Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 75
Текст из файла (страница 75)
В этом параграфе будут дополнены сведения о замкнутых и точных дифференциальных формах, которые были изложены в гл. Х1У, 33 в связи с теорией векторных полей в области Ь) Проверьтедалее, чтоеслиф = Ждх', тогхф = Х'Ж = Х® = Рх~. с) Пусть Х(М) — пространство векторных полей на многообразии М, а Й(М) — кольцо кососимметрических форм на М. Покажите, что существует только одно отображение г: Х(М) х Й(М) -+ Й(М), обладающее следующими свойствами: 1' г — локальная операция, т. е. если поля Х1, Х2 и формы ~г1, ~г2 соответственно совпадают в окрестности У точки х Е М, то (гхгы1) ~х) = (1х,~г2)(х); 2' гх(й" (М)) С Й" '(М); 3 гх.
Й" ~М) -+ Й~ '(М) — линейное отображение; 4' если1г1 Е Й"'(М), ы~ Е й"'(М), то зх(~г1 Л~г~) = гх~1 Л~2+ ( — 1)~1~1 Л Л гх~~2; 5' если ~г Е Й'(М), то гх~г = ~г(Х), а если ~ е Й~(М), то гх~ = О. 8. Докажите следующие утверждения. а) Операторы д, гх и 1 х (см. задачи 6, 7) удовлетворяют так называемому тождеству гомотопии ГЛ. ХУ, ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 416 пространства ~". Как и прежде, символ йу(М) будет означать пространство всех гладких вещественнозначных форм степени р на гладком многообразии М, а й(М) = Д й" (М). р Определение 1.
Форма ы Е й" (М) называется замкнутой, если сЫ = О. Определение 2. Форма ы Е й"(М), р > О, называется точной, если существует такая форма о е й" (М), что ы = оо. Множество всех замкнутых р-форм на многообразии М обозначим через Ю(М), а множество всех точных р-форм на М обозначим симв (м).
Для любой формы ы е й(М) имеет место соотношениеЦо(й ~) = О, которое показывает, что Ю'(М) з о" (М). Нам уже известно из гл. Х1У, ~ 3, что, вообще говоря, это включение является строгим. Важный вопрос о разрешимости (относительно о) уравнения оо = ы при выполнении необходимого условия ды = О на форму ы оказывается тесно связан с топологической структурой многообразия М. Более полно сказанное будет расшифровано ниже. Определение 3. Многообразие М будем называть стягиваемым (в точку хо Е М) или гомотонным точке, если существует такое гладкое отображение 6: М х 1 — ~ М, где 1 = (1 Е К ~ О ( ~ ( 1), что 6(х,1) = х и 6(х, О) = хо. Пример 1.
Пространство ~" стягивается в точку посредством отображения 6(х, ~) = ~х. Теорема 1 (Пуанкаре). Любая замкнутая (р+ 1)-форма (р > О) на стягиваемом в точку многообразии М является точной. ~ Нетривиальная часть доказательства состоит в следующей «цилиндрической» конструкции, сохраняющей силу для любого многообразия М. Рассмотрим «цилиндр» М х 1 прямое произведение М на единичный отрезок 1, и два отображения ~',: М вЂ” + М х 1, ~',(х) = (х, »), г = О, 1, отождествляющие М с основаниями цилиндра М х 1.
Тогда естествен- ЦВ зависимости от способа введения оператора д это свойство или доказывается, и тогда его часто называют леммой Пуанкаре, или включается в определение оператора д. ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 418 а(х,е<й их'" лих" л...
А их" = дх" ~о о I й ох" Лох" Л... ЛЙх". го (2) Кфй*о))) + д(К(й*ы)) = ы. Если к тому же ы — замкнутая форма на М, то, поскольку д(й*ы) = = 6*(Й~) = О, из (2) получаем, что д(К(й*ы)) = ол Таким образом, замкнутая форма ы является внешним дифференциалом формы а = К (6*ы) Е й" (М), т. е. ы точная форма на М. ° Пример 2. Пусть А, В, С вЂ” гладкие вещественнозначные функции переменных х, у, я в Кз. Требуется решить относительно функций Р, Я,.й, систему уравнений (3) а дЯ а* Для совместности системы (3), очевидно, необходимо, чтобы функции А, В, С удовлетворяли соотношению дА дВ дС ~~По поводу обоснования проведенного в последнем равенстве дифференцирования интеграла по переменной х" см., например, гл.
ХЧ11, ~ 1. Таким образом, и в этом случае соотношение (1) справедливоЦ. Пусть теперь М вЂ” стягиваемое в точку хо Е М многообразие, 6: М х х 1 — ~ М вЂ” указанное в определении 3 отображение, ы (р+ 1)-форма на М. Тогда, очевидно, 6 о ~1. М вЂ” ~ М вЂ” тождественное отображение, а 6 о ~о. М вЂ” ~ хо — отображение М в точку хо, поэтому О1 о 6*)ы = ы и Я о 6*)ы = О. Значит, в этом случае из (1) следует, что ~4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 419 которое равносильно замкнутости в ~~ формы с~ = А ду Л й + В Й Л дх + С дх Л ду. Система (3) будет решена, если будет найдена такая форма а = РсЬ+ Яду+ Вй, а = К(Ь*ы) = А(~х, ~у, Ы~)~ й (у сЬ вЂ” ~ ду) + + В(1х,1у,й)1й (~дх — хй)+ + С(1х, 1у, Ы~) 1 сЫ (х ду — у дх).
Можно и непосредственно проверить, что да = ы. Замечание. Произвол в выборе формы а, удовлетворяющей условию йх = ы, обычно довольно большой. Так, вместе с формой о любая форма вида о+ до, очевидно, тоже будет удовлетворять этому же уравнению. В силу теоремы 1 на стягиваемом многообразии М любые две формы о,,З, удовлетворяющие условию да = ф1 = ы, отличаются на точную форму. Действительно, д(о —,3) = О, т.е. форма (а —,3) замкнутая на М, а значит,по теореме 1 она точная. 2. Гомологии и когомологии. В силу теоремы Пуанкаре любая замкнутая форма на многообразии локально является точной. Склеить эти локальные первообразные в одну форму на всем многообразии удается далеко не всегда, и это зависит от топологической структуры многообразия. Например, замкнутая в проколотой плоскости ~~ ~ О форма что до = ы. В соответствии с изложенной при доказательстве теоремы 1 рецептурой и с учетом построенного в примере 1 отображения 6 после простых вычислений получим 420 ГЛ.
ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ = — —, рассмотренная в а 3 гл. Х1'е', локально является днффех +у ренциалом функции ~р = у(х, у) — полярного угла точки (х, у), однако, продолжение этой функции в области ~~ ~ 0 приводит к многозначностям, если замкнутый путь, по которому идет продолжение, охватывает дырку точку О. Примерно так же обстоит дело и с формами других степеней. «Дырки» в многообразиях могут быть различные не только проколы, но и такие, как, например, у тора или кренделя.
Структура многообразий высших размерностей может быть довольно сложной. Связь между устройством многообразия как топологического пространства и взаимоотношением замкнутых и точных форм на нем описывается так называемыми группами (ко)гомологий многообразия. Замкнутые и точные вещественнозначные формы на многообразии М образуют линейные пространства Я" (М) и В" (М) соответственно, причем Я"(М) з В"(М).
Определение 4. Фактор-пространство н (м):=л (м)~в (м) (4) называется группой р-мерных когомологий (с вещественными коэффи- циентами) многообразия М. Н"(М) = КегР/1шР Подсчет когомологий — дело, как правило, трудное. Можно, однако, сделать некоторые тривиальные общие наблюдения. Из определения 4 следует, что если р > с11ш М, то Н" (М) = О, Из теоремы Пуанкаре вытекает, что если М стягиваемо, то при р>ОН (М) =О. На любом связном многообразии М группа Н0(м) изоморфна И, так как Н0(М) = Я~(М), а если для функции ~: М вЂ” ~ К на связном многообразии М выполнено соотношение ф = О, то ~ = сопят.
Таким образом, две замкнутые формы «о1, «о2 Е Я" (М) лежат в одном классе когомологии или когомологичны, если «о1 — «о2 Е В"(М), т. е. если они отличаются на точную форму. Класс когомологий формы «о Е Я" (М) будем обозначать символом [ы]. Поскольку Я"(М) есть ядро оператора аР: й"(М) — ~ й"+ (М), а В"(М) есть образ оператора Р 1: й" '(М) — ~ йР(М), то вместо (4), часто пишут ~4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ 421 Определение 5.
Гладкое отображение с: 1" — ~ М р-мерного куба 1 с К" в многообразие М называют синеулярным кубом на многообразии М. Это прямое обобщение понятия гладкого пути на случай произвольной размерности р. В частности, сингулярный куб может состоять в преобразовании куба 1 в одну точку. Определение 6. Цепью (сингулярных кубов) размерности р на многообразии М называется любая конечная формальная линейная комбинация ~ о~с~ сингулярных р-мерных кубов на М с вещественными й коэффициентами. Как и пути, сингулярные кубы, получающиеся друг из друга диффеоморфным изменением параметризации с положительным якобианом, считаются эквивалентными и отождествляются.
Если же такая замена параметризации происходит с отрицательным якобианом, то соответствующие (противоположно ориентированные) сингулярные кубы с, с считаются противоположными и полагают с = — с. Цепи размерности р на многообразии М, очевидно, образуют линейное пространство относительно стандартных операций сложения и умножения на вещественное число.
Это пространство мы обозначим через Ср(М). Определение Т. Границей д1 р-мерного куба 1" в К" называется (р — 1)-мерная цепь р (5) =0 ~=1 в КР, где с,: 1 -' -~ КР отображение (р — 1)-мерного куба в К", индуцированное каноническим вложением соответствующей грани куба 1Р в Кр. Точнее, если 1р ~ = 1х Е Кр 1 ~ О < х < 1, т = 1,...,р — 1), то сц (х) = (х,..., х' ', г, х~,..., х" ) е КР. Таким образом, например, для пространства К" получается, что Нр(К") = О при р > О и Н (Кж) К. Это утверждение (с точностью до тривиального последнего соотношения) эквивалентно теореме 1 при М = К" и тоже называется теоремой Пуанкаре. Более наглядную геометрическую связь с многообразием М имеют так называемые группы гомологий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
