) Пусть Х и У вЂ” два гладких векторных поля на многообразии М. Для функций 1' Е С1 )(М,К) построим функционал: [Х,У]~:= Х(У~) — У(Х~). Проверьте, что [Х, У] — тоже гладкое векторное поле на М.
Оно называется скобкой Пуассона векторных полей Х и У. с) Наделите гладкие векторные поля на многообразии структурой алгебры Ли. 3. а) Пусть Х и 1о — гладкое векторное поле и гладкая 1-форма на гладком многообразии М. Пусть АХ означает применение 1о к вектору поля Х в соответствующих точках многообразия М. Покажите, что АХ вЂ” гладкая функция на М. Ь) Учитывая задачу 2, покажите, что имеет место следующее соотноше- ние Аг~(Х, У) = Х(1о'У) — У(1о'Х) — 1о'([Х, У]), где Х, У вЂ” гладкие векторные поля, Аг1 — дифференциал формы 1о1, Аг1(Х, У) †применен Аг1 к парам связанных с одной точкой векторов полей Х, У.
с) Проверьте, что в общем случае формы 1о порядка т справедливо соотношение тп+1 й)(Х1,...,Х «1) = ~ ( — 1)'«1Х,1о(Х1,...,Х„...,Хт„+1)+ г=1 + ~ ( — 1)'+г1о([Х„Х ],Х1,...,Х„...,Х,...,Х «1), 1(г(1(ттг+1 где символ отмечает выпускаемый член, [Х„Х ] — скобка Пуассона полей Х„Х, а Х,1о — дифференцирование функции 1о(Х1,..., Х„..., Х «1) по векторам поля Х,. Поскольку скобка Пуассона определена инвариантно, то полученное соотношение можно расценить как довольно сложное, но инвариантное определение оператора д: й — т й внешнего дифференцирования. с1) Пусть 1о — гладкая т-форма на гладком п-мерном многообразии М.
Пусть ф,..., ~ «1),— векторы в К", отвечающие в карте ~р,: К" -+ ст' С М векторам ~1,..., ~ +1 Е ТМ„,. Обозначим через П, образованный векторами ®,..., ~ +1), в К" параллелепипед, и пусть ЛП, — параллелепипед, натянутый на векторы (Л~1,..., Л~ +1),. Образы ~р,(П,), ~р,(ЛП,) этих параллелепипедов в М обозначим через П и ЛП соответственно. Покажите, что 1 Аг(Р)ф,..., ~ «1) = 1пп дргп) 412 ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 4. а) Пусть 1": М вЂ” ~ Х вЂ” гладкое отображения гладкого т-мерного многообразия М в гладкое и-мерное многообразие Х. Используя интерпретацию касательного вектора к многообразию как пучка касающихся путей (см. задачу 1), постройте индуцируемое отображением ~ отображение ~'„(р): ТМ„, — ~ — ~ ТЦ~„~.
Ь) Покажите, что отображение ~„линейно и запишите его в соответствующих локальных координатах многообразий М и Х. Объясните, почему ~,(р) называют дифференциалом отображения ~ в точке р или отображением, касательным к ~ в этой точке. Пусть ~ — диффеоморфизм. Проверьте, что ~,[Х,У] = [~„Х, 1„У]. Здесь Х, У вЂ” векторные поля на М, а [, ] — их скобка Пуассона (см. задачу 2). с) Касательное отображение ~„(р): ТМ„, -+ ТИд ~~р~ касательных пространств, как известно из ~ 1, порождает сопряженное отображение ~*(р) сопряженных пространств и вообще определенных на ТИ~~р~ и ТМ„, пространств Й-форм. Пусть ы — к-форма на Х; й-форма ~*ы на М определяется соотношением где ~1,..., ~~ Е ТМ„,. Так возникает отображение ~*: й" (Х) -+ й~(М) пространства Й~(Х) заданных на Х Й-форм в пространство Й~(М) Й-форм на М.
Проверьте следующие свойства отображения ~*, считая М и Х многообразиями класса гладкости С~ 1' ~* — линейное отображение; 2 1' (ы1 Л ы~) = 1' ы~ Л 1' м2,' 3' д о ~* = ~* о И, т. е. Щ*ы) = ~*(ды); 4' (У2 о У1) = ~'~* о с1) Пусть М и Х вЂ” гладкие и-мерные ориентированные многообразия, а ~р: М вЂ” ~ Х вЂ” диффеоморфизм М на Х. Покажите, что если ы — и-форма на Х с компактным носителем, то ы =е ф*ы, ~(м~ м 1, если ~р сохраняет ориентацию, где е = — 1, если ~р меняет ориентацию.
е) Пусть А Э В. Отображение г:  — ~ А, которое каждой точке х Е В ставит в соответствие ее же как точку множества А, называют каноническим вложением В в А. Если ы — форма на многообразии М, а М' — подмногообразие М, то каноническое вложение г: М' — ~ М порождает на М' форму г*ы, которую называют сужением или ограничением формы ы на М'. Покажите, что правильная ~3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 413 запись формулы Стокса (18) должна иметь вид Ш= /г'и, м ам где г: дМ -+ М вЂ” каноническое вложение дМ в М, а ориентация на дМ берется согласованной с ориентацией М.
5. а) Пусть М вЂ” гладкое (С~~~) ориентируемое и-мерное многообразие, а Й,"(М) — пространство гладких (С~"~) и-форм с компактным носителем на М. Покажите, что существует и притом единственное отображение М Й,"(М) — ~ К, обладающее следующими свойствами: 1' отображение / линейно; М 2' если ~р: 1"(1") -+ У С М вЂ” карта задающего ориентацию М атласа, япррю С У и в локальных координатах х',..., х" этой карты ы = а(х) дх' Л Л...ЛсЬ", то а(х) дх~ ...сЬ", м уп(1п) где справа стоит интеграл Римана от функции а по соответствующему кубу 1п(1п) Ь) Всегда ли указанное выше отображение можно продолжить до обладающего теми же свойствами отображения ~: Й" (М) -+ К пространства Й" (М) М всех гладких и-форм на М? с) Используя то, что в любое открытое покрытие многообразия М можно вписать не более чем счетное локально конечное покрытие М и то, что для любого такого покрытия на М существует подчиненное этому покрытию разбиение единицы (см.
задачу 9 из 3 2), определите интеграл от и-формы по ориентированному гладкому и-мерному (не обязательно компактному) многообразию так, чтобы он обладал указанными выше свойствами 1', 2' применительно к формам, для которых интеграл конечен. Покажите, что для этого интеграла формула (18), вообще говоря, не имеет места, и дайте условия на ~, достаточные для справедливости формулы (18) в случае, когда М = К", и в случае, когда М = Н". 6. а) Используя теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения х = о(х), а также гладкую зависимость решения от начальных данных, покажите, что гладкое ограниченное векторное поле и(х) в К" можно рассматривать как поле скоростей установившегося течения.
Точнее, покажите, что существует такое гладко зависящее от параметра (времени) 1 семейство диффеоморфизмов ~р~. К" — ~ К", что ~р~(х) при фиксированном значении х Е К" является интегральной кривой нашего уравнения, 414 ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ т.е. -Я~~-*-~ = и(~рс(х)), причем ~ро(х) = х. Отображение ~р,: К" -+ К", очевидно, характеризует перемещение частиц среды за время 8. Проверьте, что семейство отображений ~рс.
2" -+ К" является однопараметрической группой ди4феоморфизмов, т.е. (~рс) ' =~р с, ~рс, о~рс, — — ~рс,~с,. Ь) Пусть и — векторное поле в К", а ~рс — однопараметрическая группа диффеоморфизмов К", порожденная полем и. Проверьте, что для любой гладкой функции ~ е С~ ~(К", К) имеет место соотношение 1 1 ®~р~(х)) 1(х)) Р ~ ~1 Если ввести обозначение и®:= Р,~, согласованное с обозначениями из задачи 2, и вспомнить, что 1" о ~рс —— . ~р* ~', то можно написать, что с) Теперь естественно определяется и дифференцирование заданной в К" гладкой формы ~о любой степени вдоль поля и.
А именно, положим 1 иМ)(*) - — Ьш М~~ 'оН*). Ф-+О 8 Форма и(~о) называется производной Ли от формы ~о вдоль поля и и чаще всего обозначается специальным символом Ь„~о. Определите производную Ли Ьхю формы ю вдоль поля Х на произвольном гладком многообразии М. д) Покажите, что производная Ли на С~ )-многообразии М обладает следующими свойствами. 1' Ьх — локальная операция, т. е. если в окрестности У С М рассматриваемой точки х Е М поля Х~, Х2 и формы ~о~, ~о2 соответственно совпадают, то (Ьх~ ю1 ) (х) — (Ьх2 ю2) (х) .
2' Ьхй" (М) С Й" (М). 3' Ьх. Й~ (М) -+ Й" (М) — линейное отображение при любом й = О, 1, 2,... 4 ~Х(«~1 А 012) = (~Х«~1) Л 012 + 011 А ~Х012. 5' Если ~ Е Йо(М), то Ьх~ = ф'(Х) =: Х~. 6' Если ~ е Йо(М), то Ьхф' = д(ХД. е) Проверьте, что указанные выше свойства 1' — 6' однозначно определяют операцию Ьх. Т. Пусть Х вЂ” векторное поле, а ~о — форма степени й на гладком многообразии М. Внутренним произведением поля Х и формы ~о называется (й — 1)-форма, обозначаемая через ах~о или через Х 1 ~о и определяемая следующим соотношением (ах~о)(Х~,...,Х~ ~):= ~о(Х,Х~,...,Х~ ~), где Х~,...,Х~ ~ — векторные поля на М.
Для О-форм, т. е. функций на М, положим Х 1 ~ = О. ~ 4, ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 415 а) Покажите, что если в локальных координатах х~,..., х" карты гр: К" -+ -+ сг' С М форма1г (точнее ~г~1у) имеет вид ~ а„,„(х) Йх" Л... Л 1( г1 « . г~ (гг 1 (й — 1)! (22) 1,х = 1хд+ Йх, где Х вЂ” любое гладкое векторное поле на многообразии.
Ь) Производная Ди коммутирует с д и гх, т. е. ~х "=~ 1х, с) (Ьх, гу] = г~х у~, (Ьх, Ьу] = Ь~х у~, где как всегда (А, В] = А о  — В о А для любых операторов А, В, для которых выражение А о  — В о А определено. В данном случае все скобки [, ] определены. с1) 1 х~о~ = Ях~г+ ф' Л гх~г, где ~ Е Й~(М), а ы Е Й" (М). (Указание. Основным в задаче является п. а). Его можно проверить, например, индукцией по степени формы, на которую действуют операторы.) ~ 4. Замкнутые и точные формы на многообразии 1. Теорема Пуанхаре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
