Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема 1 полностью решает вопрос о сходимости ряда Фурье (6) в среднем, т. е. по норме пространства Е2[ — ~г, ~г]. Вся дальнейшая часть этого параграфа в основном будет посвящена изучению условий и характера поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Мы рассмотрим только наиболее простые аспекты этого вопроса. Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда, как правило, дело настолько тонкое, что, несмотря на традиционное центральное место, которое после Эйлера, Фурье и Римана в теории функций занимали ряды Фурье, до сих пор нет внутреннего описания класса тех ~ 2.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ б25 2. Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье а. Интегральное представление частичной суммы ряда Фурье. Обратимся теперь к частичной сумме (9) ряда Фурье (6) и, подставив в ее комплексную запись (9') выражения (13) коэффициентов Фурье, проделаем следующие преобразования: гйх ц А. Н.
Колмогоров (1903 — 1987) — выдающийся советский ученый; работы по теории вероятностей, математической статистике, теории функций, функциональному анализу, топологии, логике, дифференциальным уравнениям и прикладным аспектам математики. ~~ Д. Е. Меньшов (1892 — 1988) — один из наиболее крупных советских математиков, специалист в теории функций действительного переменного.
з~Н. Н. Лузин (1883 — 1950) русский советский математик, один из наиболее тонких знатоков теории функций, родоначальник большой московской математической школы («Лузитании»). ~~Л. Карлесон (род. 1928) — выдающийся шведский математик; основные труды относятся к различным областям современного анализа, функций, которые представляются сходящимся к ним в каждой точке тригонометрическим рядом (проблема Римана). До недавнего времени не было даже известно, обязан ли ряд Фурье непрерывной функции сходиться к ней почти всюду (то, что сходимости всюду при этом может не быть, уже знали). В свое время А.
Н. Колмогоров1) даже построил пример всюду расходящегося ряда Фурье функции ~ е Ц вЂ” 7г, 7г] (где Ц вЂ” 7г,тг] пространство функций, интегрируемых по Лебегу на промежутке ~ — 7г, к], получаемое метрическим пополнением пространства Е~ — 7г, 7г]), а Д. Е. Меньшов2) построил тригонометрический ряд (1), содержащий отличные от нуля коэффициенты и сходящийся к нулю почти всюду (нуль-ряд Меньшова). Поставленный Н. Н.
Лузинымз) вопрос (проблема Лузина) о том, обязан ли ряд Фурье любой функции ~ е ь2~ — 7г,тг] (где ь2[ — 7г,7г] метрическое пополнение пространства Е2~ — 7г,тг]) сходиться почти всюду, был решен, причем утвердительно, только в 1966 г.
Л. Карлесоном4) . Из результата Л. Карлесона, в частности, следует, что ряд Фурье любой функции ~ Е Я2~ — 7г, 7г] (например, непрерывной) обязан сходиться почти во всех точках отрезка ~ — 7г, 7г]. ГЛ .ОГП1 РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б2б 7Г и — т 2 "~*-'~ гг 27г ГГ= — П (15) Но ег1п+ 2)и — ггп+ 2)и — (16) Ег2и Š— г2и г1п+1)и — гпи Р„(и):= 2 е'~"— Гг= — и причем, как видно из самого определения, Р„(и) = (2п+1), если е'и = 1.
Значит, я1п (п+ 1) и Р„(и) = (17) Я1П -и 2 где отношение считается равным 2п+1, когда знаменатель дроби обра1цается в нуль. Продолжая выкладку (15), теперь имеем 1 Я„(х) = — У(Х)Р„(х — Х) Ж. 27г (18) 1 1 — Р„(и) пи = — Р„(и) ди = 1. 27г 7г — 7Г о Считая функцию )" 27г-периодической на К или периодически продолженной с отрезка ~ — 7г, 7г] на К, делая в (18) замену переменной, получаем,что 7Г 7Г 1 1 1 Я1п(п+ 2) ~ .77г(х) = — 3'(х — й)Рп(Х) гИ = — )" (х — й) Ж. (20) 27г 27г 81п 28 Делая замену переменной, мы здесь воспользовались тем, что интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого равна периоду функции, одинаков. Мы представили Я„(х) в виде свертки функции )" с функцией (17), называемой ядром Дирихле.
Как видно из исходного определения (16) функции Р„(и), ядро Дирихле 27г-периодично, четно, и, кроме того, ~2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ б27 Учитывая четность Р„(~), равенство (20) можно переписать в виде Я„(х) = — Щх — ~) + ~(х+ ~)) О. (~) д~ = 1 о 1 в1п (п+ 21) ~ — ®х — 8) + Дх+ 8)) сЫ. (21) 27г в1п -8 о 2 Лемма 1 ~Риман). Если локально интегрируемая функция ~: ] ы1, ы2[ — ~ К абсолютно интегрируема (хотя бы в несобственном смысле) на нромежутке ] ы1,ы2[, то (22) ~ Если ] ы1,ы2[ конечный промежуток, а Дх) = 1, то (22) проверяется непосредственным интегрированием и переходом к пределу.
Общий случай сведем к этому простейшему. Фиксируя произвольно е > О, выберем сначала отрезок [а, о] С С] ы11ы2[ так, чтобы при любом Л Е К было (2З) Ввиду оценок а аг2 а аг1 < У(х) е~*~дх+ йх)е'~*~ ь = Ф~(х)ах+ ФЮ4. 21 — 4574 Ь. Лемма Римана и принцип локализации.
Полученное представление (21) частичной суммы тригонометрического ряда Фурье совместно с формулируемым ниже наблюдением Римана служит основой для исследования поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Гл. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б28 и абсолютной интегрируемости 1 на ]ы1,ы2[, указанный отрезок [а, б], конечно, существует. Поскольку 1 Е T([а,б],К) (точнее Д( ь~ Е Е([а,б])), то найдется и такая нижняя сумма Дарбу ~ т Ьх~, где т = пК 1"(х), что з=1 Хб(х 1,Х ~ Ь О < 1(х) дх — т Ьх < е.
а з — 1 Вводя теперь кусочно постоянную функцию д(х) = т,, если х Е Е [х 1, х ], у = 1,..., и, получаем, что д(х) < 1" (х) на [а, б] и Ь Ь О < 1 (х)е™ сЬ вЂ” д(х)е'~*Их < < )Дх) — д(х)) ~е'~*) дх = (1" (х) — д(х)) дх < е. (24) Но Ь х Г и д(х)е'~*Их = ~ / т е' *Их = а з=1 и (тее™м~ — > О ири Л вЂ” ~ ее, Л 5 5е.
(25) у=1 Сопоставляя соотношения (22) — (25), получаем то, что и утверждалось. Ф Замечание 1. Отделяя в (22) действительную и мнимую части, получаем, что ееЛ 2 ееЛ2 Г Дх) соя Лх дх — э О и Дх) яп Лх дх — э О ИЛ 1 ИЛ 1 (26) при Л вЂ” ~ оо, Л б К. Если бы в последних интегралах функция 1 была комплекснозначна, то, отделяя уже в них действительную и мнимую ~2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ б29 части, мы получили бы, что соотношения (26), а значит, и соотноше- ние (22), на самом-то деле, конечно, справедливы и для комплекснознач- ных функции ~: ] ы1, ы2~ — ) С.
Замечание 2. Если известно, что ~ Е Я2~ — 7г,тг], то в силу неравенства Бесселя (8) можно сразу заключить, что Возвращаясь теперь к интегральному представлению (21) частичной суммы ряда Фурье, замечаем, что если функция ~ удовлетворяет условиям леммы Римана, то, поскольку в1п~~ > в1п о > О при ° 1 ° 1 0 < о < ~ < 7г, мы вправе на основании соотношений (26) записать, что б 1 1 в1п (п+ 2) ~ Я„,,(х) = — ®х — ~) + 1" (х+ 1)) Ж+ о(1) при и — ~ оо. (27) 27г в1п -1 о 2 Важное заключение, которое можно сделать, имея равенство (27), состоит в том, что сходимость ряда Фурье в точке вполне определяется поведением функции в сколь угодно малой окрестности этой точки. Сформулируем этот принцип в виде следующего утверждения. Теорема 2 (принцип локализации). Пусть ~ и д — вещественноили комплекснозначные локально интегрируемые на промежутке ] — )г,тг~ и абсолютно интегрируемые на нем (хотя бы в несобственном смысле) функции.
Если функиии ~ и д совпадают в сколь узодно малой окрестности точки хв е ] — 7г,7г~, то их ряды Фурье ~(х) 2 се(~)е' *, д(х) 2 се(д)е' * при и — ~ оо, и Е И Этим дискретным вариантом леммы Римана в принципе уже можно было бы обойтись в тех начальных исследованиях классических рядов Фурье, которые будут здесь проведены. ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ бЗО сходятся или расходятся в точке хв одновременно, а в случае сходи- мости их суммы в хо совпадают 1.
1) Замечание 3. Как видно из проведенных при получении равенств (21), (27) рассуждений, точка хв в принципе локализации может быть и концом отрезка ~ — 7г, 7г], но тогда (и это существенно!) для совпадения в окрестности точки хо периодически продолженных на К с отрезка ~ — 7г,тг] функций 1 и д необходимо (и достаточно), чтобы исходные функции 1 и д совпадали в окрестности обоих концов отрезка ~ — 7г,тг]. с. Достаточные условия сходимости ряда срурье в точке 1(х ) = 1пп 1(х — 8), 1(х+) = 1пп 1(х+ 8); Ь) интеграл сходится абсолютно~) . Пример 2. Если 1 непрерывная в У(х) функция, удовлетворяющая в точке х условию Гельдера то, поскольку тогда справедлива оценка 1(х+ 8) — 1(х) функция 1 удовлетворяет в точке х условиям Дини.
ЦХотя и не обязательно совпадают со значением 1(хо) = д(хо). Е ~~Имеется в виду абсолютная сходимость интеграла / хоть при каком-нибудь зна- о чении е ) О. Определение 2. Говорят, что функция 1: У вЂ” ~ С, заданная в проколотой окрестности точки х Е К, удовлетворяет в точке х условиям Дини, если а) в точке х существуют оба односторонних предела ~ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ б31 Ясно также, что если определенная в проколотой окрестности У(х) точки х непрерывная функция ~ имеет односторонние пределы ~(х ), Дх+) и удовлетворяет односторонним условиям Гельдера йх+8) — Пх+)~ < М1 Дх — 1) — Дх ) ~ < М1~, где 8 ) О, О < а < 1, а М положительная постоянная, то функция ~ по той же причине, что и выше, будет удовлетворять условиям Дини.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
