Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 111
Текст из файла (страница 111)
называемое изопериметрическим неравенством; здесь и — объем единичного и-мерного шара в Е". Равенство в изопериметрическом неравенстве (40) имеет место только для шара. Название «изопериметрическое» связано с классической геометрической задачей отыскания среди замкнутых плоских кривых данной длины Ь той кривой, которая ограничивает наибольшую площадь Я. В этом случае неравенство (40) означает, что ~ 2.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 647 у = у(1), — гг < 1 < ~г, х = х(~), (42) причем х( — ~г) = х(т), у( — 7г) = у(т), (43) Соотношения (42) запишем в виде одной комплекснозначной функ- ции (42') =4~) — <~< где я(1) = х(1) + гу(1), и ввиду (43) я( — ~г) = я(т). Заметим, что 2 ~ И) ~' = ( 'И) )'+ (у'И) )' = и, значит, при нашем выборе параметра 1 (44) Учитывая далее, что Тг' = (х — гу)(х'+гу') = (хх'+уу') +г(ху' — х'у), и пользуясь равенствами (43), запишем в комплексном виде формулу площади области, ограниченной замкнутой кривой (42): Я = — (ху' — ух')(~) Ю = — '. я'(~)т(~) а.
2 2г (45) Напишем теперь разложение функции (42') в ряд Фурье «ф = 2 ««е' Именно это неравенство мы теперь и докажем, считая, что рассматриваемая кривая является гладкой и задана параметрически в виде х = ~р(8), у = ф(8), где 8 натуральный параметр (длина) вдоль кривой, а функции ~р и ф принадлежат классу С~~) [О, А]. Условие замкнутости кривой означает, что ~р(0) = ~р(Ь), ф(0) = ф(Ь). Перейдем от 8 к параметру 1 = 2л ~~- — ~г, изменяющемуся от — ~г до гг, и будем считать, что наша кривая задана в параметрическом виде б48 ГЛ.
ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ тогда я ф г зйс~е' Равенства (44) и (45) означают, в частности, что ,~г 1 1И12 1 1Я М)12 а Ь 2л 2л 4л.г' 1, 1, г — ( ', ) = — '(~)г(~) й= — Я. 2т ' 2т 7Г В терминах коэффициентов Фурье, как следует из равенств (37), (39), полученные соотношения приобретают вид г 4~юг ~йс„~г Я = т г Йс~с~. Таким образом, Ь~ — 4тЯ = 4т~ ~ (Й вЂ” Й)~с~( . Правая часть этого равенства, очевидно, неотрицательна и обращается в нуль только при условии, что с~ = О, когда й е У и й ф О, 1.
Итак, неравенство (41) доказано,и заодно получено уравнение Я(8) = сО + сне', — ~Г < У < ~Г, той кривой, для которой оно превращается в равенство. Это комплексный вид параметрического уравнения окружности с центром в точке со комплексной плоскости и радиуса ~с1~. ~ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 649 Задачи и упражнения 1. а) Покажите, что яп пх ~г — х при 0<х<2т, п 2 тт=1 2. Покажите, что: а) если ~: [ — ~г, гг] -+ С нечетная (четная) функция, то ее коэффициенты Фурье имеют следующую особенность: а~(~) = 0 (Ь~(~) = О) при й = О, 1, 2,...; Ь) если ~: К -+ С имеет период 27г/т, то ее коэффициенты Фурье сг,® могут быть отличны от нуля, лишь когда Й кратно т; с) если ~: [ — ~г,гг] -+ К вещественнозначна, то при любом й Е л с~® = = с г(~); с1) )аг,(~)~ < 2 аир )~(х)), )Ь~(~)( < 2 аир )Дх)(, ~с~®) < ягр ~~(х)!.
)х~<тт !х!< . ~х~< . 3. а) Покажите, что каждая из систем функций (сояйх;й = 0,1,...1, (яп Йх; Й Е М) полна в пространстве И~ [а, а + т] при любом значении а Е К. Ь) Разложите функцию ~(х) = х в промежутке [О,гг] по каждой из этих двух систем.
с) Нарисуйте графики сумм найденных рядов над всей числовой осью. и найдите сумму этого ряда в остальных точках х Е К. Используя предыдущее разложение и пользуясь правилами действий с тригонометрическими рядами Фурье, покажите теперь, что: Ь) ~~; '— '"~" — * — — ~~ — ~ при 0 < х < т. Втп 2йх тг х й=1 с) ~; '-' — "~ ~: — 1~~-*- = при О ( х (г.
й=1 1 тт — 1 й) ~; „яппх = ~ при ~х~ < т. тт=1 е) х = ~-+4 ,'~ (: — ~ — соапх при ~х~ < т. тт=1 (2й — 1)~ 1~=):~ п Ь) Нарисуйте графики сумм встретившихся здесь тригонометрических рядов над всей осью К. Используя полученные результаты, найдите суммы следующих числовых рядов: ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б50 соя х соя пх 1+, +...+, + 11 ''' п~ япх яп пх — +...+ + 1! и.' созх ( ° ) — Есоз* В1П( П Х) х2 х4 хЗ 5 е) и~по~~зу~ РаэложениЯ сов Я = 1 — —,— + ~г —..., а1п Я = Я вЂ” —,-+ ~- —..., г. . ' з. проверьте,что „сов(2п + 1)х ( — 1)" = в1п(сов х) сЬ(яп х), (2п+ 1)! „яп(2п+ 1)х ~~) ( — 1)" = сов(сов х) аЬ(яп х), (2п+ 1)! „сов 2пх ~~) ( — 1)" = сов(сов х) сЬ(яп х), (2п)1 п=о „яп 2пх =о (2п)1 ( — 1)", = сов(сов х) аЬ(яп х). й) Укажите тригонометрический ряд Фурье функции Дх) = )х) на отрезке [ — 1г, 1г] и выясните, сходится ли он равномерно к этой функции на всем отрезке [ — 1г, 1г].
4. Ряд Фурье ,'~ сг,®е'г'* функции ~ можно рассматривать как специальоо — 1 +оо ный случай степенного ряда ,'~, 'сг,я~ = ,'~ сьев~ + ,'>. сг,я~, в котором я про— оо — оо о бегает единичную окружность комплексной плоскости (т. е. я = е"). Покажите, что если коэффициенты Фурье сг,(~) функции ~: [ — 1г, 1г] — ~ С убывают так быстро, что 1пп ~сг,(~)~~~~ = с ) 1, а 1пп ~сь(~)~~~~ = с~ < 1, й-+ — оо й-++оо то: а) функцию ~ можно рассматривать как след на единичной окружности некоторой функции, представимой в кольце с < ~я~ < с+ рядом ,'~ с1,,г"; Ь) при я = х+ зу и 1п —, < у < 1п, ряд ~ ~, 'сь(~)е'"' сходится абсолютно (и, в частности, его сумма не зависит от порядка суммирования членов); с) в любой полосе комплексной плоскости, задаваемой условиями а < < 11пя < Ь, где 1п,1 < а < Ь < 1п,1, ряд ~ ~, 'сь®е™х сходится абсолютно и равномерно; 2 й) используя разложение е' = 1 + -~~ + ~- + ...
и формулу Эйлера е'* = = сов х + з яп х, покажите, что ~ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ б51 а+Т 1 — / Дх)д(х) сЕх = ~ с~г®с~г(д). а й) коэффициенты Фурье с~(6) нормированной множителем ~~, «свертки» Т-периодических гладких функций ~ и д и коэффициенты Фурье с~(~), с»(д) самих функций ~ и д связаны соотношением с~(Ь) = с~(~)с~(д), Й г= У. 6. Докажите, что если а несоизмеримо с т, то: М 1 ) 1 ~ ~~ ггг(х+пбл) ~' гИ ц.
Ь) для любой непрерывной 2т-периодической функции ~: К вЂ” » С 1 1 Г 11ш — ~ ~(х + па) = — / ~Я Й. ггг — ус Х 2т,/ у=1 7. Докажите следующие утверждения: а) Если функция ~: К вЂ” ~ С абсолютно интегрируема на К, то у(х)ег"х с~х < ~ х+ — — Дх) дх.
Ь) Если функции 1": К -+ С и д: К -+ С абсолютно интегрируемы на К и, кроме того, д по модулю ограничена на К, то ~(х+ 1)дфе'~~й =: уА(х) ~ О на К при Л вЂ” » оо. 5. Проверьте, что: а) системы (гсое»Хх е!о»~ х х б гг), (емл *;х б Х) оРтогонвльны и полны в пространстве Е2([а, а+ Т1, С) при любом а Е К; Ь) коэффициенты Фурье а~(~), Ь|®, с~(~) Т-периодической функции ~ по указанным системам не зависят от того, раскладывается ли функция в ряд Фурье на отрезке [ — т, ~~ или на любом ином отрезке вида [а, а д- Т]; Т Т1 с) если с~(~) и с»(д) — коэффициенты Фурье Т-периодических функций ~ ид,то б52 ГЛ.
ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ с) Если 1": К -+ С вЂ” 2т-периодическая абсолютно интегрируемая на периоде функция, то остаток Я„(х) — 1"(х) ее тригонометрического ряда Фурье может быть представлен в виде где ΄— п-е ядро Дирихле, а (Ь~~)(х, 1) = 1" (х + 1) — 21" (х) + Дх — ~). й) Для любого б Е]0, к[ полученную выше формулу остатка можно привести к виду где о(1) стремится к нулю при и -+ оо, причем равномерно на каждом отрезке [а, б], на котором функция 1 ограничена.
е) Если функция 1": [ — ~г, л] — ~ С удовлетворяет на отрезке [ — ~г, ~г] условию Гельдера )У(х~) — ~(х~)~ < М~х~ — х~! (где М и а — положительные числа) и, кроме того, 1" ( — ~г) = 1" (т), то ряд Фурье функции 1" сходится к ней равномерно на всем отрезке. 8. а) Докажите, что если 1": К -+ К вЂ” 2т-периодическая функция, имеющая кусочно гладкую производную ~~ ) порядка т (т Е 1Ч), то 1. можно представить в виде Ь) Пользуясь указанным в задаче 1 разложением в ряд Фурье функции ~ — ~-*- на промежутке [0,2т], докажите, что В~(и) — многочлен степени 1, а В (и) — многочлен степени т на отрезке [О, 2т]. Эти многочлены называются многочленами Бернулли. 2т с) Проверьте, что при любом т Е М [ В (и) ди = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
