Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 82
Текст из файла (страница 82)
4. Интегрирование и предельный переход, Покажем, что если интегрируемые на отрезке функции сходятся на нем равномерно, то предельная функция тоже интегрируема и ее интеграл по этому отрезку равен пределу интегралов исходных функций. Теорема 3. Пусть Я; 1 Е Т) — семейство функций ~с. [а,Ь] — ~ -+ С, определенных на отрезке а < х < Ь и зависящих от параметра 1 Е Т; В база в Т. Если функции семейства интегрируемы на [а,Ь] и ~с -~ 1" на [а, Ь] при базе В, то предельная функция ~: [а, Ь] -+ С тоже интегрируема на отрезке [а, Ь] и ~ Пусть р = (Р,~) разбиение Р отрезка [а,Ь] с отмеченными точками ~ = (('1,...,~„).
Рассмотрим интегральные суммы Р~(р) = '>, 'Я~,) Ьх„1 Е Т и Р(р) = '> Д(,) Ьх,. Оценим разность Р(р)— з=1 з=1 — РДр). Поскольку ~~ -~ ~ на [а, Ь] при базе В, для любого е > О можно найти такой элемент В базы В, что при любом 1 Е В в любой точке х Е [а, Ь] будет выполнено неравенство ~Дх) — Ях)] < о ~ . Значит, при1ЕВ (~ (~,) — ~~ Я,) ) лх, з=1 ]Р(р) — Х' (р)! = ~ Функция х~ = е~ ~" ~ при фиксированном х ) О выпукла по 1, поэтоо му отношение ~~- — ~- (как угловой коэффициент хорды) не возрастает при 1 -+ +О и стремится к 1пх.
Значит, Д„(х),Р 1п — при х > О и и -+ +со. По теореме Дини отсюда 1 1 н следует, что указанная сходимость Ях) к 1п — является равномернои на каждом отрезке [а, Ь] С ]О, +со[. ~ 23. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 457 и эта оценка справедлива не только при любом значении 1 Е В, но и при любом разбиении р из множества Р = ((Р, ~)) разбиений отрезка [а, Ь] с отмеченными точками. Таким образом, Р~ ~ Р на Р при базе В. Теперь, взяв в Р традиционную базу Л(Р) -+ О, по теореме 1 находим, что коммутативна следующая диаграмма: ~~~, ЦЯ,)Ьх, =: Р1(Р) ~ Р(Р):= ,'>, '~®)Ьх, г=1 Г =1 Х(Р) +О Г 3 Х(Р) — +О Г Ь Ь / Ях) сХх =: А~ — + А:= / ~(х) сХх, что и доказывает сформулированную теорему 3. ~ Следствие 4.
Если ряд ,'> ~п(х) из интегрируемых на отрезке п=1 [а, Ь] с К функций сходится равномерно на этом отрезке, то его сумма тоже интегрируема на отрезке [а, Ь] и ~„(х) дх = ~„(х) дх. а п=1 п=1 а Пример 4. В этом примере, записывая ~'"~, будем считать, что при х = О это отношение равно единице. В свое время мы отмечали, что функция й(х) = / ~~~~ ~ сй не являет- О ся элементарной. Используя доказанные теоремы, можно, тем не менее, получить достаточно простое представление этой функции в виде степенного ряда. Для этого заметим, что (14) и стоящий справа ряд сходится равномерно на любом отрезке [ — а, а] С С 2.
Равномерная сходимость ряда следует из мажорантного призна- 2п ка Вейерштрасса равномерной сходимости ряда, поскольку, ( 2п+1 1 2п а2п < при ф ( а, в то время как числовой ряд ~, —; а+ —, сходится. 2п+1 . п=О ~(2д+1 ! ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 458 На основании следствия 4 теперь можно написать Г ( ) ~2п (2п+1)! о ( — 1) "х2" +1 ~-' (2п -1- 1)) (2п -1- 1) Полученный ряд, кстати, тоже сходится равномерно на любом отрезке числовой оси, позтому, какой бы отрезок [а, о] изменения аргумента х ни указать и какую бы ни назначить допустимую абсолютную погрешность, можно подобрать многочлен — частичную сумму полученного ряда, который в любой точке отрезка [а,б] позволит вычислить Й(х) с погрешностью, не превышающей заданной. 5. Дифференцирование и предельный переход Теорема 4. Пусть Я; 1 е Т) — семейство функций ~~.
Х -+ С, определенных на выпуклом ограниченном множестве Х (лежащем в К, С или ином линейном нормированном пространстве) и зависящих от параметра 1 е Т; о — база в Т. Если функции семейства дифференцируемы на Х, семейство (Д; 8 е Т) производных сходится равномерно на Х к некоторой функции 1р: Х -+ С, а исходное семейство Я; 8 Е Т) сходится хотя бы в одной точке хо Е Х, то оно сходится равномерно на всем множестве Х к дифференцируемой функции ~: Х -+ С, причем Г=ю. 4 Покажем сначала, что семейство Я; 1 Е Т) равномерно сходится на множестве Х при базе о.
Воспользуемся теоремой о конечном приращении в следующих оценках: ф,(х) — ~~,(х)~ < 1(Л1(х) Б2(х)) (УС1(хо) Л2(хо))! + 1УЕ1(хо),Б2(хо)! впр )Л,(0 Л,®~ 1х — хо1+ ~Ус,(хо) — Б2(хо)~ = ~(х ~1 ~2) ~Е ~хо,х] По условию семейство (Д; 1 е Т) сходится равномерно на Х при базе о, величина Яхо) как функция 8 при той же базе 0 имеет предел, а ~х — хо~ ограниченная величина при х Е Х. Ввиду необходимости ~ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 459 условий критерия Коши для равномерной сходимости семейства функций Д и существования предела функции ~с(хО), для любого я ) О найдется такой элемент В базы В, что для любых 11, 12 Е В и любого х Е Х будет Ь(х, 11, 12) < я.
А это в силу написанных оценок означает, что семейство функций Я; 1 Е Т) тоже удовлетворяет условиям критерия Коши и, следовательно, равномерно сходится на Х при базе В к некоторой функции ~: Х -+ С. Вновь используя теорему о конечном приращении, получим теперь следующие оценки: / (Л,(х+ ~) — Л,(х) — Л,(х)6) — Цс,(х+ 6) — Хс,(х) — Л',(х)~)/ = = /(Л, — Л.)(х+ 6) — (Л, — Ь.)(х) — (Л, — Л.)'(х)6/ < < аир /(Л, — Бг)'(х+ 06)/ !61 + /(Л, — Л,)'~х)/ /6/ = О<В<1 яир ~~,', (х -~- 06) — ~,', (х -~- 06) -~- ~~,', (х) — ~,', (х) ) /6/.
0<0<1 Эти оценки, справедливые при х,х + 6 Е Х, ввиду равномерной сходимости семейства ~Д; 1 Е Т) на Х, показывают, что семейство Я; 8 Е Т) функций („Л(х + 6) — Л(х) — йх) 6 ~й) которые мы будем рассматривать при фиксированном значении х Е Х, сходится при базе В равномерно относительно всех значений 6 ф О таких, что х + 6 Е Х. Заметим, что Р~(6) -+ О при 6 -+ О ввиду дифференцируемости функции ~с в точке х е Х, а ввиду того, что ~~ -+ ~ и Д вЂ” + р при базе В, имеем Р~(6) -+ Р(6) — ~ + ~ ~ при базе В.
Применяя теорему 1, можно теперь записать коммутативную диаграмму —:~;(р) ~ ~(й):— 6 6-+О ' 6-+О О ~ — + О. 0 Правый предельный переход при 6 -+ О показывает, что функция ~ дифференцируема в точке х Е Х и ~~(х) = ~р(х). ~ ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 4бО Следствие 5. Если ряд ,'), 'Ях) из функций ~п: Х вЂ” ~ С, диффеп=1 ренцируемых на ограниченном выпуклом множестве Х (лежащем в К, С или любом линейном нормированном пространстве), сходится хотя бы в одной точке х Е Х, а ряд ,'), '~„'(х) сходится равномерно на Х, п=1 то ряд '), 'Дп(х) тоже сходится равномерно на Х, его сумма диффеп=1 ренцируема на Х и ~„(х) (х) = 2 ~„(х).
Это вытекает из теоремы 4 и определений суммы и равномерной сходимости ряда с учетом линейности операции дифференцирования. Замечание 4. Приведенные доказательства теорем 3 и 4, как и сами теоремы и их следствия, остаются в силе для функций ~~. 'Х -+ У со значениями в любом полном линейном нормированном пространстве К Например, У может быть К, С, К", С", С[а, Ь] и т. д. Областью Х определения функций ~~ в теореме 4 тоже может быть соответствующее подмножество любого линейного нормированного пространства. В частности, Х может лежать в К, С, Кп или С". Для вещественнозначных функций вещественного аргумента (при дополнительных требованиях к сходимости) доказательства этих теорем можно сделать еще более простыми (см.
задачу 11). В качестве иллюстрации использования теорем 2 — 4 докажем следующее широко используемое и в теории, и в конкретных вычислениях утверждение 3. Если круг К С С сходимости степенного ряда '>, 'сп(г — гО)" не сводится к единственной точке г = гО, то внутри К п=О сумма Дг) зтого ряда дифференцируема, причем ~'(г) = 2 п~„(г — гп)~ п=1 (15) Кроме того, функцию Дг): К вЂ” ~ С можно интегрировать по любому гладкому пути у: [О, Ц вЂ” э К, и если [О, Ц Э й ~ — ~ г(Х) Е К, г(0) = гО, ~ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 4б1 я(1) = я, то (16) 1 Замечание 5. Здесь / Дя) сЬ:= ~ Дя(1))я'(1) сй. В частности, ес- 7 О ли на интервале — В < х — хО < В действительной оси К имеет место равенство Дх) = '~, 'а„(х — хО)", то и Поскольку !!ш " 1уо~ср~ = !1ш ~/ц~1, то иэ формулы Коши— Адамара (теорема из ~2) вытекает, что степенной ряд ,'), 'псп(я — яО)" п=1 ПОЛУЧЕННЫЙ ПОЧЛЕННЫМ ДИффЕРЕНЦИРОВаНИЕМ РЯДа ~~!, Сп(Я вЂ” ЯО)п, ИМЕ- п=О ет тот же круг сходимости К, что и исходный степенной ряд.
Но по той же теореме из ~ 2 ряд ,'> , 'псп(я — яО)п 1 сходится равномерно в любом п=1 кРУге К, таком, что К, С К. ПосколькУ РЯД ,'), 'сп(Я вЂ” ЯО)п, очевиДно, п=О сходится при я = яО, к нему теперь применимо следствие 5, чем и обосновывается равенство (15). Итак, показано, что степенной ряд можно дифференцировать почленно.
Проверим теперь, что его можно и интегрировать почленно. Если у: [0,1] -+ К гладкий путь в К, то найдется круг К, такой, что у С К1 и К1 С К. На К1 исходный степенной ряд сходится равномерно, поэтому в равенстве У(«(!и = К с„(«(!) — «с)" п=О стоящий справа ряд из непрерывных на отрезке О < 1 < 1 функций сходится равномерно на этом отрезке к непрерывной же функции Дя(1)). ГЛ.
ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 4б2 Умножение этого равенства на функцию я'(1), непрерывную на отрезке [О, 1], не нарушит ни самого равенства, ни равномерной сходимости ряда. Значит, по теореме 3 получаем 1 Г ~(~о))г'(О ~1 = 2 / ~„(гф — зп) я О) ~~. о "=О о Но и мы приходим к равенству (16). ~ Поскольку в разложении Д~) = ,'> , 'с„(~ — яо)", очевидно, со = 1 (яо), и=о то, последовательно применяя равенство (15), вновь получаем знакомые у(та) соотношения с„= о, которые показывают, что степенной ряд однозначно определяется своей суммой и он является ее рядом Тейлора. Пример 5. Бесселева функция,7„(х), и е И есть решение уравнения БесселяЦ х у" + ху'+ (х2 — и2)у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
